李宛儒

摘要：當(dāng)今社會(huì)，股票、保險(xiǎn)、投資、彩票等日常的經(jīng)濟(jì)問題已經(jīng)隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的成熟與進(jìn)步變得越來越復(fù)雜，我們平時(shí)用心觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)代生活中很多的日常經(jīng)濟(jì)問題并不能夠通過簡單的直覺就可以判斷的。但是，通過掌握一定簡單的概率組合問題以及其解決辦法，我們可以更好的判斷日常生活中每個(gè)人都會(huì)接觸到的一類簡單的經(jīng)濟(jì)問題。本文通過對(duì)于生活中出現(xiàn)的概率問題，組合問題，充分的展現(xiàn)了數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用，以及合理的思考和正確的方法對(duì)解決數(shù)學(xué)問題的幫助。

關(guān)鍵詞：概率；組合；數(shù)學(xué)建模；日常數(shù)學(xué)問題

一、引言

其實(shí)生活中的很多簡單經(jīng)濟(jì)問題都可歸納為中學(xué)數(shù)學(xué)的概率組合事件。比如游樂場的扔圏套娃娃游戲，圏的大小影響了能套中娃娃的概率，直接影響著商家能不能盈利，所以這個(gè)小小的圏里其實(shí)有著大大的計(jì)算。復(fù)雜一點(diǎn)的比如離我們最近的人身傷害保險(xiǎn)，其實(shí)保險(xiǎn)公司在銷售這款保險(xiǎn)產(chǎn)品之前會(huì)做一個(gè)復(fù)雜的模型。模型中包含了通過一系列分析計(jì)算得出的投保人群的可能受傷害的概率，通過這個(gè)規(guī)律，保險(xiǎn)公司可以制定出一套保險(xiǎn)方案包括投保金額，理賠金額等等。最終而言，即便理賠金額遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于投保金額，但保險(xiǎn)公司還是盈利的。

再比如現(xiàn)在的彩票，彩票作為一個(gè)概率事件，中獎(jiǎng)的幾率是非常低的，以從前非常流行的35選7為例，一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率有多低？我們可以做一個(gè)計(jì)算35個(gè)數(shù)字組合可以有C357=6724520種可能，買一注就中獎(jiǎng)的可能只有1/6724520，所以說這個(gè)中獎(jiǎng)率是非常低的。

數(shù)學(xué)組合的問題同樣十分貼近我們的生活的，它在生活中非常常見。比如，求n個(gè)球隊(duì)參加的比賽中，每隊(duì)只與其他隊(duì)各比賽一次的總比賽的場數(shù)。又比如，一個(gè)人要把一匹狼，一只羊和一棵大白菜運(yùn)到河對(duì)岸。而當(dāng)人不在的時(shí)候，狼會(huì)吃羊，羊會(huì)吃大白菜，而這個(gè)人的船每趟卻只能運(yùn)其中的一只。問這個(gè)人怎么做才可以都運(yùn)過河。

諸如上述概率組合問題是我們?cè)谏钪袝?huì)經(jīng)常遇到又常常需要區(qū)解決的一類實(shí)際問題，那么我們應(yīng)該如何運(yùn)用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決上述問題呢？

二、建立針對(duì)同類問題的數(shù)學(xué)模型

首先我們可以建立一個(gè)和所求問題相一致的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而更好的探究同類的問題。

建立數(shù)學(xué)模型就是通過我們已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)原理來構(gòu)建一個(gè)易懂的，生活中實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而闡述比較困難的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)模型的建立遵從以下步驟：

1.分析問題，找到問題本質(zhì)。

2.非必要因素忽略，簡化問題。

3.通過數(shù)學(xué)計(jì)算歸納出這類問題規(guī)律。

4.最終與要研究問題相對(duì)比，找出相應(yīng)問題的統(tǒng)一處理辦法。

三、應(yīng)用舉例

我們?nèi)砸陨衔奶岬降谋ｋU(xiǎn)賠償問題入手，通過實(shí)際的問題解答來深入分析數(shù)學(xué)模型的建立對(duì)實(shí)際問題解決起到的幫助。

例1、某中學(xué)為在校學(xué)生投保人壽保險(xiǎn)，據(jù)了解學(xué)生在校受到嚴(yán)重意外傷害的概率是0.001，學(xué)生須繳付保險(xiǎn)費(fèi)為每人每年12元。如果學(xué)生在校期間一旦發(fā)生意外事件而受到傷害可獲得保險(xiǎn)公司的賠償為2000，此時(shí)保險(xiǎn)公司是否盈利，獲利不少于10000元的概率是多少求，且保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？

通過感性的認(rèn)識(shí)，我們很難感受到保險(xiǎn)公司的利潤率到底是多少？保險(xiǎn)公司在提供相對(duì)投保金額十分高昂的賠付金額的同時(shí)是如何保證盈利的呢？我們通過建立起簡單的數(shù)學(xué)分析模型來看到對(duì)于這些生活中的概率問題來進(jìn)行更細(xì)致的解答。

解：設(shè)一年中受到傷害人數(shù)為X，概率為p=0.001，把考慮2500人在一年里是否受到傷害看成2500重貝努利試驗(yàn)，則有

np=2500×0.001=2.5 ，np（1-p）=2500×0.001×0999=2.4975

此時(shí)保險(xiǎn)公司的年收入為2500×12=30000，支出為2000x元，得：

獲利不少于10000元的概率

p（30000-2000x≥10000）=p（0≤x≤2）

=p0-2.52.4975≤x-2.52.4975≤2-2.52.4975=Φ（-0.32）-Φ（-1.58）=0.9429-0.6255=0.3174

而保險(xiǎn)公司虧本的概率

p（30000<2000x）=p（x>15）

=px-2.52.4975-15-2.52.4975

=1-Φ（7.91）≈0

經(jīng)過計(jì)算可以看到，保險(xiǎn)公司虧本的概率近乎為零。保險(xiǎn)公司設(shè)定的保險(xiǎn)條款通常是經(jīng)過更加復(fù)雜和精密的計(jì)算而設(shè)定的，能夠確保其盈利，所以保險(xiǎn)公司都是十分積極的展開各自業(yè)務(wù)的。

例2.如將一筆資金投入到三個(gè)不同的盈利基金中，即基金A、基金B(yǎng)、基金C。

不同的基金收入不同同時(shí)又與經(jīng)濟(jì)形勢有關(guān)系。假設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢分為好、中、差三個(gè)級(jí)別，分別發(fā)生的概率為P1=0.2，P2=0.7，P3=0.1 。根據(jù)各基金的數(shù)據(jù)參考可得到不同級(jí)別狀態(tài)下各基金的收益概率分布如下表。

好P1=0.2中P2=0.7差P3=0.1基金A113-3基金B(yǎng)64-1基金C102-2此時(shí)，我們?cè)撊绾瓮顿Y才能獲得比較好的收入呢？

解：首先看三個(gè)基金的數(shù)學(xué)期望

E（A）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4

E（B）=6×0.2+4×0.7+（-1） ×0.1=3.9

E（C）=10×0.2+2×0.7+（-2） ×0.1=3.9

方差：

D（A）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（B）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（C）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

通過分析離散型隨機(jī)變量的期望可知，投資基金A的平均收益最大。但投資的同時(shí)也要注意風(fēng)險(xiǎn)，這時(shí)通過對(duì)它們各自方差的分析，方差越大，風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)越大。這樣比較看，基金B(yǎng)的風(fēng)險(xiǎn)最小，同時(shí)收益上又比基金A相差較小，所以選擇基金B(yǎng)來投資更加合理。

四、總結(jié)

隨著當(dāng)今社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行經(jīng)濟(jì)的預(yù)測和問題的解決可以說已經(jīng)非常普遍了，中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是為了提高分?jǐn)?shù)，而是為了可以更加熟練的運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維，將數(shù)學(xué)模型運(yùn)用在現(xiàn)實(shí)生活中，有效的解決生活中關(guān)于經(jīng)濟(jì)的問題。數(shù)學(xué)知識(shí)在日常經(jīng)濟(jì)問題解答的應(yīng)用中展現(xiàn)了很好地作用，學(xué)會(huì)通過數(shù)學(xué)思維來認(rèn)識(shí)和思考問題是非常有意義的一件事情。其實(shí)知識(shí)和科學(xué)是源于生活中問題的解答的，同樣要應(yīng)用于日常生活的使用中。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏宗舒等編，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版）北京：高等教育出版社.

[2]徐國祥，劉漢良，統(tǒng)計(jì)學(xué)[M]，上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2001.