張小勇

摘要：本課例從第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)“風(fēng)車”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)，逐漸感知基本不等式和簡(jiǎn)單應(yīng)用。反思在核心概念和命題的教學(xué)上，如何使學(xué)生能很好地生成理解、接近問(wèn)題的本質(zhì)，提高課堂教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：基本不等式；教學(xué)效果；教學(xué)反思

中圖分類號(hào)：G632.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）34-0271-02

新課程理念倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)力求發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程，基于此，最近筆者在高二上了一節(jié)公開(kāi)課，課題是人教版A版必修5第三章“3.4基本不等式 ≤ ”，設(shè)計(jì)了“情境創(chuàng)設(shè)—探究升華—數(shù)學(xué)建構(gòu)—知識(shí)應(yīng)用—鞏固拓展”的教學(xué)主線，問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生能很好地生成理解、接近問(wèn)題的本質(zhì)。結(jié)合課堂實(shí)錄，分享一下我的一些想法和反思。

一、教學(xué)實(shí)錄

1.情境創(chuàng)設(shè)。師：（多媒體展示圖略）如圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，同學(xué)們，有誰(shuí)知道中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的一些歷史貢獻(xiàn)嗎？眾生：不太清楚。（多媒體展示）趙爽是東漢末至三國(guó)時(shí)代吳國(guó)人。我國(guó)歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家。主要貢獻(xiàn)是約在222年深入研究了《周髀》，趙爽為該書寫了序言，并作了詳細(xì)注釋。其中一段530余字的“勾股圓方圖”，它詳細(xì)解釋了《周髀算經(jīng)》中勾股定理，給出了新的證明。

問(wèn)題1：我想同學(xué)們對(duì)風(fēng)車并不陌生，我們從這個(gè)“風(fēng)車”中，找出一些相等和不等關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教學(xué)只有從問(wèn)題開(kāi)始才有其生命力，創(chuàng)設(shè)一個(gè)問(wèn)題情境，既提出本節(jié)課研究的問(wèn)題，又使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)的必要性。

生1：四個(gè)直角三角形與小正方形的面積的和等于大正方形的面積，但不等關(guān)系感覺(jué)無(wú)從下手。

師：好的，四個(gè)直角三角形的面積和與大正方形的面積進(jìn)行比較呢？

生1：顯然四個(gè)直角三角形的面積和小于大正方形的面積。

師：很好，接下來(lái)我們將圖中的“風(fēng)車”抽象成數(shù)學(xué)模型（多媒體展示圖），我們能把生1找出的不等關(guān)系用一個(gè)式子表示出來(lái)嗎？（學(xué)生積極思考，相互討論）

師：由圖中已知的數(shù)據(jù)，大正方形的面積和4個(gè)直角三角形的面積和分別是多少？

生2：大正方形的面積為a +b ，4個(gè)直角三角形的面積和為2ab.

師：很好，生1所說(shuō)的不等式就可以表示為a +b >2ab，那么這個(gè)不等式能取等號(hào)嗎？

生3：可以，當(dāng)正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)。

師：很好（多媒體展示）。

師：在“風(fēng)車”中，我們得出不等式：a +b ≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，一般我們稱之為重要不等式。

重要不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有a +b ≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。（板書）

2.探究升華。

問(wèn)題2：若把上式中的a和b分別用 （a>0）和 （b>0）替代，會(huì)得到什么式子？

設(shè)計(jì)意圖：以重要不等式為引例，引出“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”兩個(gè)概念，為新課講解埋下伏筆。

眾生：a+b≥2 .

師：我們也可以表述為 ≤ ，這就是我們今天要講的內(nèi)容，基本不等式。（教師板書課題3.4基本不等式 ≤ ）。（學(xué)生填寫）課本第110頁(yè)基本不等式的分析法證明。（略）

問(wèn)題3：（課本第110頁(yè)）在圖4中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a，BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式 ≤ 的幾何解釋嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)基本不等式的證明，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和追求完美的價(jià)值觀。

師：圖4中，能用a和b表示CD的長(zhǎng)度和半徑嗎？

生4：（思考）由條件可得到△ACD∽△DCB，所以 = ，這樣可得CD= ，半徑為 .

師：能通過(guò)該圖對(duì)基本不等式作幾何證明嗎？

生4：顯然CD小于或等于圓的半徑，即 ≤ .

師：非常棒！

3.數(shù)學(xué)建構(gòu)。基本不等式：若a，b是正數(shù)，那么 ≤ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（板書）

師：我們常把 叫做兩正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把 稱為兩正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，在利用基本不等式求最值時(shí)，一般是若積為定值，則和有最小值；若和為定值，則積有最大值。因?yàn)樽钪当仨氉笥覂蛇吶〉忍?hào)，所以還要考慮是否能取到等號(hào)的條件，我們可把基本不等式運(yùn)用的條件歸納為：“一正、二定、三相等”。（板書）

4.知識(shí)應(yīng)用。

例1：若x>0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x+ 的值最??？最小值是多少？

設(shè)計(jì)意圖：答題的格式和解題規(guī)范表述，將解題教學(xué)落到實(shí)處。

變式1：若x<0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x+ 的值最大？最大值是多少？

變式2：若x>1，當(dāng)x取什么值時(shí)，x+ 的值最小？最小值是多少？

變式3：若x≥2，當(dāng)x取什么值時(shí)，x+ 的值最小？最小值是多少？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)例1的三種變式，一方面對(duì)新知的學(xué)習(xí)起到檢測(cè)作用，另一方面加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。

例2：已知x>3，求函數(shù)y= +x的最小值。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)例2的講解，使學(xué)生知道除了利用函數(shù)的性質(zhì)求最值外，還可以利用基本不等式求解，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。

例3：設(shè)x，y滿足x+y=4，且x，y都是正數(shù)，則xy的最大值是多少？

設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。

5.鞏固拓展。（1）若0

6.歸納小結(jié)。①基本不等式中， 是兩正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 兩正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；②基本不等式的適用條件“一正、二定、三相等”；③基本不等式既是求函數(shù)最值的基本工具，又是證明一些不等式的重要工具。

7.課后作業(yè)。課本習(xí)題3.4A組第1題；第2題；第3題。

二、教學(xué)反思

1.對(duì)教學(xué)立意的反思。提高課堂教學(xué)的“立意”，提高課堂教學(xué)的思想性，過(guò)程與結(jié)果并重，當(dāng)前形勢(shì)下就要加強(qiáng)過(guò)程性教學(xué)。因此，在新課程理念下，我們?cè)谧⒅囟ɡ?、公式?yīng)用的同時(shí)，還要重視它的形成過(guò)程，要讓學(xué)生有思維和行動(dòng)的參與，同時(shí)還要關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，只有吸引到學(xué)生的注意力，我們的課堂才有生命力。

2.對(duì)知識(shí)生成的反思。按照現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的理解，陳述性知識(shí)應(yīng)該是貫穿數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主線。本節(jié)課的陳述性知識(shí)是基本不等式，包括基本不等式的符號(hào)表征、圖形表征及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。為了對(duì)基本不等式的理解，我從學(xué)生熟悉的“風(fēng)車”（問(wèn)題1）出發(fā)，為基本不等式的引入埋下伏筆，接著通過(guò)對(duì)問(wèn)題2至問(wèn)題5的分析，引導(dǎo)學(xué)生步步深入，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、簡(jiǎn)單問(wèn)題具體化、具體問(wèn)題數(shù)學(xué)化及其命題的優(yōu)化等一系列的思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)，逐漸感知基本不等式；還從“形”的角度，加深理解基本不等式，在核心命題的教學(xué)上“不惜時(shí)，不惜力”，使學(xué)生逐步生成理解、逐漸接近問(wèn)題的本質(zhì)，提高了課堂教學(xué)效率。

3.對(duì)學(xué)生認(rèn)知的反思。新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。根據(jù)這一教學(xué)理念設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，使每位學(xué)生主動(dòng)投入到適合自己最近發(fā)展區(qū)的學(xué)習(xí)中去。這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。本節(jié)課設(shè)計(jì)了科學(xué)有效的“問(wèn)題鏈”，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。好的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)能讓學(xué)生主動(dòng)探索，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)認(rèn)知。筆者在情境創(chuàng)設(shè)（問(wèn)題1）、探究升華（問(wèn)題2和3）、數(shù)學(xué)建構(gòu)等每個(gè)環(huán)節(jié)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題，都能讓學(xué)生積極思考、踴躍回答，進(jìn)而完成知識(shí)的內(nèi)化，讓學(xué)生在命題的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過(guò)程中，進(jìn)一步體悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和學(xué)習(xí)方法。

4.不足之處。不足之處在于講解例2時(shí)，由于時(shí)間關(guān)系，直接利用基本不等式求函數(shù)的最小值，缺少了學(xué)生的參與，有點(diǎn)突兀，如果能利用函數(shù)的性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合，方程的思想，那么思路會(huì)拓展的更寬。其次本節(jié)課容量較大，雖然是根據(jù)本班來(lái)設(shè)計(jì)的，但留給學(xué)生思考的時(shí)間還應(yīng)該更寬松一點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

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