涂天明

2016年廣東考生同全國其他省考生一樣采用全國卷，如何順利實現(xiàn)平穩(wěn)過度，讓考生適應全國卷是大家都非常關注的問題.俗話說，養(yǎng)兵千日，用兵一時.莘莘學子12年的寒窗苦讀，終于迎來了高考亮劍，我們主張備考從博大精深上升為大道至簡.用我們的睿智和理性換來從山窮水盡疑無路到柳暗花明又一村.縱覽近年全國各地函數(shù)與導數(shù)試題，題目可以說是千變萬化，但萬變不離其宗，雖然有題型的變化或難度的調整，但命題立意清晰且風格穩(wěn)定，既有容易題、基礎題，也有創(chuàng)新題與難題.基于函數(shù)與導數(shù)的地位與權重，也有專家認為，高考的關鍵在數(shù)學，數(shù)學的關鍵在函數(shù).為了大家能理性應對、事半功倍，下面我與大家分享一些本人對2016年高考函數(shù)與導數(shù)的熱門考點預測.

一、熱門考點剖析

熱點1：函數(shù)圖像及其性質

函數(shù)的定義、函數(shù)的圖像始終是函數(shù)概念部分的核心內容，歷來都是考查熱點，對函數(shù)本質的理解始終是關鍵，無論是用變量之間的對應來定義還是用集合之間的映射來定義，單值對應就是本質就是關鍵詞，反應在零點、不動點、次不動點也是如此.

切入：先理解次不動點的概念，然后轉化為解方程或利用函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)g（x）=log2x的圖像的對稱性加以解決.

解析：由函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)g（x）=log2x互為反函數(shù)知，其圖像關于直線x=y對稱，設函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)y=-x的唯一交點為（t，-t），而2t=-t？圳t=log2（-t），即函數(shù)g（x）=log2x的不動點為-t，故a=t+（-t）=0，故選B.

感悟：創(chuàng)新能力是高考考查考生的七種主要能力之一，本題若畫出函數(shù)f（x）=2x與函數(shù)g（x）=log2x的大致圖像會更為直觀.

熱點2：函數(shù)的定義域與值域

定義域、對應法則、值域是函數(shù)三要素，是基本知識.所以求函數(shù)的定義域或值域是既傳統(tǒng)又創(chuàng)新的一類題型，若將基本初等函數(shù)以及抽象函數(shù)的性質融入其中，試題將更加新穎，別具一格.

例3. 若函數(shù)f（x）的定義域為（0，1]，則函數(shù)f（lnx）的定義域為________.

切入：抽象函數(shù)的定義域切入點就是定義域的定義，自變量x的取值范圍，原像集.

解析：因為函數(shù)f（x）的定義域為（0，1]，欲使f（lnx）有意義，0感悟：這種試題擊中函數(shù)定義域的實質內容，學習數(shù)學概念就是吃透它最本質的東西，同樣將對數(shù)式換為其它代數(shù)式lnx也能體現(xiàn)其效果.

切入：1-ex>0就是切入點，轉化為指數(shù)不等式ex<1=e0解決.

解析：∵1-ex>0，∴ex<1=e0，由于函數(shù)y=ex是單調增函數(shù)，∴ex

熱點5：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

底數(shù)相同時指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)，它們又互為反函數(shù)，既有區(qū)別也有聯(lián)系，其中指數(shù)式對數(shù)式的計算以及指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質可以說是變幻無窮，要求考生非常熟悉才行.

例8. 若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1008a1009+a1007a1010=2e2，則lna1+lna2+…+lna2016=________.

切入：前半部分是等比數(shù)列計算，后半部分是對數(shù)式的處理，所以可以考慮將條件式a1008a1009+a1007a1010=2e2化簡處理切入.

解析：本題考查了等比數(shù)列以及對數(shù)的運算性質. ∵{an}為等比數(shù)列，且a1008a1009+a1007a1010=2a1a2016=2e2，即a1a2016=e2，lna1+lna2+…+lna2016=ln（a1a2016）1008=lne2016=2016.

感悟：由于y=ex，y=lnx互為反函數(shù)，所以lna1+lna2+…+lna2016的計算將真數(shù)化為e為底的冪可能性很大，本體也不例外.

例9. 已知命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關于點A（m，n）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+m）-n是奇函數(shù)”.

（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖像對應的函數(shù)解析式，并利用題設中的真命題求函數(shù)g（x）圖像對稱中心的坐標；

（2）求函數(shù)h（x）=log2圖像對稱中心的坐標；

（3）已知命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數(shù)m，n，使得函數(shù)y=f（x+m）-n是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設的真命題對它進行修改，使之成為真命題（不必證明）.

切入：表面看不相關的的三個小題出現(xiàn)在一道大題中，就說明題目有關系，所以找出它們之間的關系就是本題的切入點.

解析：（1）平移后圖像對應的函數(shù)解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2，

整理得y=x3-3x，由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù)，

由題設真命題知，函數(shù)g（x）圖像對稱中心的坐標是（1，-2）.

（2）設h（x）=log2的對稱中心為A（m，n），由題設知函數(shù)h（x+m）-n是奇函數(shù).

設f（x）=h（x+m）-n，則f（x）=log2-n，即f（x）=log2-n.

由不等式>0的解集關于原點對稱，得m=1.

此時f（x）=log2-n，x∈（-1，1）.

任取x∈（-1，1），由f（-x）+f（x）=0，得n=0，

所以函數(shù)h（x）=log2圖像對稱中心的坐標是（1，0）.

（3）此命題是假命題. 舉反例說明：函數(shù)f（x）=x的圖像關于直線y=-x成軸對稱圖像，但是對任意實數(shù)m和n，函數(shù) y=f（x+m）-n，即y=x+m-n總不是偶函數(shù).

修改后的真命題： “函數(shù)y=f（x）的圖像關于直線x=m成軸對稱圖像”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+m）是偶函數(shù)”.

感悟：這是一道遞進式邏輯題，前面的結論后面會用到，所以一處出錯，滿盤皆輸.第（1）小題相當于引理，尋根溯源，函數(shù)y=log2是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱.

熱點5：函數(shù)與方程

函數(shù)與方程既有函數(shù)的影子，又有方程的解法，有時還需要化為不等式處理，而函數(shù)又有很多類型，圖像也大相徑庭，歷年高考都非常重視這個內容.

例10. 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且2021切入：函數(shù)f（x）的三個待定系數(shù)a，b，c中，只要求c的取值范圍，意味著a，b可以求得出，所以可以根據(jù)f（1）=f（2）=f（3）聯(lián)立解出a，b.

解析：由f（1）=f（2）=f（3）得1+a+b+c=8+4a+2b+c，8+4a+2b+c=27+9a+3b+c，消去c得3a+b+7=0，5a+b+19=0，解得a=-6，b=11，即f（x）=x3-6x2+11x+c，依題意f（1）=c+6∈（2021，2022），即c∈（2015，2016），故填“（2015，2016）”.

感悟：多個待定系數(shù)的問題往往不容易找出題路，特別是三次函數(shù)容易想到求導數(shù)用導數(shù)的方法解決，單調性更適合轉化為不等式解決.

例11. 若m<1

解析：∵y=x2ex，∴y′=2xex+x2ex，∴y′|x=1=2e+e=3e，所以所求切線的方程為y-e=3e（x-1），即3ex-y-2e=0.

感悟：此類問題是最基本的問題，但高考百考不厭，因為式子是千變萬化的，切入點是用點斜式求切線的方程.

例13. 已知直線y=3x+1是曲線y=x3+t的一條切線，求實數(shù)t的值.

切入：切點處的導數(shù)就是切線的斜率，本例切入點是將切線的點斜式方程轉化為切線的斜率以及切點的坐標.

解析：∵y=x3+t，∴y′=3x2，依題意令∴y′=3x2=3，解得x=±1，代入切線方程y=3x+1，即切點為（1，4）或（-1，-2），在代入曲線方程y=x3+t得t=3或t=-1.

感悟：切點既在切線上，也在曲線上，這就是切點的二重性，此類問題還應該注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別.即要分清過的點是否是切點，這很關鍵.

熱點7：函數(shù)的單調性與導數(shù)

用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是非常可行的，但由于函數(shù)解析式千變萬化，解析式中還可以有參數(shù)，所以此類問題也存在很多變數(shù)可以轉化為其它類型的問題.

例14. 已知函數(shù)f（x）=x3-2kx2+x（k∈R）在R上是單調增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.

切入：根據(jù)導數(shù)大于零函數(shù)單調遞增，導數(shù)小于零函數(shù)單調遞減，本題應先求導，將導函數(shù)f′（x）=3x2-2kx+1通過二次函數(shù)方法解決.

解析：易知f′（x）=3x2-2kx+1，函數(shù)f（x）在R上是單調增函數(shù)實數(shù)，故f′（x）=3x2-2kx+1≥0恒成立，所以判別式？駐=4x2-12，∴ -≤k≤，故實數(shù)k的取值范圍是[-，].

感悟：本例定位為容易題，考查導數(shù)與函數(shù)的單調性.但要注意，導數(shù)大于零是函數(shù)單調遞增的充分條件而非充要條件， 函數(shù)f（x）在R上是單調增函數(shù)實數(shù)， 故f′（x）=3x2-2kx+1≥0恒成立，容易錯誤成為f′（x）=3x2-2kx+1>0，這就是充分與充要的區(qū)別.

例15. 求函數(shù)f（x）=x--a ln x（x∈R+）的單調區(qū)間及對應的單調性.

切入：對于式子中含有l(wèi)n x的函數(shù)，求導數(shù)以后變?yōu)?，沒有了對數(shù)符號，更有利于問題的解決，但應注意前后定義域的變化.

解析：∵ f（x）的定義域為（0， +∞），且f′（x）=1+. ∵ x2>0，令g（x）=x2-ax+1，其判別式？駐=a2-4.

（1）當| a |≤2時，？駐≤0，f′（x）≥0，即-2≤a≤2故f（x）在（0， +∞）上單調遞增.

（2）當a<-2時？駐>0，函數(shù)g（x）的兩個零點都小于0，在（0， +∞）上恒有f′（x）>0，故f（x）在（0， +∞）上單調遞增.

（3）當a>2時？駐>0，方程g（x）=0的兩根為： 當00；當x1

感悟：求參數(shù)m的取值范圍是應該特別注意是否包括等號.

熱點10：函數(shù)與三角綜合

三角題往往都比較獨立，以及本題居多，但將三角函數(shù)式嵌入到高次函數(shù)中，通過導數(shù)加以解決，一般都是難題.

感悟：本題是三角題高考歷史最具創(chuàng)新意識的“好題”之一.將三角函數(shù)與函數(shù)導數(shù)綜合，其中還滲透轉化思想.可以很好地考查運算求解能力、推理論證能力.

二、二輪備考，回歸傳統(tǒng)

函數(shù)與導數(shù)內容很多，權重很重，聯(lián)系很廣，是考生得分的關鍵之關鍵，失函數(shù)者失一切.其實全國卷并不可怕，只是中等題增多了，相比于廣東卷，難題未必有廣東卷難. 只要我們準備充分，2016年高考函數(shù)題仍然大有可為，仍然要立足基礎，回歸傳統(tǒng)，重視通性通法，淡化特殊技巧.尤其到了二輪，對于各地鋪天蓋地的模擬卷，老師的工作就是海納百川，取其精髓，減少不必要重復訓練. 因此，二輪復習總體思路上還是要堅持一輪的方向，可以適當調整，保持理性備考至關重要.

（1）重視基礎題型，重視通性通法

一份高考卷，真正意義上的難題約為30分左右，基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動體驗永遠是我們關注的重中之重，函數(shù)與導數(shù)也是如此.即使函數(shù)與導數(shù)出壓卷難題，真正很難的部分權重也有限，其余多為通性通法，鮮有巧妙技巧，所以大可不必垂頭喪氣，函數(shù)的概念圖像及性質、函數(shù)方程與不等式、基本初等函數(shù)、導數(shù)及其運用永遠是熱點內容，如果一輪復習還沒有到位，二輪必須清除盲點. 因函數(shù)題涉及面很廣，相關知識也不容忽視，考生基本上是丟不起函數(shù)分，出現(xiàn)任何差錯，想要在其它板塊中回填彌補，難度不言而喻！變務虛為務實，依權重進行時間調配，訓練的重點繼續(xù)放在基本題和中等題，多一步歸納和總結.對平面向量與三角而言基本思想、基本方法就是捷徑.應試時也務實一點，能把分拿到就成，不必盲目追求多么巧妙、多么優(yōu)美的解法.

（2）精準駕馭考綱，拒絕機械訓練

二輪復習還要重視對考綱的準確理解，課本就是最好的資料，最好的信息是考試大綱.不要盲目追隨所謂的高考信息甚至老師押題，根本不會現(xiàn)實！努力做回自己做好自己，做好自己最管用.函數(shù)部分考核內容是經過專家充分醞釀確定的，各地考核的標準是一致的.既詮釋了教育教學的目標要求，又為專家命制試題制定標準.自從一輪復習以來，考生們做了大量的訓練題，對做過的題進行一些梳理事必要的。通過廣州一模進行一次很好的演練，同時對今年考綱進行琢磨，只有這樣才能駕馭這次高考.否則會復習的質量會哦大打折扣，系統(tǒng)研究近三年全國各地的經典考題.從中尋找規(guī)律，形成一套理性的、科學的、實用的備考計劃，然后落實下去.做對每個知識點逐一落實、一個不漏逐一過關，不留任何盲點、不留遺憾.依托課本、立足雙基、夯實四基、針對考綱、精準定位.二輪以后各種模擬卷洪水猛獸般大量涌入，這時走入題海應該是老師，把學生最需要最薄弱的試題提煉出來給學生練習，做到擊中要害，出招即勝！收窄并控制在一個合適的范圍，其余時間給考生調整放松.做好充分的準備，相信考生們一定會考出一個出彩的成績！

責任編輯 徐國堅