馬麗娜

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的問(wèn)題，若用初等數(shù)學(xué)方法去解往往繁雜冗長(zhǎng)，如果能認(rèn)真研究問(wèn)題的來(lái)龍去脈，適當(dāng)利用相關(guān)知識(shí)，問(wèn)題就會(huì)很容易得到解決，導(dǎo)數(shù)作為微積分的核心概念之一，進(jìn)入高中新教材給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了生機(jī)與活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究提供了新的平臺(tái)，拓寬了高考數(shù)學(xué)命題的空間.

下面結(jié)合具體實(shí)例從以下六個(gè)方面來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

一、導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，借助導(dǎo)數(shù)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性能進(jìn)行透徹的分析，為求函數(shù)的極值、最值提供一種簡(jiǎn)單快捷的方法.之前討論一些函數(shù)的性態(tài)如單調(diào)性、極值性、奇偶性、周期性等都受到方法的限制，討論得既不深刻也不全面，且計(jì)算煩瑣，也不易掌握其規(guī)律，導(dǎo)數(shù)為我們深刻全面地研究函數(shù)的性態(tài)提供了有力的數(shù)學(xué)工具.

（一）研究函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是研究函數(shù)圖像曲線變化規(guī)律的一個(gè)重要工具，是判斷函數(shù)單調(diào)性的最優(yōu)化的方法.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性主要根據(jù)以下定理：若函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，？坌x∈I若f′（x） < 0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；若f′（x） > 0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).

（二）求函數(shù)的最（極）值

中學(xué)數(shù)學(xué)教材的二次函數(shù)、三角函數(shù)和不等式內(nèi)容都涉及求函數(shù)的極值、最大（?。┲档膯?wèn)題，所用方法不外乎是函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)性、三角函數(shù)的有界性，判別式法，二次函數(shù)的圖像，基本不等式以及由基本不等式推導(dǎo)出的重要不等式，但它們要求很高的處理技巧，對(duì)于很多函數(shù)極值問(wèn)題都不能用上面的方法解決，有很大的局限性.若用導(dǎo)數(shù)來(lái)解則淡化技巧，學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，函數(shù)極值和最值才算得到了徹底的解決.

費(fèi)馬定理指出：若函數(shù)在x0可導(dǎo)，且x0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x） = 0，即可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)x0必是方程f′（x） = 0的根.費(fèi)馬定理給出尋找可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的范圍.即函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)必在函數(shù)f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)的集合中，但穩(wěn)定點(diǎn)又不一定都是極值點(diǎn).通常我們可以按下法求已知函數(shù)f（x）的極值：

① 寫(xiě)出f′（x），然后求使此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；

② 應(yīng)用第一判別法或第二判別法來(lái)驗(yàn)證是否是極值點(diǎn)；可以用二階導(dǎo)數(shù)f″（x）來(lái)判斷.

區(qū)間I的最小值和最大值統(tǒng)稱為最值.求可導(dǎo)函數(shù)的最值可歸結(jié)為求可導(dǎo)函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值中的最值.生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)所遇到的最好、最省、最大、最小等問(wèn)題都可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)的最值問(wèn)題.

（三）函數(shù)圖像的描繪

中學(xué)數(shù)學(xué)教材在介紹二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)時(shí)通常用描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖像.這種圖像一般是粗糙的，不一定能準(zhǔn)確地反映曲線在一些點(diǎn)和區(qū)間上的性態(tài).因?yàn)槊椟c(diǎn)法所選取的點(diǎn)不可能很多，而一些關(guān)鍵性的點(diǎn)，如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等可能漏掉，曲線的單調(diào)性、凸凹性等一些重要的性態(tài)也沒(méi)有掌握.因此，用描點(diǎn)法所描繪的函數(shù)圖像常常與真實(shí)的函數(shù)圖像相差很多.

現(xiàn)在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用后，就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值性、凸凹性、拐點(diǎn)等的方法，從而比較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)圖像，一般來(lái)說(shuō)描繪圖像可按下列的步驟進(jìn)行：

（1）確定函數(shù)y = f（x）的定義域；

（2）觀察函數(shù)y = f（x）是否具有某些特征（奇偶性等）；

（3）觀察函數(shù)y = f（x）是否有垂直漸進(jìn)線、斜漸進(jìn)線，如果有漸進(jìn)線將漸進(jìn)線求出來(lái)；

（4）求出函數(shù)y = f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值，列表；

（5）求出函數(shù)y = f（x）的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)，列表；

（6）確定一些特殊點(diǎn)，如曲線y = f（x）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及容易計(jì)算函數(shù)值f（x）的一些點(diǎn)（x，f（x））.

在直角坐標(biāo)系中，首先標(biāo)明所有關(guān)鍵性點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出漸進(jìn)線，其次按照曲線的性態(tài)逐段描繪.

二、導(dǎo)數(shù)在求曲線的切線方程中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的引入拓寬了解決解析幾何問(wèn)題的思路，f′（x0）的幾何意義是曲線y = f（x）上點(diǎn)（x0，f′（x0）） 處切線的斜率，故可據(jù)此來(lái)研究與曲線切線相關(guān)的問(wèn)題，同時(shí)解析幾何的許多最值問(wèn)題也可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)處理.

求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)P（x0，y0）及斜率，其求法為：設(shè)P（x0，y0）是曲線y = f（x）上的一點(diǎn)，則以P的切點(diǎn)的切線方程為：y - y0 = f′（x0）（x - x0）.若曲線y = f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））的切線平行于y軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為x = x0.

下面是四種常見(jiàn)的類型及解法.

類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程

此類題較為簡(jiǎn)單，只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f′（x），并代入點(diǎn)斜式方程即可.

類型二：已知斜率，求曲線的切線方程

此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決.

類型三：已知過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程

過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法.

類型四：已知過(guò)曲線外一點(diǎn)，求切線方程

此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來(lái)求解.

三、導(dǎo)數(shù)在研究方程根的分布中的應(yīng)用

設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，f′（x）在（a，b）上保持符號(hào)，若f（a）f（b） < 0，則f（x） = 0在（a，b）上有唯一實(shí)根，若f（a）f（b） > 0，則f（x） = 0在（a，b）上無(wú)實(shí)根.

此結(jié)論可推廣到無(wú)窮區(qū)間的情形，即：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，+∞）上連續(xù)，f′（x）在（a，+∞）上保持符號(hào)，若f（a）與 f（x）異號(hào)，則f（x） = 0在（a，+∞）上有唯一實(shí)根，若f（a）與 f（x）同號(hào)，則f（x） = 0在（a，+∞）上沒(méi)有實(shí)根，對(duì)于區(qū)間（-∞，a）的情形有類似結(jié)論.

讓我們以導(dǎo)數(shù)的概念為入口，以導(dǎo)數(shù)的計(jì)算為抓手，以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為核心，站在增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神的高度，從而使導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮出它應(yīng)有的功用.