吳敏

相似三角形在初中幾何的教學中發(fā)揮著不可小覷的作用，在中考考題中常有涉及和滲透，筆者在初三的教學中發(fā)現掌握相似三角形的基本圖形，對培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力有一定的促進作用。本文以相似三角形中的“一線三等角”這一基本圖形為載體，研究這一基本圖形背景下的相關題型，并進行了收集與整理，希望對學生靈活應用這一模型有所幫助。

一、弄清基本模型定義和解題原理

二、應用舉例

1.在“動點問題”中的應用

例1：如圖2，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，設BM的長為x cm，CN的長為y cm.求點M在BC上的運動過程中y的最大值。

分析：由圖可知∠B=∠C= ∠AMN=90°，Rt△ABM與Rt△MCN成“一線三等角”模型，所以Rt△ABM∽Rt△MCN，從而，所以，.所以y的最大值為。

【變式】如“例1”的條件，將問題改為“當BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.”

分析：四邊形ABCN的面積為，BC，AB的長都為1，是定值，只有CN在變化，要使四邊形ABCN的面積最大，則CN最大，即轉化為“例1”的問題.

2.與反比例函數聯(lián)手

例2：（2015·孝感）如圖3，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，點A在反比例函數y=的圖象上.若點B在反比例函數y=的圖象上，則k的值為（ ）

A.-4 B.4

C.-2 D.2

分析：看到反比例函數圖像上的點A，并且要求的點B也在反比例函數圖像上，從而聯(lián)想反比例函數解析式中“k”的幾何意義解決問題.過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D.根據“一線三等角”模型，很容易得到△ACO∽△ODB，從而==4，然后用反比例函數解析式中“k”的幾何意義即可.

3.在“直角三角形存在性問題”中的應用

點的存在性問題始終是中考考查的熱點和難點，對學生的思維能力和模型思想等基本數學素養(yǎng)有著較高的要求，所以一直困擾著學生.數學解題研究中一直很關注一題多解的研究，多一種解決問題的方法，能讓學生步入考場有更多的選擇，直角三角形的存在性問題多數教師在講解的時候是引導學生利用解析式法“”和勾股定理解決.筆者在教學中發(fā)現，利用“一線三等角”模型解決直角三角形的存在性問題也是一種通用方法，即便這個點在拋物線上也能使用（當點在拋物線上時，利用勾股定理會出現四次情形，初中學生無法解決），能為學生解決這類問題提供了一種新的選擇。

分析：如圖5，以AB為直徑作圓，與x軸的交點就是所要找的點P.

連接AP，BP，過點B作BF⊥x軸.因為AB是直徑，所以∠APB=90°，故∠APB=∠AOP=∠BFP=90°.根據“一線三等角”模型，很容易得到△AOP∽△PFB，從而，設OP長為x，則，從而能求出x，解決問題。

通過解決上述問題，學生對點的存在性問題——直角三角形的存在性問題獲得了基本的解題經驗，下面將“一線三等角”模型在存在性問題中的研究拓展到以拋物線為背景的題目中，通過構造該模型，利用相似的判定和性質解決問題困擾學生的二次函數壓軸題。

例4：如圖6，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點P，使得△BCP是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由。

分析：如圖 6，以BC為直徑作圓，與拋物線的對稱軸的交點就是所要找的點P.過點P作直線l∥x軸，交y軸于點M，過點B作BN⊥l，交l于點N. 根據“一線三等角”模型，很容易得到△CMP∽△PNB，從而，設點P的坐標為（2，t），易求得點C的坐標為（0，3），點B的坐標為（6，0），則CM=3-t，，NP=4，BN=-t，從而，求出t的值就能求出點P的坐標了。

從例3和例4可以看出，探尋或構造基本圖形能幫助我們解決一類題。其實對于二次函數背景下直角三角形的存在性問題，當需要探究的那個點在拋物線上時，能較好的體現“一線三等角”這一模型在計算中的優(yōu)越性，下面舉一例加以說明。

例5：如圖，拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足∠AMH=90°？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由。

分析：容易求得該拋物線的解析式為：，從而求得點M的坐標為。通過前面的學習，學生知道運用勾股定理解直角三角形的存在性問題，因此第一次做這個題的時候很多同學都是嘗試利用兩點間的距離公式變式出三邊的長度，再由勾股定理列方程，通過嘗試發(fā)現運算量很大。從而引導學生“一線三等角”模型解決此問題，發(fā)現計算簡便，省了不少的功夫。

過點M作直線MH⊥AM，交拋物線于點M.過點M作直線l∥x軸，過點A作AE⊥l，交l于點E，過點H作HF⊥l，交l于點F。根據“一線三等角”模型，很容易得到△AEM∽△MFH，從而，設點H的坐標為（），則AE=，EM=，MF=，HF=，從而，求出t的值就能求出點H的坐標了。

三、一點思考

通過上述的研究，我們可以感受到“一線三等角”模型在各個知識背景下的廣泛應用。為此，在平時的教學中，作為一線教師有必要嘗試這樣的專題研究，讓學生的大腦體系中形成比較完善的知識儲備，培養(yǎng)學生對基本圖形的敏銳觀察力，以便適時的將基本圖形當做一把利劍，靈活運用到數學解題中。當然，這樣的小專題研究只是對提高學生解題能力的一種嘗試，如果學生只是死記硬背、生搬硬套，這樣對學生的學習不會起到很好的促進作用。因此，在后續(xù)的教學中還需要研究如何將這樣的專題課進行有效的開展，以便更好的提高課堂教學效率，提高學生的學習效率。