董義宏

【摘要】高中數(shù)學教學中，學生在理解角的表示弧度制上有很大的困惑，如果得不到重視，將會極大地挫傷學生學習的積極性，直接影響后續(xù)內(nèi)容的學習.本文分析了角的基本特性，得出lr是角的基本量，用它可度量、刻畫、反映一個角的大小，從而很自然地引出了弧度制概念.使學生從根本上理解了概念，為后續(xù)學習掃清了障礙，打牢了基礎.

【關鍵詞】高中數(shù)學；概念弧度制教學；難點突破

在長期高中數(shù)學課堂教學實踐中，發(fā)現(xiàn)初學者對弧度制概念理解上頗感費解.老師講得費勁，學生聽得糊涂，一頭霧水，弧度制變成了“糊涂制”.學生學習喪失信心，影響了學習三角函數(shù)后續(xù)內(nèi)容的積極性.良好的開端是成功的一半，不能讓學生輸在起跑線上，從一開始就對本模塊的內(nèi)容失去信心.

一、提出問題，激發(fā)興趣

師：哪名同學回答扇形的弧長和面積公式？

生：公式太長，記得不太清楚了.

師：通過本節(jié)的學習這兩個公式就變得簡單多了，同學們想學嗎？

二、精心設計，啟發(fā)思考

1.用補圖辦法計算比值lr.

（當α分別為180°， 90°，60° ， 45°， 30°）

（1）當α=180°時，把半圓補圖，做輔助線，補成一個整圓，整圓的周長為2πr，半圓周長即為πr.lr=πrr=π，它是一個常數(shù)，不會因半徑r的變化而變化.

（2）當α=90°時，把它補圖，做輔助線，補成一個整圓，整圓的周長為2πr.90°占 360°的 14，因而此扇形的周長為14個圓周長.lr=14×2πrr=π2，它是一個常數(shù)，不會因半徑r的變化而變化.

（3）當α=60°時，把它補圖，做輔助線，補成一個整圓，整圓的周長為2πr.60°占 360°的16，因而此扇形的周長為 16 個圓周長.lr=1[]6×2πr[]r=π[]3，它是一個常數(shù)，不會因半徑r的變化而變化.

（4）當α=45°與α=30°時，可類似得出.

由上面的5個特例可以看出，角變比值變，角不變則比值不

變，給定角，比值是唯一的.對某一給定的角，比值lr 是可以度量角、刻畫角的大小的.

2.比值lr對同一角是定值嗎？

3.比值 lr對不同角變嗎？角增大時比值 lr怎么變？角減小時比值 lr怎么變？

4.角的大小能由比值 lr刻畫、反映、度量嗎？

三、總結(jié)歸納，得出定義

定義：一個角的弧度數(shù)由比值 lr確定，即|α|=lr.

弧度單位，用rad表示.當α為正角時，α=lr； 當α為負角時，α=-lr；弧長與半徑相等時易得角為1弧度.

四、繼續(xù)質(zhì)疑，引出重點

1.用定義計算簡單嗎？能否推導出更為簡單的換算公式呢？

2.用特例推公式，即

180°=π rad.

3.強化練習，熟悉互化.（略）

五、首尾照應，回答開始提出的問題.即扇形的弧長和面積公式是什么？

1.由定義|α|=lr直接得出l=|α|r.

2.推導面積公式：

（1）2π rad的圓心角對的扇形即整個圓面積是多少？

（3）α rad的圓心角對的扇形面積是多少？

S=α×12π×π×r2=12αr2=12lr.

3.公式的應用：

在圓心角為120°，半徑為2的扇形中，弧長是多少？面積是多少？

分析：先將角度化成弧度，再用上面兩個公式計算.

六、點撥強化，加深記憶

由上面的推導知道了扇形中兩個重要公式，它們的形式變得非常簡單.弧長公式僅僅是弧度公式的簡單變形；面積公式與三角形面積公式很類似，可類比三角形面積公式記憶.

七、介紹數(shù)學史知識，提高學生科學意識

到此為止我們已經(jīng)知道當弧長和半徑相等時，角就是1 弧度的角，古代數(shù)學家和近代數(shù)學家度量角的大小時，正是采用了這種方法，即用半徑度量扇形弧長，當弧長和半徑相等時，就是1 弧度的角，當弧長是半徑的2倍時就是2弧度的角，依次類推.在當代弧度制更是現(xiàn)代科學技術(shù)中表示角的常用方法.它的優(yōu)勢在上面兩個公式中已初步顯現(xiàn)，在后面的學習當中也會逐步體會到.

八、當堂檢測，反饋效果（略）