鄭杰

“創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂”，創(chuàng)新是高考命題的生命力所在.高考數(shù)學(xué)命題的創(chuàng)新有利于進(jìn)一步完善試題的選拔功能，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的實(shí)施.因此，在近些年的高考試卷中，相繼出現(xiàn)了一些內(nèi)容立意新、情景設(shè)置新、設(shè)問方式新或題型結(jié)構(gòu)新的新型題.

二、圖表分析型

根據(jù)題目中所給圖形（圖像）、數(shù)表等信息，聯(lián)系所學(xué)的定義、定理、公式的幾何（物理）意義，采用排除法，直接推演法得出正確結(jié)論.

例2 （2010江西卷12題）如圖，一個(gè)正五角星薄片

（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記

t時(shí)刻五角星露出水面部分面積為S（t）（S（0）=0）.

則導(dǎo)函數(shù)y=S′（t）的圖像大致為

解 由導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)值就是f（x）在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率.當(dāng)?shù)谝粋€(gè)角逐漸露出水面時(shí)，S（t）在逐漸增大，且增長速度越來越快，故其瞬時(shí)變化率S′（t）也應(yīng)逐漸增大，當(dāng)?shù)诙糠珠_始露出水面時(shí)，此時(shí)的S（t）應(yīng)突然增大，然后的增長速度越來越慢，但仍為增函數(shù)，故其瞬時(shí)變化率S′（t）也應(yīng)突然增大，再逐漸變小，但S′（t）>0（故可排除B）；當(dāng)五角星全部露出水面后，S（t）不在變化，故其導(dǎo)數(shù)值S′（t）最終應(yīng)等于0.故正確選項(xiàng)為A.

三、學(xué)科綜合型

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求加強(qiáng)數(shù)學(xué)的整體意識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)各個(gè)不同分支間的聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)與生產(chǎn)生活的聯(lián)系.高考試題中經(jīng)常會(huì)在數(shù)學(xué)各個(gè)不同分支之間，不同學(xué)科之間相關(guān)節(jié)點(diǎn)的地方命題.

例3 （2014江西卷10題）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12.一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)E（4，3，12），遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），將第i-1次到第i次反射點(diǎn)之間的距離記為Li（i=2，3，4），L1=AE，將線段L1，L2，L3，L4豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是

解 根據(jù)反射的對(duì)稱性，質(zhì)點(diǎn)是在過A，E，A1作長方體的截面AA1NM如圖所示.

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于平面A1B1C1D1的對(duì)稱點(diǎn)為A′，易知它在z軸上，且A′A1=AA1=12，連接A′E并延長交平面ABCD于點(diǎn)E1，因?yàn)锳1E=5，所以AE1=10，且E1到AB，AD的距離分別為6，8，即E1（8，6，0），而它在線段AM上，從而知L1=AE=EE1=L2；事實(shí)上，只需要在AA1NM內(nèi)，過E1作AE的平行線交MN于點(diǎn)E2，再過E2作E1E的平行線交A1N于點(diǎn)E3，可知EE1>E2E3=L4>E1E2=L3，故L1=L2>L4>L3，故選C.

四、條件（結(jié)論）開放型

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，養(yǎng)成求實(shí)、說理、質(zhì)疑、批判的思維習(xí)慣.高考試題中出現(xiàn)開放型（條件或結(jié)論不唯一）試題.

例4 （2007福建卷）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“～ ”滿足以下三個(gè)條件：

（1）自反性：對(duì)于任意a∈A，都有a～a；

（2）對(duì)稱性：對(duì)于a，b∈A，若a～b，則有b～a；

（3）傳遞性：對(duì)于a，b，c∈A若a～b，b～c，則a～c；

則稱“～”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.例如“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線平行”不是等價(jià)關(guān)系.（自反性不成立）

（理）請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系.

答案：“平面圖形的相似”； “平面圖形的全等”； “集合的相等”； “向量的相等”；“函數(shù)的相等”；“角的相等”；“平面圖形的面積的相等”；“幾何體的體積的相等”.

五、多選填空型

由于學(xué)生對(duì)定義、定理等理解上的失誤，對(duì)一些問題判斷不準(zhǔn)，高考試題中出現(xiàn)多選填空題.

例6 （2013四川卷15題）設(shè)p1，p2，…，pn為平面α內(nèi)的個(gè)點(diǎn).在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)p到點(diǎn)p1，p2，…，pn的距離之和最小，則稱點(diǎn)p為點(diǎn)p1，p2，…，pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”.例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn).現(xiàn)有下列命題：

①若三個(gè)點(diǎn)A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；

② 直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；

③若四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；

④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn).

解 對(duì)于①，不妨假設(shè)A，C，B三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系xOy中x的軸上由左至右排列，A（0，0），C（b，0），B（b，0），0

|MA|+|MB|+|MC|=x2+y2+（x-b）2+y2+（x-c）2+y2≥|x|+|x-b|+|x-c|，因?yàn)?0，b>0，M（x，y），為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為a2，b2，則|MA|+|MB|+|MC|=

（x-a）2+y2+x2+（x-b）2+x2+y2，當(dāng)x=a2，y=b2時(shí)，|MA|+|MB|+|MC|=

32a2+b2，而當(dāng)x=0，y=0時(shí)，|MA|+|MB|+|MC|=a+b，因?yàn)?4（a2+b2）-（a+b）2=

5a2+5b2-8ab4≥12ab>0，所以斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)，故②錯(cuò)；對(duì)于③，不妨假設(shè)A，B，C，D四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的x軸上由左至右排列，A（0，0），B（b，0），C（c，0），D（d，0），0

|MA|+|MB|+|MC|+|MD|

=x2+y2+（x-b）2+y2+（x-c）2+y2+（x-d）2+y2

≥|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|，

因?yàn)?

由于新型題的設(shè)計(jì)思想新穎，題目形式新鮮，解答要求有新意，能有效地避免試題的格式化、模式化.能夠使考生在新的情境中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，從而創(chuàng)造性的解決問題，真正考出考生的學(xué)習(xí)能力.所以，新型題成為高考試卷中一道靚麗的風(fēng)景.