□浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學(xué)　許科挺

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營造“動感地帶”，激活學(xué)生發(fā)散性思維
——一道九年級數(shù)學(xué)競賽題的解題教學(xué)與反思

□浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學(xué)許科挺

現(xiàn)在的解題教學(xué)，大多數(shù)還是以教師講解為主，以總結(jié)概念、精講例題來完成，這樣的演繹體系存在種種弊端，如：（1）缺少調(diào)動學(xué)生情緒及進(jìn)入學(xué)習(xí)角色的興奮點(diǎn)，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)和求知欲望的發(fā)生和發(fā)展；（2）限制了部分學(xué)生的表現(xiàn)欲和成就感，不利于學(xué)生的人格發(fā)展和個(gè)性發(fā)展；（3）缺少小組合作，不利于全班團(tuán)結(jié)合作能力的培養(yǎng)和智能水平的發(fā)展。那么，如何克服上述弊端呢？

教育家葉圣陶先生曾經(jīng)說過：“教材只能作為教課的依據(jù)，而教得好，使學(xué)生得益，還得靠老師的善于運(yùn)用?！边@句話告訴我們，教學(xué)材料僅僅只是提供了最基本的教育資源，但并不是唯一的資源。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)“思維活動”的教學(xué)，必須作為“思維過程”來進(jìn)行。

下面就一道九年級競賽題的解決，在探索與實(shí)踐中讓學(xué)生發(fā)散思維，從中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

一、案例呈現(xiàn)（發(fā)現(xiàn)問題，由“點(diǎn)”到“線”）

問題：如圖1，已知五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠A= ∠B=900，則可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有_____條，滿足條件的直線可以怎樣去確定：_____

讓學(xué)生獨(dú)立嘗試幾分鐘后，我們就可以從學(xué)生的角度開始分析——

生1：可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有1條，滿足條件的直線可以這樣去確定：如圖2，延長BC、ED交于點(diǎn)F，將原五邊形補(bǔ)成一個(gè)矩形，取該矩形的重心G，記△CDF的重心為H，直線GH即為所求。

復(fù)習(xí)基本圖形的重心，提問：你知道哪些基本圖形的重心？（學(xué)生開始討論……）

生：線段的重心是該線段的中點(diǎn)，三角形的重心是該三角形三條中線的交點(diǎn)，平行四邊形的重心是該平行四邊形兩條對角線的交點(diǎn)，梯形的重心是上下底中點(diǎn)連線與中位線的交點(diǎn)。

師反問：如圖3，點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G的任意一條直線都能將△ABC的面積平分嗎？

（學(xué)生開始思考……過了一會兒）生2舉手回答：不一定，如圖4，過點(diǎn)G作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，∵點(diǎn)G是△ABC的重心

∴直線MN過點(diǎn)G，但不能將△ABC的面積平分。

師小結(jié)：同學(xué)們，對于有些結(jié)論，我們可以用特例來檢驗(yàn)一下，比較直觀。

師：同學(xué)們也可以發(fā)現(xiàn)，生1找到的直線GH是不一定能將五邊形面積平分的。

我的意圖是，給出生1的解答，讓其他學(xué)生通過熟悉的知識找到生1解答中的問題所在，便于調(diào)動學(xué)生的積極性，同時(shí)也為后面的知識應(yīng)用做鋪墊。

師：同學(xué)們，我們發(fā)現(xiàn)：過三角形的重心，畫一直線未必將三角形面積平分。那么，特殊四邊形當(dāng)中，是否也是如此呢？

生2馬上有了答案：過矩形、菱形、正方形、梯形的重心，畫一直線必將三角形面積平分。

老師投去了贊許的目光，其他學(xué)生也紛紛表示贊同。

師（趁熱打鐵）：接下來，同學(xué)們對于原問題的解決有沒有其他的點(diǎn)子呢？

生3（帶著疑問）：老師，能不能將五邊形分割成一個(gè)矩形和一個(gè)直角梯形？

如圖5，過C作AB的平行線CF，交AE于F，該五邊形分割成一個(gè)矩形和一個(gè)直角梯形。

師：你講得很好，請繼續(xù)。

生3：我先畫一條直線將直角梯形CDEF的面積平分。如圖6，①取直角梯形CDEF的中位線GH，②取中位線GH的中點(diǎn)P，③過中點(diǎn)作一條直線與直角梯形兩底邊ED、FC分別交與M、N，直線MN即為所求。

師（追問）：將直角梯形CDEF面積平分的直線有_____條呢？

生3：噢（好像突然有了靈感），可以將直角梯形CDEF面積平分的直線有無數(shù)條（非常高興的）。

師：那么可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有_____條，滿足條件的直線可以怎這樣去確定呢？

生3（有點(diǎn)請教老師的意思）：可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線……（停頓了一下）好像只有1條，滿足條件的直線可以這樣去確定：如圖7，過C作AB的平行線CF，該五邊形分割成一個(gè)矩形和一個(gè)直角梯形，記矩形的重心為K，取直角梯形中位線GH，線段GH中點(diǎn)為J，直線JK即為所求。

師：生4好像有話要說，請（加了語氣）。

生4迫不及待地說：可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有無數(shù)條，滿足條件的直線可以這樣去確定：如圖8，過C作AB的平行線CF，該五邊形分割成一個(gè)矩形和一個(gè)直角梯形，記矩形的重心為K，取直角梯形中位線GH，線段GH中點(diǎn)為J，直線JK即為所求直線之一。設(shè)直線JK 與DE、AB分別交于M、N，取線段MN中點(diǎn)O，過點(diǎn)O且與DE，AB分別相交的直線均可將五邊形面積平分。

筆者驚嘆于生4的完美解答。我的想法是，沒有預(yù)設(shè)，就沒有教學(xué)；沒有生成，就沒有精彩！在解決問題中，我們既要讓學(xué)生學(xué)會，更要讓學(xué)生會學(xué)、樂學(xué)，一些解題的方法與策略需要教師在平時(shí)的教學(xué)中逐步滲透。一位好的教師會不斷探索與實(shí)踐，博采眾長，獨(dú)辟蹊徑，運(yùn)用全新的數(shù)學(xué)觀念、創(chuàng)造性的思維方式、風(fēng)趣幽默的教學(xué)語言，讓學(xué)生在盡情領(lǐng)略數(shù)學(xué)“大自然”的美妙風(fēng)光、親身經(jīng)歷探求數(shù)學(xué)寶藏的發(fā)現(xiàn)活動中，思維能力悄然快速地提高。

而后，筆者讓生5自行歸納解決本題過程中用到的知識點(diǎn)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了“等積變形”在此題的運(yùn)用。

二、問題延伸（基于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的問題解決，由“線”牽動“面”）

心理學(xué)研究表明：學(xué)生對處于自己“最近發(fā)展區(qū)”的知識最感興趣，對掌握主動權(quán)的學(xué)習(xí)最有積極性。于是在解決問題后，筆者將學(xué)生分成四大組，以組為單位讓學(xué)生自行查閱資料，找到了相關(guān)的幾道題。筆者摘錄了其中三道題目。

⒈如圖9所示，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖10所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（圖10中折線CDE）還保留著。張大爺想過點(diǎn)E修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多。請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案（不計(jì)分界小路和直路的占地面積），要求說明方案設(shè)計(jì)理由，并畫出相應(yīng)的圖形。

解：如圖11，連結(jié)EC，過點(diǎn)D作DF∥EC交CM與點(diǎn)F，連結(jié)EF，線段EF即為所求直路。理由：∵DF∥EC∴S△EDC=S△EFC∴SAEDCB=SAEFCB

即直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多，那么右邊的土地面積與開墾的荒地面積也一樣多。

⒉如圖12，四邊形ABCD中，∠B=900，，∠BCD=450，，AB=4，BC=5，，則△ACD的面積為。

解：如圖13，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，連結(jié)AE，

⒊如圖14，n個(gè)正方形并排放在一起，其邊長（從左到右）依次分別為a1，a2，…，an，則△ABC的面積為。

解：如圖15，連結(jié)AD，CD，則AD∥BC，

師總結(jié)：同學(xué)們，我們不缺少思維訓(xùn)練，但是數(shù)學(xué)知識“內(nèi)化”才是同學(xué)們思維升華的關(guān)鍵、學(xué)習(xí)的根本。那么，如何做到這一點(diǎn)呢？我們就以上三題可將數(shù)學(xué)知識模塊化，對于諸如此類面積問題的解決可歸結(jié)為四種方法：

三、反思

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，總是伴隨著一系列思維活動進(jìn)行的。如果解題思路和方法能夠獨(dú)具一格，富有創(chuàng)造性，則能大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，收到事半功倍的效果。