潘　剛， 尚朝軒， 梁玉英， 蔡金燕， 孟亞峰

(軍械工程學院 電子與光學工程系，石家莊　050003)

隨機沖擊情況下考慮認知不確定的多態(tài)系統(tǒng)可靠性評估

潘剛， 尚朝軒， 梁玉英， 蔡金燕， 孟亞峰

(軍械工程學院 電子與光學工程系，石家莊050003)

摘要：由于環(huán)境或其他原因，部件可能受到隨機沖擊，部件性能退化由正常性能退化和隨機沖擊兩部分構成，對于該類高可靠部件短時間內很難得到足夠的性能數據，致使對部件認知存在一定不確定性，無法準確估計系統(tǒng)的可靠性。為實現對系統(tǒng)可靠性的準確估計，假定沖擊引起的部件性能損傷分布參數為區(qū)間變量，建立基于區(qū)間變量的部件性能分布模型，給出了部件狀態(tài)性能區(qū)間連續(xù)序列定義和區(qū)間狀態(tài)概率計算方法，對傳統(tǒng)的通用生成函數方法進行改進，定義了區(qū)間通用生成函數及其運算法則，提出了隨機沖擊情況下考慮認知不確定的多態(tài)系統(tǒng)可靠性評估方法，并以仿真實例進行了驗證說明。該方法不僅克服了性能分布信息缺少，無法準確建立狀態(tài)性能分布模型的不足，且具有很強的通用性和工程應用價值。

關鍵詞：隨機沖擊；認知不確定性；區(qū)間連續(xù)序列；區(qū)間通用生成函數

20世紀70年代多態(tài)系統(tǒng)的概念被提出后[5-6]，基于多態(tài)系統(tǒng)模型的系統(tǒng)可靠性研究得到了學者們的廣泛關注。在理論方法方面，文獻[4, 11-12]對多態(tài)系統(tǒng)可靠性的基本概念、評估方法和優(yōu)化設計等方面內容進行了詳細的闡述。在工程應用方面，多態(tài)系統(tǒng)可靠性的相關理論已經應用到電力[7-8]、機械[9-10]等領域。一些學者對上述傳統(tǒng)的多態(tài)系統(tǒng)理論進行推廣。Ding等[13-14]在模糊狀態(tài)和模糊狀態(tài)概率給定的前提下，給出了模糊多態(tài)系統(tǒng)的通用定義和可靠性分析方法。鄢民強等[15]提出了一種考慮不完全覆蓋的模糊多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性計算方法。Li等[16]利用區(qū)間分析理論和通用生成函數方法分析了多態(tài)系統(tǒng)的區(qū)間可靠性。Li等[17]對具有隨機沖擊情況的考慮競爭失效的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性模型進行分析。對于具有隨機沖擊情況的高可靠部件構成的系統(tǒng)，通常情況下，很難準確定量沖擊對部件或系統(tǒng)性能的影響。通過對當前上述研究分析可知，在具有隨機沖擊的情況下，無論是基于 “二態(tài)”假設，還是采用多態(tài)系統(tǒng)模型，對于隨機沖擊情況下考慮認知不確定的多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析研究相對較少。

高可靠性部件構成的多態(tài)系統(tǒng)進行可靠性分析時，隨機沖擊情況下的認知不確定性主要表現在兩個方面：①隨機沖擊對部件性能分布的影響具有一定的不確定性，且很難準確定量；②由于對系統(tǒng)或部件性能退化機理認知的不完善，而建立的狀態(tài)性能分布模型往往是不準確的，有時可能會出現很大的偏差。鑒于上述不足，本文提出了隨機沖擊情況下考慮認知不確定的多態(tài)系統(tǒng)區(qū)間可靠性分析方法，給出了多態(tài)系統(tǒng)的可靠性分析流程，并以仿真實例進行了驗證分析。

1性能退化系統(tǒng)狀態(tài)分析

1.1性能退化部件性能分析

對隨機沖擊情況下考慮認知不確定的部件性能分布進行分析之前，先做如下假設：

(2) 部件只有一個性能參數x，對應一個性能退化過程，且退化過程不可逆。

(3) 定義N(t)為到t時刻為止部件受到的沖擊次數，Sl為第l次沖擊對部件性能的損傷，S(0)=0，S(t)為到t時刻為止，隨機沖擊對部件性能產生的累計損傷，則：

假設沖擊次數服從參數為λ的泊松分布，即

(5) 在任意時刻t，假設部件性能X(t)服從均值為μ(t)，方差為σ(t)2的正態(tài)分布，其概率密度函數為f(x;θ(t))。

(6) 同時考慮正常的性能退化和沖擊所引起的性能退化時，t時刻部件的性能可以表示為：

此時部件的性能分布函數為：

F(Y)=p{G(t)≤y}=

由于，

最后可得:

(1)

式中，

1.2性能退化部件狀態(tài)概率分析

定義部件的狀態(tài)性能區(qū)間劃分準則，采用系統(tǒng)最低任務需求[w]與部件性能分布特性相結合的方法對部件的狀態(tài)性能區(qū)間進行劃分，具體如下：

圖1　部件性能分布Fig.1 Performance distribution of components

(4) 令部件的最大性能為gmax，為了便于表示假定gε1(t)=μz(t)-3σz(t)，gε2(t)=μz(t)-2σz(t)，gε3(t)=μz(t)-σz(t)，gε4(t)=μz(t)，gε5(t)=μz(t)+σz(t)，gε6(t)=μz(t)+2σz(t)，gε7(t)=μz(t)+3σz(t)。

其中，

其中，

gεx(t)=(gε1(t)+gεl(t))/2，l=1,…,7

其中，

gεx(t)=(gεr+1(t)+gεl(t))/2，1≤r

其中，

其中，

⑥ 當[w]>gmax時，表明部件的性能已不滿足系統(tǒng)分配的最小任務需求，對其進行狀態(tài)的劃分已經沒有實際的工程意義，故此時可認為部件失效。

(2)

式中，

2運算法則

為了降低計算的難度，在分析時將狀態(tài)性能區(qū)間連續(xù)序列分為區(qū)間連續(xù)序列上限、區(qū)間連續(xù)序列中值、區(qū)間連續(xù)序列下限三種情況進行討論分析，現以區(qū)間連續(xù)序列上限為例進行分析說明。

2.1區(qū)間通用生成函數定義

部件i的狀態(tài)概率區(qū)間族形式為：

{pi(t)}={[p1(t)],…,[pki(t)],…,[pMi(t)]}

定義部件i的區(qū)間通用生成函數為：

(3)

式中，i=1,2,…,n，ki=1,2,…,Mi。

2.2區(qū)間通用生成函數運算法則

U(t,z)=Ω(ui(t,z),uj(t,z))=

(4)

根據系統(tǒng)結構特點定義如下運算符：

δ1(ui(t,z),uj(t,z))=

δ2(ui(t,z),uj(t,z))=

3基于區(qū)間通用生成函數的多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析

根據上述運算法則的分析，假定得到的多態(tài)系統(tǒng)區(qū)間通用生成函數為：

(5)

定義多態(tài)系統(tǒng)的最小區(qū)間任務性能需求為[w]，則系統(tǒng)的區(qū)間可靠度為：

[R(t)]=P{[G(t)]≥[w]}=

(6)

式中，P{[G(t)]≥[w]}表示[G(t)]-[w]≥0的概率，[G(t)]={[g1(t)],…,[gks(t)],…,[gMs(t)]}。

綜合上述三點，可以將[gks(t)]-[w]的可能度區(qū)間定義為：

p([gks(t)]-[w]≥0)=

因此，系統(tǒng)的區(qū)間可靠度為：

[R]=P{[G(t)]≥[w]}=

4算例分析

圖2　多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)Fig.2 Multi-state serial-parallel system

4.1部件和分系統(tǒng)區(qū)間通用生成函數

4.1.1部件區(qū)間通用生成函數

表1　部件退化性能、分系統(tǒng)結構函數和系統(tǒng)結構函數

部件6可分為2個狀態(tài)，其狀態(tài)性能定義為g6={[0,70],[70,100]}。

在t=10 000 h時，根據2.2節(jié)性能退化部件狀態(tài)概率分析，部件各狀態(tài)性能區(qū)間連續(xù)序列對應的概率區(qū)間為：{p1(t)}={p1,1(t),p1,2(t),p1,3(t)}，其中，p1,1(t)=[0.004 4,0.008 2]，p1,2(t)=[0.064 5,0.107 8]，p1,3(t)=[0.836 2,0.884 0]{p2(t)}={p1(t)}，{p3(t)}={p31(t),p32(t)}，其中，p3,1(t)=[0.037 1,0.049 5]p3,2(t)=[0.935 0,0.950 5]{p3(t)}={p4(t)}={p5(t)}，{p6(t)}={p6,1(t),p6,2(t)}，p6,1(t)=0.051 8，p6,2(t)=0.948 2。

以狀態(tài)性能區(qū)間連續(xù)序列上限方法為例對部件區(qū)間通用生成函數和分系統(tǒng)區(qū)間通用生成函數進行分析，其他的方法類似，不再贅述。

根據狀態(tài)性能區(qū)間連續(xù)序列族定義和性能退化部件狀態(tài)概率求解方法，可得部件1～6的區(qū)間通用生成函數為：

u1(t,z)=[0.004 4,0.008 2]z[51.97,52.47]+

[0.064 5,0.107 8]z[54.75,55.25]+

[0.836 2,0.884 0]z[69.75,70.25]，

u2(t,z)=u1(t,z),

u3(t,z)=[0.037 1,0.049 5]z[34.77,35.07]+

[0.935 0,0.950 5]z[49.85,50.15]，

u3(t,z)=u4(t,z)=u5(t,z)，

u6(t,z)=[0,70]z0.051 8+[70,100]z0.948 2

4.1.2分系統(tǒng)區(qū)間通用生成函數

由圖2可知分系統(tǒng)1是由部件1和部件2構成，且分系統(tǒng)1的性能為部件1和部件2性能的和，根據第3節(jié)運算法則定義的δ1運算符，可得分系統(tǒng)1的區(qū)間通用生成函數為：

Usub1(z,t)=δ1(u1(z,t),u2(z,t))=

[0.000 6,0.001 8]z[106.7,107.7]+

[0.004 2,0.011 6]z[109.5,110.5]+

[0.007 4,0.014 4]z[121.7,122.7]+

[0.107 8,0.190 6]z[124.5,125.5]+

[0.699 2,0.781 6]z[139.5,140.5]

分系統(tǒng)2是由部件3、4和5構成，且其性能為部件3、4和5性能的和，同理可得分系統(tǒng)2的區(qū)間通用生成函數為：

Usub2(z,t)=δ1(u3(z,t),u4(z,t),u5(z,t))=

[0,0.000 1]z[104.3,105.2]+[0.003 9,0.007 0]z[119.4,120.3]+

[0.097 3,0.134 2]z[134.5,135.4]+

[0.817 3,0.858 7]z[149.6,150.5]

4.2系統(tǒng)區(qū)間可靠性分析

4.2.1系統(tǒng)區(qū)間可靠性分析

將分系統(tǒng)1和分系統(tǒng)2采用第2節(jié)運算法則定義的δ2運算符，可得分系統(tǒng)1、2綜合后的分系統(tǒng)區(qū)間通用生成函數為：

U1-2=[0.000 4,0.001 5]z[106.7,107.7]+

[0.003 7,0.011 3]z[109.5,110.5]+

[0.003 1,0.006 9]z[119.4,120.3]+

[0.006 8,0.014 3]z[121.7,122.7]+

[0.098 6,0.189 2]z[124.5,125.5]+

[0.068 0,0.104 9]z[134.5,135.4]+

[0.571 4,0.671 2]z[139.5,140.5]

因此，根據式(7)可得分系統(tǒng)1和2的區(qū)間可靠度為：

R1-2=[0.752 1,0.999 4]

分系統(tǒng)3的可靠度為：

R3=0.948 2

最后可得t=10 000 h時系統(tǒng)的區(qū)間可靠度為：

R(t)=R1-2(t)R3(t)=[0.713 2,0.947 7]

在t=10 000 h時采用Monte Carlo(MC)仿真方法進行分析，在分析過程中為了充分描述Monte Carlo(MC)仿真方法在每次仿真計算過程中所得計算結果的可能性，取L=1 000次仿真結果的最大值和最小值，將其作為區(qū)間可靠度的最大值和最小值，可得MC仿真方法的區(qū)間可靠度為[0.894 8,0.956 9]。

如果采用傳統(tǒng)的方法進行系統(tǒng)可靠性分析，則一般假設部件僅有兩個狀態(tài)，根據系統(tǒng)總的性能輸出要求，確定部件的失效閾值。對于部件1,2性能不小于[54.75, 55.25]時分系統(tǒng)1正常，部件3,4,5性能不小于[35.75,36.25]時分系統(tǒng)2正常，部件6的性能不小于70時，分系統(tǒng)3正常，因此，采用傳統(tǒng)方法可得系統(tǒng)的區(qū)間可靠度為[0.483 4,0.606 3]。

采用本文所提方法、傳統(tǒng)可靠性方法、Monte Carlo仿真方法所得系統(tǒng)的區(qū)間可靠性對比關系如表2所示。

表2　三種方法所得系統(tǒng)區(qū)間可靠性對比分析結果

通過對表2分析我們可以得出以下結論：

1) 采用本文所提方法，分別對連續(xù)區(qū)間序列下限、中值、上限進行分析，所得計算結果總體上呈增大的趨勢，連續(xù)區(qū)間序列的上限方法和下限均未完全包含連續(xù)區(qū)間序列中的狀態(tài)信息，而連續(xù)區(qū)間序列的中值為上限和下限的折中，故所得結果一定程度上，更加接近客觀值，取連續(xù)區(qū)間序列族下限時所得結果隨著時間的增加與后兩者的偏差越大，在后續(xù)研究中不再分析。

2) 傳統(tǒng)方法、區(qū)間連續(xù)序列中值方法和Monte Carlo仿真方法三者所得結果進行對比，傳統(tǒng)方法與后兩者相比誤差較大，且采用傳統(tǒng)方法進行系統(tǒng)可靠性估計時，部件的失效閾值通常是根據部件自身的統(tǒng)計規(guī)律確定的，不能根據具體系統(tǒng)具體分析，有時可能會出現一些偏差，進一步體現了多態(tài)系統(tǒng)理論在描述系統(tǒng)可靠性時的準確性優(yōu)勢。

4.2.2狀態(tài)性能區(qū)間半徑影響分析

圖3　區(qū)間半徑大小與系統(tǒng)區(qū)間可靠度均值的關系Fig.3 The relationship between interval radius and the mean of system interval reliability

由圖3可以得出以下結論：

1) 連續(xù)區(qū)間序列上限方法的最大值點和最小值點分別為(0,0,0.948 1)、(2,2,0.701 4)；連續(xù)區(qū)間序列中值方法的最大值點和最小值點分別為(0,0,0.904 7)、(2,2,0.648 3)。

2) 對于連續(xù)區(qū)間序列上限方法和連續(xù)區(qū)間序列中值方法，隨著參數α，β值的增加，系統(tǒng)區(qū)間可靠度均值呈增大趨勢，其主要原因是當α=β=0，區(qū)間連續(xù)序列退化為點區(qū)間，部件狀態(tài)性能區(qū)間中存在的不確定性變?yōu)?，再對其采用區(qū)間序列上限方法時，其取值變?yōu)辄c區(qū)間的上邊界，致使[gks(t)]-[w]的可能度增大，從而使得區(qū)間可靠度的均值增大，同理，區(qū)間序列中值法亦是如此。

4.3進一步分析

4.3.1部件狀態(tài)點區(qū)間劃分時系統(tǒng)可靠性分析

為了充分分析本文所提方法的優(yōu)缺點，在t=10 000 h時，將部件狀態(tài)按傳統(tǒng)的點區(qū)間進行劃分，部件的通用生成函數為：

u1(z,t)=u2(z,t)=0.002 7z[0,51.6]+

0.093 4z[51.6,55]+0.903 8z[55,70]

u3(z,t)=u4(z,t)=u5(z,t)=

0.039 4z[0,34.8]+0.960 6z[34.8,50]

分系統(tǒng)1和分系統(tǒng)2的區(qū)間通用生成函數分別為：

Usub1(z,t)=δ1(u1(z,t),u2(z,t))=

0.000 5z[51.6,106.6]+0.004 9z[55,106.6]+

0.008 7z[103.2,121.6]+0.168 9z[106.6,125]+0.817 0z[110,140]

Usub2(z,t)=δ1(u3(z,t),u4(z,t),u5(z,t))=

0.000 1z[0,104.5]+0.004 5z[34.8,119.7]+

0.109 1z[69.7,134.8]+0.886 3z[104.5,150]

將分系統(tǒng)1、2綜合后的分系統(tǒng)區(qū)間通用生成函數為：

U1-2=0.000 1z[0,104.5]+0.000 5z[51.6,106.6]+

0.004 9z[55,110]+0.004 5z[34.8,119.6]+

0.007 7z[103.2,121.6]+0.149 7z[104.5,125]+

0.089 2z[69.7,134.8]+0.724 1z[104.5,140]

當系統(tǒng)的最小性能需求[w]=[90,110]，則分系統(tǒng)12的可靠度為：R1-2=0.837 7。最后可得系統(tǒng)的可靠度為：

R(t)=R1-2(t)R3(t)=0.794 4

4.3.2進一步對比分析

為了進一步對比分析，將區(qū)間連續(xù)序列上限方法(狀態(tài)3-2)和區(qū)間連續(xù)序列中值方法(狀態(tài)3-2)兩種方法結果的均值，點區(qū)間方法、傳統(tǒng)方法和Monte Carlo仿真方法的結果進行比較。

圖4　幾種方法所得可靠性結果對比Fig.4 Comparison of reliabilities respectively obtained by the afore-said methods

由圖4可以得出以下結論：

1) 在傳統(tǒng)方法中，部件失效閾值的選取對系統(tǒng)可靠性的影響較為敏感，因此其成為影響系統(tǒng)可靠度評估精度的薄弱環(huán)節(jié)，與其他方法相比誤差較大。

2) 區(qū)間連續(xù)序列中值方法(狀態(tài)3-2)和點區(qū)間方法兩種方法所得結果相對比較保守，此外狀態(tài)數相同的情況下，因大部分系統(tǒng)的失效率隨著時間的增加逐漸增大，即可靠性降低的速率要增大，故采用區(qū)間連續(xù)序列中值方法要比點區(qū)間方法更加符合系統(tǒng)可靠性的退化規(guī)律，精度更高，一定程度上克服了隨著狀態(tài)數的增加，計算過程過于繁瑣的不足。

3) 區(qū)間連續(xù)序列上限方法(狀態(tài)3-2)與Monte Carlo仿真方法結果相對存在一定的誤差，隨著時間的增加偏差增大，原因主要在于仿真的過程中部件的狀態(tài)數N=20相對較少，若部件的狀態(tài)數過多的話，在仿真計算系統(tǒng)的狀態(tài)數過于龐大，難以計算。

眾所周知，采用通用生成函數方法對多態(tài)系統(tǒng)可靠性進行分析時，隨著狀態(tài)數的增加，精度增大，但計算的復雜度增加，下面將分析分系統(tǒng)1中部件狀態(tài)為4，分系統(tǒng)2中部件狀態(tài)為3時，系統(tǒng)區(qū)間可靠度和區(qū)間可靠度均值隨時間的變化關系，見圖5。

圖5　部件狀態(tài)取不同值時系統(tǒng)可靠性的變化Fig.5 Changes of MSS reliability when component’ state number is changed

由表3和圖5可以得出以下結論：

1) 狀態(tài)數(4-3)與狀態(tài)數(3-2)相比，在相同時刻，狀態(tài)數(4-3)中區(qū)間連續(xù)序列下限方法和區(qū)間連續(xù)序列中值方法的分析結果呈增大的趨勢。

2) 區(qū)間連續(xù)序列中值方法與Monte Carlo仿真方法相比結果雖存在一定誤差，但在一定程度上可以表征系統(tǒng)的可靠性水平，因此在損失一定的精度情況下，本文區(qū)間連續(xù)序列族中值方法不僅解決了傳統(tǒng)方法誤差大的問題，而且克服了Monte Carlo仿真方法仿真規(guī)模大、耗時長的不足，方法簡單，便于實現。

3) 采用區(qū)間通用生成函數方法隨著狀態(tài)數的增加，降低了系統(tǒng)的可靠性評估結果與MC仿真方法所得評估結果之間的誤差，因此在一定程度上驗證隨著部件狀態(tài)數的增加，系統(tǒng)可靠性評估結果精度增大的結論。

表3　狀態(tài)數(4-3)時所得系統(tǒng)區(qū)間可靠性對比分析結果

5結論

本文針對考慮認知不確定性與隨機沖擊情況的多態(tài)系統(tǒng)，提出了隨機沖擊情況下考慮認知不確定的多態(tài)系統(tǒng)區(qū)間可靠性分析方法，給出了多態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)可靠性的分析流程，通過仿真實例分析可得出以下結論：

(1) 該方法降低了傳統(tǒng)方法中部件失效閾值選取不當對系統(tǒng)可靠度評估影響，提高了系統(tǒng)可靠性評估精度；

(2) 該方法在狀態(tài)數相同的情況下，與傳統(tǒng)點區(qū)間通用生成函數法相比，不僅精度較高，且一定程度克服了其隨著狀態(tài)數的增加，計算過程過于繁瑣的不足；

(3) 該方法與Monte Carlo仿真方法相比，克服了其仿真規(guī)模大、耗時長的不足。

參 考 文 獻

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Estimation of interval-valued reliability of multi-state system in consideration of epistemic uncertainty under random shock

PAN Gang, SHANG Chao-xuan, LIANG Yu-ying, CAI Jin-yan, MENG Ya-feng

(Department of Electronic and Optic Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Abstract:Components may suffer from random shocks in some environments or other conditions. The performance degradation of components consists of normal performance degradation and random shocks. Since it is hard to obtain adequate performance data of high-reliability components within a short time, there are epistemic uncertainties on components and the system reliability cannot be accurately estimated. For the purpose of accurate estimation of system reliability, the distribution parameters of components’ performance deterioration caused by random shocks were assumed as interval variables, the components’ performance distribution model based on the interval variables was built, the definition of interval-continuous sequences of components’ state performances was presented and a method to calculate the interval-valued state probability were provided. The traditionally universal generating function method was improved, the interval-valued universal generating function and its algorithm were defined, a method to assess multi-state system reliability in consideration of epistemic uncertainty under random shocks was proposed, and the verification and illustration were conducted by using simulations. The method not only overcomes the inaccuracy of the reliability analysis model, but also has strong versatility and engineering application value.

Key words:random shock; epistemic uncertainty; interval-continuous sequence; interval-valued universal generating function

基金項目：國家自然科學基金(61372039;61271153)

收稿日期：2015-04-02修改稿收到日期：2015-05-31

通信作者尚朝軒 男，博士，教授，博士生導師，1964年4月生

中圖分類號:N945;TB114.3

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.005

第一作者 潘剛 男，博士生，1987年7月生