魏　莎， 韓勤鍇， 褚福磊

(清華大學(xué) 機械工程系，北京　100084)

考慮不確定參數(shù)的齒輪副非線性動態(tài)特性分析

魏莎， 韓勤鍇， 褚福磊

(清華大學(xué) 機械工程系，北京100084)

摘要：為分析系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)的不確定性對齒輪副動態(tài)響應(yīng)的影響情況，建立含齒側(cè)間隙和時變嚙合剛度的齒輪副動力學(xué)模型，并運用區(qū)間諧波平衡法分析了考慮區(qū)間系統(tǒng)參數(shù)的齒輪副非線性系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。區(qū)間諧波平衡法主要是將諧波平衡法與Chebyshev區(qū)間包含函數(shù)相結(jié)合，通過該方法對比分析了兩種不同阻尼情況下的齒輪系統(tǒng)頻域響應(yīng)情況。結(jié)果表明：在弱阻尼(ζ?)情況下，系統(tǒng)存在明顯的非線性跳躍現(xiàn)象，而且系統(tǒng)頻域響應(yīng)對剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)的波動性不敏感，而對激勵參數(shù)和齒側(cè)間隙的波動性敏感。而當(dāng)ζ = 0.1時，系統(tǒng)響應(yīng)的非線性跳躍現(xiàn)象消失，系統(tǒng)響應(yīng)幅值降低。剛度參數(shù)、載荷參數(shù)和齒側(cè)間隙的波動性對所分析區(qū)域內(nèi)的系統(tǒng)響應(yīng)均有明顯影響。阻尼參數(shù)的波動性對系統(tǒng)響應(yīng)的影響則集中于主共振區(qū)域。

關(guān)鍵詞：齒輪；動態(tài)響應(yīng)；諧波平衡法；Chebyshev包含函數(shù)；不確定參數(shù)

齒輪傳動是最為常用的機構(gòu)和機械傳動裝置，其在風(fēng)電機組、汽車和船舶等機械設(shè)備中得到了廣泛應(yīng)用。齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)性能好壞將直接影響這些機械設(shè)備的安全運行和可靠性，過量的振動將可能引起相關(guān)設(shè)備的疲勞損壞，縮短有效使用壽命。近些年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞考慮齒側(cè)間隙和時變嚙合剛度等因素的齒輪系統(tǒng)非線性振動問題進(jìn)行了深入的研究[1-2]。然而，這些研究主要針對確定性參數(shù)下的系統(tǒng)動力學(xué)問題。實際上，在齒輪系統(tǒng)中，由于制造和安裝誤差或者運行磨損、潤滑、外部工作環(huán)境等原因，使得系統(tǒng)的剛度、阻尼和載荷參數(shù)等存在一定程度的不確定性。正確地估計這些不確定性參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響情況，對于齒輪系統(tǒng)設(shè)計和可靠性分析具有非常重要的指導(dǎo)意義。處理不確定性問題的模型可以分為統(tǒng)計模型、區(qū)間模型和模糊模型，對應(yīng)的分析方法有統(tǒng)計方法、區(qū)間方法和模糊方法。目前，考慮不確定參數(shù)的齒輪副非線性動力學(xué)問題主要采用統(tǒng)計類分析方法[3-14]。但是，統(tǒng)計類分析方法需要已知系統(tǒng)參數(shù)或激勵的統(tǒng)計信息。這些信息往往需要大量樣本實驗，有時是很難獲得甚至無法獲得的。相比較而言，不確定參數(shù)的上下邊界信息容易獲取。區(qū)間模型主要用于處理這一類不確定性問題，其早期主要用于處理計算機浮點運算帶來的數(shù)值計算問題[15]。近些年來，其在數(shù)值計算理論[16-17]和工程實踐[18-21]等方面也得到較大發(fā)展。因此，本文考慮齒輪系統(tǒng)剛度、阻尼、齒側(cè)間隙和載荷等參數(shù)的不確定性，將諧波平衡法與Chebyshev區(qū)間包含函數(shù)[22]相結(jié)合，用于分析這些不確定性參數(shù)對齒輪副非線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響情況。

1系統(tǒng)模型及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

圖1所示為一對齒輪副間隙非線性動力學(xué)模型，其中θ1和θ2分別為主、從動齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移，R1和R2分別為主、從動齒輪的基圓半徑，I1和I2分別為主、從動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量，Tin和Tout分別為作用于主、從動齒輪的扭矩，k(t)、c和e(t)分別為輪齒嚙合的時變剛度、阻尼系數(shù)和靜態(tài)傳遞誤差，2b為齒側(cè)間隙。

圖1　齒輪副非線性動力學(xué)模型Fig.1 Model of the gear-pair system

無量綱化之后的系統(tǒng)動力學(xué)分析模型[23]為

(1)

式中：x為無量綱化的齒輪傳動誤差；τ為無量綱時間；ζ為阻尼比；ψ(τ)為時變嚙合剛度；g(x)為無量綱化的間隙非線性函數(shù)；F(τ)為系統(tǒng)所受激勵。

時變嚙合剛度ψ(τ)、無量綱化的間隙非線性函數(shù)g(x)和系統(tǒng)所受激勵F(τ)可分別表示為

ψ(τ)=1+2εcos((Ωτ)

(2)

(3)

F(τ)=f0+f1cos(Ωτ+φ)

(4)

式中：ε為嚙合剛度的一階諧波分量與平均值之比；Ω為內(nèi)部激勵頻率；f0,f1為激勵的平均分量和波動分量；φ為激勵的初相位。

式(1)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解可通過諧波平衡法[23-24]推導(dǎo)得到，其簡要計算過程如下：

令f(τ)=(1+2εcos(Ωτ))g(x)，并假設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)x(τ)和系統(tǒng)所受的嚙合力f(τ)為Fourier級數(shù)展開的形式

(5)

(6)

式中：ak,bk分別為系統(tǒng)響應(yīng)的余弦和正弦項Fourier系數(shù)；ck,dk分別為非線性函數(shù)的余弦和正弦項Fourier系數(shù)。

將式(5)和(6)代入動力學(xué)方程式(1)，忽略高次諧波項，同時令cos(kΩτ)和sin(kΩτ)的諧波系數(shù)分別相等，可得到如下代數(shù)方程組：

(7)

式中：

u=[a0,a1,b1,…,aR,bR]T

(8)

(9)

(10)

(11)

He=[f0,f1cosφ,-f1sinφ,0,…,0]T

(12)

隨后，通過Newton-Raphson迭代方法求解該代數(shù)方程組可得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解。其迭代過程為

u(m)=u(m-1)-J(u(m-1))-1H(u(m-1))

(13)

圖2　諧波平衡法和數(shù)值積分法的結(jié)果比較Fig.2 Comparison of the harmonic balance method and the numerical integral method

圖3　系統(tǒng)響應(yīng)的前三階諧波幅值Fig.3 The first three harmonic amplitude responses of the system

2考慮不確定參數(shù)的齒輪副系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)分析

以上分析結(jié)果主要基于系統(tǒng)參數(shù)為確定性參數(shù)的假設(shè)。而在工程實踐中，加工和制造誤差、材料不均勻性、測量誤差和外部環(huán)境等因素將導(dǎo)致系統(tǒng)參數(shù)僅能獲得其近似值和對應(yīng)的誤差界限。在這種情況下，這些系統(tǒng)參數(shù)可以表示為區(qū)間向量[26]

(14)

當(dāng)考慮系統(tǒng)參數(shù)存在波動性時，原代數(shù)方程將表示為區(qū)間形式

H(uI,yI)=0

(15)

對應(yīng)的迭代計算公式為

u(m)(yI)=u(m-1)(yI)-

J(u(m-1)(yI),yI)-1H(u(m-1)(yI),yI)

(16)

顯然，上式右端是區(qū)間參數(shù)yI的函數(shù)。如果直接將區(qū)間算法應(yīng)用于迭代計算中，計算結(jié)果將很容易產(chǎn)生過估計[26]。而基于Chebydshev多項式和區(qū)間算法的Chebyshev包含函數(shù)[22]可以很好地估計區(qū)間解的上下邊界，避免區(qū)間過估計。根據(jù)Chebyshev包含函數(shù)的基本思想，其計算步驟可分為：

1) 生成Chebyshev插值點

i=1,…,r

(17)

式中θj=(2j-1)π/(2(k+1))，j=1,2,…,(k+1)，r為區(qū)間向量的長度，k為Chebyshev包含函數(shù)的階次。

2) 計算插值點的代數(shù)方程

u(m)(yj1,…,yjr)=u(m-1)(yj1,…,yjr)-

J(u(m-1)(yj1,…,yjr))-1H(u(m-1)(yj1,…,yjr),

(yj1,…,yjr))

(18)

3) 計算Chebyshev多項式系數(shù)

(19)

式中,u*(yj1,…,yjr)為迭代算法計算的收斂解。

4) 構(gòu)造Chebyshev包含函數(shù)，計算代數(shù)方程的區(qū)間解

(20)

2.1區(qū)間剛度參數(shù)對動態(tài)響應(yīng)的影響

系統(tǒng)剛度參數(shù)ε的區(qū)間形式可以表示為

εI=[εc-βεεc,εc+βεεc]

(21)

式中,εc為剛度參數(shù)的中心值，βε為其偏差系數(shù)。

圖4給出了ε存在區(qū)間波動時的系統(tǒng)頻響曲線，其中圖4 (a)和(b)分別考慮了不同阻尼值的情況。其他參數(shù)取值為εc= 0.05，f0= 0.5，f1= 0.1，φ= 0和βε= 15%。圖中MV表示系統(tǒng)響應(yīng)的中心值，是通過諧波平衡法計算得到的；LB和UB分別表示系統(tǒng)響應(yīng)的下邊界值和上邊界值，是通過區(qū)間諧波平衡法計算得到的。對比圖 4(a)和(b)可以看出：

(1) 在ζ= 0.005 (ζ?1)時，系統(tǒng)存在明顯的非線性跳躍現(xiàn)象，而且ε的區(qū)間波動性對系統(tǒng)響應(yīng)的影響不明顯。這表明在這種弱阻尼情況下，系統(tǒng)響應(yīng)對剛度參數(shù)的波動性不敏感。

(2) 在ζ= 0.1時，系統(tǒng)響應(yīng)的非線性跳躍現(xiàn)象消失，系統(tǒng)響應(yīng)幅值降低，而且ε的區(qū)間波動性對所分析區(qū)域的響應(yīng)均有明顯影響。

2.2區(qū)間阻尼參數(shù)對動態(tài)響應(yīng)的影響

系統(tǒng)阻尼參數(shù)ζ的區(qū)間形式可以表示為

ζI=[ζc-βζζc,ζc+βζζc]

(22)

式中,ζc為阻尼參數(shù)的中心值，βζ為其偏差系數(shù)。

阻尼參數(shù)ζ存在區(qū)間波動時的系統(tǒng)頻響曲線如圖所示。同樣地，圖5(a)和(b)對比了不同阻尼值下的系統(tǒng)響應(yīng)，ζc分別取為0.005和0.1。ε= 0.05，βε= 15%，其他參數(shù)的取值不變。對比圖4和圖5的計算結(jié)果可以看出：

(1) 在ζ= 0.005 (ζ?1)時，和區(qū)間剛度參數(shù)的分析結(jié)果相類似，ζ的區(qū)間波動性對系統(tǒng)響應(yīng)的影響不明顯。這說明在弱阻尼情況下，系統(tǒng)響應(yīng)對阻尼參數(shù)的波動不敏感。

(2) 在ζ= 0.1時，不同于圖4(b)的結(jié)果，ζ的區(qū)間波動性對系統(tǒng)響應(yīng)的影響集中于主共振區(qū)域。這主要是因為阻尼的變化會對響應(yīng)幅值產(chǎn)生影響，尤其是共振區(qū)域，所以共振區(qū)域的響應(yīng)區(qū)間比非共振區(qū)變化明顯也是容易理解的。

2.3區(qū)間激勵參數(shù)對動態(tài)響應(yīng)的影響

考慮皮帶摩擦、電機轉(zhuǎn)動的不平穩(wěn)性和波動性時，齒輪系統(tǒng)所受的激勵力往往會存在不確定性。同樣地，在區(qū)間激勵參數(shù)對動態(tài)響應(yīng)的影響分析中，系統(tǒng)激勵參數(shù)的平均分量f0和波動分量f1也可以表示為區(qū)間形式

(23)

(24)

(1) 在ζ= 0.005 (ζ?1)時，圖6(a)表明當(dāng)考慮f0的區(qū)間波動性時，系統(tǒng)非線性特征未發(fā)生變化，而且其對系統(tǒng)響應(yīng)有明顯影響。具體地，在所分析區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)均有明顯區(qū)間波動。這主要是因為系統(tǒng)激勵參數(shù)的平均分量會對響應(yīng)幅值產(chǎn)生影響但并不會改變系統(tǒng)的非線性特征[23]。而相比較于圖6 (a)，f1的區(qū)間波動性對系統(tǒng)響應(yīng)的影響不太明顯。該結(jié)果表明在這種弱阻尼情況下，系統(tǒng)響應(yīng)對激勵參數(shù)的波動性敏感。

(2) 在ζ= 0.1時，f0和f1的區(qū)間波動性對系統(tǒng)響應(yīng)均有明顯影響。

(a) ζ=0.005(a) ζ=0.005(a) ζ=0.005(a) ζ=0.005

(b) ζ=0.1圖4 ε為區(qū)間參數(shù)時的系統(tǒng)頻響曲線Fig.4Amplitudefrequencyresponseofthesystemwithintervalstiffnessε(b) ζ=0.1圖5 ζ為區(qū)間參數(shù)時的系統(tǒng)頻響曲線Fig.5Amplitudefrequencyresponseofthesystemwithintervaldampingζ(b) ζ=0.1圖6 f0為區(qū)間參數(shù)時的系統(tǒng)頻響曲線Fig.6Amplitudefrequencyresponseofthesystemwithintervalaverageexcitationcomponentf0(b) ζ=0.1圖7 f1為區(qū)間參數(shù)時的系統(tǒng)頻響曲線Fig.7Amplitudefrequencyresponseofthesystemwithintervalfluctuationexcitationcomponentf1

2.4區(qū)間齒側(cè)間隙對動態(tài)響應(yīng)的影響

由于齒輪系統(tǒng)在工作過程中的磨合和反復(fù)沖擊作用，齒側(cè)間隙將發(fā)生變化。當(dāng)考慮輪齒間隙波動時，間隙模型可以表示為

(25)

式中:δ為齒輪齒側(cè)間隙的變化值，δ∈δI，δI=[δc-βδδc,δc+βδδc]，δc和βδ分別為齒側(cè)間隙的中心值和偏差系數(shù)。

圖8給出了齒側(cè)間隙存在區(qū)間波動時的系統(tǒng)頻響曲線，其中圖8 (a)和(b)分別計算了不同阻尼值的情況。δc= 1，βδ= 15%，其他參數(shù)取值不變。從圖 8的計算結(jié)果可以看出：

(1) 在ζ= 0.005 (ζ?1)時，齒側(cè)間隙的波動并未改變系統(tǒng)的非線性特征，但系統(tǒng)響應(yīng)幅值在所分析區(qū)域內(nèi)均有明顯變化。

(2) 在ζ= 0.1時，齒側(cè)間隙的波動對系統(tǒng)響應(yīng)幅值同樣有明顯影響，系統(tǒng)響應(yīng)幅值在所分析區(qū)域內(nèi)均有明顯變化。

(a)　ζ = 0.005　　　　　 (b)　ζ = 0.1圖8　δ為區(qū)間參數(shù)時的系統(tǒng)頻響曲線Fig.8 Amplitude frequency response of the system with interval backlash δ

3結(jié)論

將Chebyshev區(qū)間包含函數(shù)與諧波平衡法相結(jié)合，分析了齒輪副非線性系統(tǒng)存在剛度、阻尼、齒側(cè)間隙和載荷等參數(shù)不確定性時的頻域穩(wěn)態(tài)響應(yīng)情況，得到了以下幾點結(jié)論：

(1) 在弱阻尼(ζ?1)情況下，系統(tǒng)存在明顯的非線性跳躍現(xiàn)象。系統(tǒng)頻域響應(yīng)對剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)的區(qū)間波動性不敏感，而對激勵參數(shù)和齒側(cè)間隙的波動性敏感。

(2) 在ζ= 0.1時，系統(tǒng)響應(yīng)的非線性跳躍現(xiàn)象消失，系統(tǒng)響應(yīng)幅值降低。剛度參數(shù)、載荷參數(shù)和齒側(cè)間隙的區(qū)間波動性對所分析區(qū)域的系統(tǒng)響應(yīng)均有明顯影響。阻尼參數(shù)的區(qū)間波動性對系統(tǒng)響應(yīng)的影響則主要集中于主共振區(qū)域。

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Nonlinear dynamic analysis of gear-pair systems with uncertainties

WEI Sha, HAN Qin-kai, CHU Fu-lei

(Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract:The nonlinear dynamic model of a gear pair with backlash and time-varying mesh stiffness was developed to investigate the effects of uncertain dynamic parameters on dynamic characteristics of the system. The interval harmonic balance method based on the harmonic balance method and the Chebyshev inclusion function was presented. The amplitude frequency responses in two different damping cases were compared. The results show that: in the weak damping case (ζ?1), the system has obvious nonlinear jumping phenomenon. In addition, the dynamic characteristics of the system are sensitive to the variabilities of the excitation parameters and backlash, and insensitive to the variabilities of the stiffness and damping parameters. The jumping phenomenon will disappear and the amplitudes will decrease when the damping ratio is equal to 0.1. Furthermore, the variabilities of the stiffness parameter, excitation parameters and backlash have significant effects on dynamic responses of the system. The influence of uncertain damping on the dynamic response focuses upon the resonance region.

Key words:gear; dynamic response; harmonic balance method; Chebyshev inclusion function; uncertain parameter

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51335006);北京市自然科學(xué)基金重點項目(3131002)

收稿日期：2015-02-13修改稿收到日期：2015-05-21

通信作者褚福磊 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1959年9月生

中圖分類號:TH132.41；TH113.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.007

第一作者 魏莎 女，博士生，1988年2月生

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