劉豆豆, 賀西平, 李家星

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安710119)

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縱振激振面積對(duì)條紋振動(dòng)矩形板聲場指向性的影響

劉豆豆, 賀西平*, 李家星

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安710119)

摘要：在大功率超聲應(yīng)用中，縱振激振換能器與階梯板間有一定接觸面積，導(dǎo)致振動(dòng)節(jié)線與凸臺(tái)邊緣不重合。利用數(shù)值計(jì)算和有限元分析相結(jié)合的方法，研究了(8,0)條紋振動(dòng)模式下激振源面積大小對(duì)矩形板聲場指向性的影響。結(jié)果表明，對(duì)尺寸為180 mm×120 mm×5 mm(長×寬×厚)的矩形薄板，隨著激振源半徑增大，條紋振動(dòng)節(jié)線逐漸彎曲，(8,0)模態(tài)共振頻率增大，指向性尖銳程度減小。當(dāng)觀察平面垂直于矩形板表面時(shí)，沿y軸方向指向性更為尖銳。當(dāng)半徑增大到12 mm時(shí)，副瓣已明顯出現(xiàn)，故對(duì)該矩形板，應(yīng)選擇激振源半徑在8 mm以內(nèi)。

關(guān)鍵詞:有限元法；矩形板；激振源面積；節(jié)線；指向性

輻射體的聲場指向性在大功率超聲應(yīng)用中是一個(gè)重要問題，研究者對(duì)此進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[1]對(duì)楔形換能器遠(yuǎn)場作了分析和實(shí)驗(yàn)，理論上給出了介質(zhì)表面的瑞利波指向性圖案。何正耀等利用邊界元理論計(jì)算了水聲換能器陣的指向性，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[2]。文獻(xiàn)[3-5]計(jì)算了圓柱殼類聲場的指向性。賀西平等計(jì)算了節(jié)圓與階梯凸臺(tái)位置重合時(shí)，階梯圓盤聲場的指向性[6]。文獻(xiàn)[7]測(cè)量了激勵(lì)面積較小時(shí)階梯型矩形板的聲場指向性。文獻(xiàn)[8]利用聲場迭加原理推導(dǎo)出了階梯圓盤輻射聲壓，并計(jì)算了面激振時(shí)(即激勵(lì)換能器與輻射盤之間有一定面積大小相聯(lián)接)節(jié)圓偏離階梯位置對(duì)聲場指向性的影響。文獻(xiàn)[9]計(jì)算了縱振激振面積不同對(duì)矩形薄板振動(dòng)特性的影響。

縱振-彎曲輻射體振動(dòng)和輻射系統(tǒng)由Gallego等提出，此類換能器綜合了縱振換能器的高效率和彎曲振動(dòng)平圓盤大輻射面積的特點(diǎn)，能有效地與空氣介質(zhì)進(jìn)行阻抗匹配并輻射強(qiáng)功率超聲[10]。平圓盤彎振時(shí)節(jié)線兩側(cè)相位相反，導(dǎo)致聲場指向性變差，文獻(xiàn)[11-13]在該平圓盤節(jié)線兩側(cè)反相位區(qū)域增加輻射介質(zhì)中聲波波長1/2的高度變?yōu)殡A梯狀。此類階梯狀輻射體類似于活塞振動(dòng)盤，振動(dòng)面上的各部分振動(dòng)相位相同。激振換能器與該階梯圓盤接觸面積很小(可視為點(diǎn)接觸)，激振頻率為該階梯圓盤本征頻率時(shí)，階梯圓盤節(jié)線位置與階梯位置相重合，輻射聲場指向性尖銳[14-15]。在振動(dòng)面內(nèi)，矩形板比圓形板振幅分布更加均勻，應(yīng)力分布也較均勻，可以承受更大的機(jī)械強(qiáng)度。同理，可以在矩形板本征條紋彎曲振動(dòng)模式的基礎(chǔ)上，改進(jìn)成為階梯板。縱振換能器在其本征頻率點(diǎn)接觸激振該板中心，換能器的振動(dòng)幾乎不影響階梯板彎曲振動(dòng)特性，此時(shí)振動(dòng)節(jié)線將與階梯邊緣位置重合，輻射聲場具有尖銳指向性。實(shí)際應(yīng)用中，尤其是大功率狀態(tài)下，激振換能器一般與輻射盤或板肯定有一定的接觸面積， 即為面接觸激振。面接觸激振時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致板的節(jié)線與預(yù)設(shè)的階梯位置不重合。

本文以矩形板為例，研究在自由邊界條件下， (8,0)模態(tài)節(jié)線和預(yù)設(shè)階梯位置不重合時(shí)的輻射聲場指向性。將瑞利積分公式離散化，結(jié)合有限元方法計(jì)算矩形板的振動(dòng)模態(tài)，提取其各有限單元上的振動(dòng)位移，再利用聲場迭加原理，計(jì)算研究激振源面積變化對(duì)矩形板輻射聲場指向性的影響。發(fā)現(xiàn)面激振的矩形板振動(dòng)節(jié)線變形而不再保持為直線，且接觸面積越大，節(jié)線彎曲也越明顯[16]。計(jì)算結(jié)果為分析面激振下階梯形矩形板節(jié)線偏離預(yù)設(shè)階梯位置對(duì)指向性的影響提供了參考。

1矩形板的振動(dòng)特性

取材料為45#鋼，尺寸為(180×120×5)mm(長×寬×厚)的矩形板,其楊氏模量E=2.16×1011N2/m，泊松比δ=0.28，密度ρ=7 800 kg/m3?？諝庵新曀贋?40 m/s，對(duì)應(yīng)(8,0)模態(tài)本征振動(dòng)頻率為20 216 Hz，振動(dòng)節(jié)線基本為直線。按照此時(shí)的直節(jié)線分布將矩形板改進(jìn)成階梯形，若仍為點(diǎn)源激振，階梯形矩形板的振動(dòng)節(jié)線將與階梯邊緣的位置相一致，但若面激振改進(jìn)后的階梯形矩形板，則板的振動(dòng)節(jié)線將彎曲變形不再與預(yù)設(shè)的階梯邊緣重合。

圖1為激振源半徑為r=16 mm時(shí)，矩形板彎曲振動(dòng)振型圖，在該振型圖上，依照(8,0)本征模態(tài)直振動(dòng)節(jié)線位置在圖1上標(biāo)注，從左至右共八條，其中第1、2條，3、4條，5、6條以及7、8條直線之間為預(yù)設(shè)的加階梯位置，所加階梯的高度為介質(zhì)中輻射聲波波長的1/2。換能器面激振矩形板，條紋振動(dòng)模式時(shí)，節(jié)線扭曲變形偏離原直節(jié)線位置，陰影部分表示不加階梯時(shí)矩形板面激振下相位為負(fù)的區(qū)域，空白部分表示相位為正的區(qū)域，陰影部分的邊緣線即為扭曲后的節(jié)線。也就是說，面激振時(shí)，振動(dòng)節(jié)線不再保持為直線而呈現(xiàn)彎曲狀。從左至右共有8條，從小到大依次編號(hào)，原第1、2、7、8條節(jié)線中間部分已經(jīng)斷開，第3條、第6條節(jié)線彎曲程度較大，中間部分分別與第2條和第7條節(jié)線相交，第4條、第5條節(jié)線彎曲程度較大，整個(gè)矩形板振型復(fù)雜。

2聲場指向性計(jì)算方法

圖2為用于計(jì)算彎曲振動(dòng)矩形板聲場指向性的幾何示意圖，假設(shè)該彎曲振動(dòng)矩形板嵌在無限大障板上，彎振時(shí)會(huì)向z軸正向的無限大半空間內(nèi)輻射聲波，其中A為聲場中任意觀察點(diǎn)，直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)分別為(x0,y0,z0)和(r,θ,φ)，ds為矩形薄板上一微小面元，ds=dxdy,r為觀察點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間距離，h為觀察點(diǎn)到面元距離。

由圖2可知,觀察點(diǎn)與面元ds間距為

(1)

通過瑞利積分公式，有面元ds在觀察點(diǎn)A處產(chǎn)生的聲壓為

(2)

其中u(x,y)表示面元處的振速幅值。將所有點(diǎn)源輻射聲波進(jìn)行疊加可得

(3)

對(duì)于r?ω和l的遠(yuǎn)場區(qū)域，不考慮矩形板自身尺寸，上式中振幅部分的h可近似用板中心到觀察點(diǎn)距離r來替代。結(jié)合遠(yuǎn)場條件，近似表示為

(4)

觀察點(diǎn)A所處的方向角為

cosα=x0/r=sinθcosφ，

cosβ=y0/r=sinθsinφ。

(5)

將(4)、(5)兩式代入聲壓表達(dá)式(3)可得

[(cos(kxsinθcosφ)cos(kysinθsinφ)-

sin(kxsinθcosφ)sin(kysinθsinφ))+

j(cos(kxsinθcosφ)sin(kysinθsinφ)+

cos(kysinθsinφ)sin(kxsinθcosφ))]dxdy。

(6)

令

(7)

離散上述兩式得

A點(diǎn)的聲壓幅值表達(dá)式為

(9)

其中：N為離散后組成振動(dòng)面的單元總數(shù)，Δsi為第i個(gè)單元的面積，vi表示第i個(gè)單元的中心點(diǎn)速度，xi、yi為第i個(gè)單元的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這些量可以從有限元數(shù)值計(jì)算中獲取。

在有限元模態(tài)計(jì)算模塊，提取板輻射表面各單元撓度Li。假設(shè)矩形板為小撓度簡諧振動(dòng)，則板的橫向位移可表示為

η=Liejωt。

(10)

由此可得矩形板表面各單元振速為

(11)

將(11)式帶入(8)式計(jì)算彎曲振動(dòng)矩形板輻射聲場指向性表達(dá)式為

(12)

結(jié)合(8)、(12)式，提取振動(dòng)位移后，對(duì)位移值進(jìn)行處理，如圖1中所示，將預(yù)設(shè)加階梯部分的負(fù)相位位移值全部變?yōu)檎?，正相位位移值全部變?yōu)樨?fù)值，未加階梯部分位移值相位不變，將處理后的數(shù)據(jù)匯總，編制程序計(jì)算得到面激振情況下矩形板彎曲振動(dòng)輻射聲場指向性。

3計(jì)算結(jié)果及分析

3.1縱振激振源點(diǎn)激勵(lì)矩形板

利用有限元方法得到本征頻率下彎曲振動(dòng)矩形板(8,0)模態(tài)振型圖，如圖3a所示，矩形板各彎振節(jié)線基本為直線，陰影部分兩側(cè)相鄰節(jié)線位置即為預(yù)設(shè)階梯的邊緣位置。提取矩形板前表面各面元位移值代入計(jì)算指向性程序中，得到觀察平面垂直于矩形板表面并分別沿x軸和y軸方向的指向性如圖3b、3c所示。

可以看出，不加階梯情況下，矩形板(8,0)模態(tài)聲場指向性較差，如3b所示，觀察平面垂直于矩形板表面并沿x軸方向時(shí)，指向性圖案中在θ=0方向上沒有主瓣，即軸線方向上沒有聲能量輻射。3c中觀察平面沿y軸時(shí)，指向性圖案中在θ=0方向上出現(xiàn)主瓣，但在其他方向有較大副瓣，在指向性要求高的場合無法使用。若以陰影部分的邊緣直線為界給矩形板增加高度為空氣中聲波波長1/2的階梯成為活塞板，則圖3a中矩形板陰影部分的負(fù)相位位移反相，整個(gè)輻射表面振動(dòng)相位基本都為正值，本文對(duì)預(yù)設(shè)加階梯部分的位移值進(jìn)行反向處理后計(jì)算得加階梯矩形板的指向性如圖4所示。

圖3彎曲振動(dòng)矩形板的振型和聲場指向性

Fig.3The directivity diagram of a rectangular plate in flexural vibration

圖4彎曲振動(dòng)階梯矩形板聲場指向性

Fig.4The directivity diagram of a rectangular

plate in flexural vibration

圖4a中，當(dāng)觀察平面沿x軸方向時(shí)，指向性圖案在θ=0方向上有較尖銳的主瓣，在其他方向有較小副瓣；當(dāng)觀察平面垂直于矩形板表面并沿y軸方向時(shí)，指向性圖案只在θ=0方向上也有尖銳的主瓣。上述方法計(jì)算得到階梯形矩形板的輻射聲場指向性。

3.2縱振激振源面激振矩形板

分別取縱振換能器激振源半徑為4、8、12和16 mm，建立面激勵(lì)振動(dòng)模型。利用有限元計(jì)算，得到各振動(dòng)模型的(8,0)模態(tài)振型圖，如圖5所示。

隨著激振源半徑的增加，(8,0)模態(tài)的共振頻率逐漸增大，節(jié)線彎曲程度逐漸增大。圖5a中，當(dāng)激振源半徑r=4 mm時(shí)，矩形薄板(8,0)模態(tài)振動(dòng)節(jié)線基本呈直線，在預(yù)設(shè)階梯位置加階梯后圖中陰影部分負(fù)相位位移基本上全都落在階梯上而變?yōu)檎?，只有小部分?fù)相位位移落在階梯外。當(dāng)激振半徑增大至r=8 mm時(shí)(圖5b)，第2、3、6、7條節(jié)線彎曲程度不明顯，基本為直線，第1、4、5、8條節(jié)線向外彎曲，彎曲程度較小,在預(yù)設(shè)階梯位置加階梯后落在階梯外的負(fù)相位位移增多。圖5c為r=12 mm時(shí)矩形板(8,0)模態(tài)振型圖，可以看出，節(jié)線彎曲程度較大，第1、3、4、5、6、8條節(jié)線向外彎曲，第2、7條節(jié)線向內(nèi)彎曲，負(fù)相位位移部分偏離加階梯位置嚴(yán)重。圖5d中，當(dāng)激振半徑增大到r=16 mm時(shí)，振動(dòng)節(jié)線彎曲程度更加明顯，第1、2、7、8條節(jié)線中間部分已經(jīng)斷開，第3、6條節(jié)線中間部分分別與第2、7條節(jié)線相交。隨著激振源半徑逐漸增大，條紋彎曲振動(dòng)狀態(tài)下節(jié)線偏離預(yù)設(shè)階梯邊緣位置程度增大，將處理后的位移值匯總，帶入指向性程序，計(jì)算得到不同激振半徑下加階梯矩形板的指向性(如圖6、圖7所示)。

圖6不同激振半徑下觀察平面沿x軸指向性圖

Fig.6Directivity diagram with different excitation radius at observed surface along thexaxis

圖6為觀察平面垂直于矩形板并沿x軸，當(dāng)激振源半徑較小時(shí)，指向性在θ=0方向上有尖銳的主瓣，其他方向上副瓣較小，隨著激振源半徑逐漸增大，副瓣越來越大，聲能量逐漸分散，矩形板指向性越來越差。圖7為觀察平面沿y軸方向，指向性尖銳程度較沿x軸時(shí)好，r≤8 mm時(shí)，觀察平面沿y軸方向，指向性只有主瓣，基本沒有副瓣，指向性尖銳。隨著激振源半徑增大，副瓣增多，指向性尖銳程度逐漸減小，當(dāng)半徑增大到12 mm時(shí)，副瓣已十分明顯，聲能量分散，指向性尖銳程度較差。對(duì)該矩形板，應(yīng)選擇縱振激振源半徑在8 mm以內(nèi)。

4結(jié)論

對(duì)于縱振換能器、變幅桿及矩形板組成的復(fù)合振動(dòng)系統(tǒng)，本文計(jì)算了激振源變幅桿面積不同對(duì)矩形板振動(dòng)特性的影響，得到如下結(jié)論：

(1)對(duì)于尺寸為(180×120×5) mm的矩形板，隨著激振源面積的增加，(8,0)模態(tài)的共振頻率逐漸增大。

(2)隨著縱振激振源面積的逐漸增加，矩形板條紋振動(dòng)節(jié)線與本征振動(dòng)時(shí)的節(jié)線相比，不再為直條紋狀，彎曲程度逐漸明顯。激振源半徑增大，節(jié)線偏離預(yù)設(shè)階梯邊緣位置程度增大，反相區(qū)域增多。

(3)面激振階梯形矩形板，觀察平面垂直于矩形板表面且沿x軸方向的指向性尖銳程度較y軸好，激振源半徑增大，尖銳程度減小，當(dāng)半徑增大到12 mm時(shí)，副瓣較大。對(duì)該矩形板，應(yīng)盡量選擇激振源半徑在8 mm以內(nèi)。這一結(jié)果為分析面激振下階梯形矩形板節(jié)線偏離預(yù)設(shè)階梯位置對(duì)指向性的影響提供了參考。

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〔責(zé)任編輯 李博〕

Effect of longitudinal vibration excitation source area on radiated acoustic field directivity pattern of stripe vibration mode rectangular plate

LIU Doudou, HE Xiping*, LI Jiaxing

(School of Physics and Information Technology,Shaanxi Normal University, Xi′an 710119, Shaanxi, China)

Abstract:The connection between the rectangular plat and the longitudinal vibration transducer always has a certain contact area in high-power applications.Thus the deformed nodal line of stripe vibration mode don′t coincide with the expected step edge positions.Using combination of the method of numerical calculation and finite element, the influence of the excitation area on the directivity pattern in (8,0) stripe mode flexural vibration is investigated. The result shows that, for the 180×120×5 mm (length×width×thickness) rectangular plate, the nodal lines deform gradually with the increasing of excitation area.The (8,0) modal resonance frequency increases.The directivity pattern becomes less sharply and the acoustic field directivity pattern along theyaxis is sharper than that along thexaxis.When the radius of the excitation area increases to 12 mm，the side lobe is obvious.The radius of the excitation area should not be greater than 8mm for the stepped plate.Keywords: finite element method; rectangular plate; excitation area; nodal line; directivity patternPACS: 43.35.+d

文章編號(hào)：1672-4291(2016)03-0038-05

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.03.232

收稿日期：2015-03-12

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11374201)

*通信作者：賀西平，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:hexiping@snnu.edu.cn

中圖分類號(hào):O426.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A