北京市海淀區(qū)第二實驗小學(xué) 劉璟 王軍云

一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

理解算理，便于靈活、簡便地進行計算。

《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“對運算的基礎(chǔ)知識不僅應(yīng)‘知其然’，更應(yīng)‘知其所以然’，學(xué)生只有理解了計算中的道理，才能夠理解和掌握計算方法，才能正確地、迅速地運算?！彼憷硇枰喾N方式幫助學(xué)生理解，而模型就是孩子能夠隨身帶著走的支撐他數(shù)學(xué)思考的一個腳手架。因此，計算教學(xué)時應(yīng)讓學(xué)生能夠充分理解運算本身的算理，然后在此基礎(chǔ)上再進行算法的提煉和內(nèi)化。

二、教材分析

（一）縱向分析

1.從知識結(jié)構(gòu)看

通過梳理小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的歷程可以看出：

一是學(xué)生是在理解乘法意義、掌握乘法口訣的基礎(chǔ)上進行兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法的學(xué)習(xí)的，而口算的方法又是學(xué)習(xí)筆算乘法的重要基礎(chǔ)。因此，直觀理解乘法的算法和算理是本內(nèi)容的重點，也是難點。

二是本節(jié)課是嫁接乘法口訣與筆算乘法的橋梁，解決了口訣以外可以繼續(xù)口算乘法的重要內(nèi)容，更是今后學(xué)習(xí)筆算乘法的運算技能的基礎(chǔ)。因此，讓學(xué)生掌握口算的方法尤為重要。而這個過程，需要建立在充分理解算理的基礎(chǔ)上。

2.從模型使用上看

數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)無形時少直覺。”通過梳理小學(xué)階段學(xué)習(xí)乘法過程中所使用的模型不難發(fā)現(xiàn)，在第一學(xué)段進行整數(shù)乘法學(xué)習(xí)的過程中，使用的都是實物模型和直觀模型，例如糖塊、人民幣、點子圖等，它們能夠直觀、清晰的幫助低年級學(xué)生理解算理，且便于操作。

本課教學(xué)內(nèi)容是在乘法學(xué)習(xí)過程中第一次使用人民幣作為實物模型，我想這是由于人民幣比其他實物模型更具有現(xiàn)實意義，與學(xué)生的生活實際聯(lián)系的最為緊密。在學(xué)生理解12×3這樣極為抽象的運算表達時，可以通過人民幣這種直觀且熟悉的實物模型來理解算理。此外，在學(xué)習(xí)口算乘法之前，學(xué)生也可以利用拆分的方法進行計算，但各種算法的背后都是依托于十進位值制的。人民幣這一實物模型正好可以將各種算法緊密聯(lián)系起來，幫助學(xué)生進一步理解乘法算理?？梢哉f實物模型在直觀與抽象，個性化表達與正規(guī)口算之間架起了橋梁。

（二）橫向分析

北師版三上人教版三上

我橫向?qū)Ρ攘藝鴥?nèi)三個版本的教材，發(fā)現(xiàn)有以下相同之處：一是都以解決生活中的實際問題為載體，在解決問題的過程中理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理。二是都從乘法的意義入手，抓住求相同加數(shù)和這一乘法的本質(zhì)，溝通乘法與加法的聯(lián)系，從而理解算理。但這三個版本的教材又存在著明顯的差異。

相同之處：一是都以解決生活中的實際問題為載體，在解決問題的過程中理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理。二是都從乘法的意義入手，抓住求相同加數(shù)和這一乘法的本質(zhì)，溝通乘法與加法的聯(lián)系，從而理解算理。

不同之處：北師版和人教版都采用實物模型給孩子以“形”的支撐，使得原本枯燥、抽象的數(shù)變得形象而具體。北師版教材除了提供人民幣這一實物模型，還提供了點子圖和“表格”來幫助學(xué)生進一步理解算理。

三、學(xué)生分析

（一）第一次調(diào)研

調(diào)研對象：北京市海淀區(qū)第二實驗小學(xué)三（2）班、三（9）班共84人

調(diào)研題目：一輛小汽車12元，買3輛小汽車多少元？

調(diào)研目的：一是了解學(xué)生口算方法的掌握情況及思考路徑。

二是是否能使用模型支撐算理及選用何種模型。

調(diào)研結(jié)果：正確率97.8%。學(xué)生采用方法（如下）。

結(jié)果呈現(xiàn)：A、 乘法意義

B、 拆數(shù)

C、 數(shù)

調(diào)研分析1：（關(guān)于方法及思考路徑的分析）

（1）得到正確的計算結(jié)果不困難。

（2）算法豐富、多樣。

算法多樣，結(jié)果正確，那么他們是怎么想到這個方法的？他的思考路徑是什么呢？我又對學(xué)生進行了訪談，通過對訪談結(jié)果的進一步分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思考路徑可以分為兩類。

一是從運算的意義角度。這種路徑是通過建立乘法與加法的關(guān)系來解決問題。二是數(shù)的認(rèn)識角度。這種路徑是學(xué)生對12這個數(shù)的認(rèn)識很靈活，可以把12看成10和2，3x4等，將新問題轉(zhuǎn)化為舊知識來解決。

乘法是這樣，那么除法呢？整數(shù)運算是這樣，那小數(shù)、分?jǐn)?shù)運算呢？于是我又對三年級、四年級和五年級的部分學(xué)生進行了調(diào)研。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)：仍然是這兩個角度進行思考的。

由此看出，即使運算方法和數(shù)域都發(fā)生變化時，學(xué)生仍然可以從運算意義和數(shù)的認(rèn)識這兩個角度出發(fā)得到結(jié)果，因此這兩條思考路徑也可以成為學(xué)生解決運算困難的突破口。

調(diào)研分析2：（關(guān)于模型支撐的分析）

三是選用的模型有4種，人民幣、圖形、計數(shù)器和數(shù)線。

四是在對只通過計算得到結(jié)果的21個學(xué)生進行訪談后得知，有47.6%學(xué)生不能建立模型與算式的聯(lián)系?？梢?，在他們的頭腦中，直觀的模型與抽象的算式是孤立存在的。

五是使用點子圖的學(xué)生數(shù)是0，這令我很困惑?！包c子圖”從學(xué)生學(xué)習(xí)乘法就開始就使用了，而且教材還在二年級安排了“點子圖”這一教學(xué)內(nèi)容，但為什么學(xué)生不愿意使用呢？而且既然學(xué)生不愿意用，教材又為什么非要安排呢？

在與學(xué)生的訪談中我找到了答案。首先，學(xué)生不用“點子圖”是因為沒有想到，因為“點子圖”是從他們開始學(xué)習(xí)乘法時才逐步滲透使用的，而像計數(shù)器、和數(shù)線則是在學(xué)習(xí)運算時一直使用的。那么“點子圖”到底有什么用呢？在與四年級學(xué)生的訪談中，孩子們告訴我：點子圖能清楚、方便地看出14x12是怎么拆分的，哪幾部分積的和?？磥?，“點子圖”在支撐復(fù)雜乘法運算的算理時具有簡潔，清楚的優(yōu)勢。

不進位乘法的理解是這樣，那么進位乘法又是怎樣的呢？我進行了第二次調(diào)研。

（二）第二次調(diào)研題目：18x4

調(diào)研結(jié)果與12x3的相似度極高，正確率仍然是97.8%，思考路徑依然是2個。

通過18x4等于72中得70是怎么來的訪談，學(xué)生能夠清楚地描述出結(jié)果中的7個十是由4個十與8x4中的三個十合起來得到的。可見，進位與不進位的乘法口算對學(xué)生來說沒有什么區(qū)別。

調(diào)研后的思考：

1、第一次調(diào)研后就有97.8%的正確率，并能使用多種算法，其實每種算法的背后都是學(xué)生對舊知的理解，但這節(jié)課的學(xué)習(xí)，僅僅停留在“會”這一層面上嗎？我們的目的不僅僅是算法多樣化，而是找到各種算法之間的相同的本質(zhì)屬性，挖掘思考的路徑，打通各種模型間的聯(lián)系進而理解運算的本質(zhì)。

2、算理與算法之間是緊密聯(lián)系著的，在教學(xué)過程中做到理中有法，法中講理，達到二者的有機融合。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、通過解決“3個游泳圈共多少元”的問題，在算法多樣化的基礎(chǔ)上，借助模型支撐，幫助學(xué)生理解兩位數(shù)乘一位數(shù)口算的算理，并能正確進行計算。

2、在建立多種算法聯(lián)系的過程中，體會運算的兩個思維路徑即運算意義角度和數(shù)的認(rèn)識角度，使學(xué)生學(xué)會思考。

3、在解決簡單問題的過程中，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

五、教學(xué)重點

借助模型，理解算理，體會運算過程中的兩個思考路徑。

六、教學(xué)難點

在找聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的過程中，數(shù)形結(jié)合，理解算理。

七、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

1．出示圖：假期3位好朋友來到了美麗的海邊，可是卻忘記帶游泳用品，他們來到了賣物品的地方，從圖中你知道了什么數(shù)學(xué)信息？你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

這么多問題中我們先一起來來解決買3個游泳圈要多少元？

2.列式：為什么要這樣列式？這個算式表示什么意思？

預(yù)設(shè)：學(xué)生很快說出36元。

過渡：你們很快就知道了買3個游泳圈用36元那你是怎么想的呢？

設(shè)計意圖：結(jié)合學(xué)生熟悉的生活情境，激發(fā)學(xué)生的問題意識。

活動二：自主探究初步感受乘法算理

（二）探究新知，理解算理

活動一：自主探究初步感受乘法算理

1.學(xué)生嘗試解決，記下思考的過程

（老師提前為有困難的同學(xué)準(zhǔn)備實物模型：人民幣）

2．全班同學(xué)反饋

預(yù)設(shè)：①12+12+12=36

②2×3= 6 1 0×3=3 0 30+6=36

④3×6= 1 8 3×6=1 8 18+18=36

⑤

⑥⑦

⑧ 12×3=3×3×4

⑨

提出問題：同學(xué)們用了這么多的方法記錄了12×3的計算過程，你能看懂嗎？有什么疑問？

預(yù)設(shè)：（1）學(xué)生提出為什么3×6= 18 3×6=18 18+18=36這是怎么回事？(先放在問題銀行)

（2）⑨方法是怎么算的？學(xué)生進行方法的解讀，生生之間進行交流：3個10是從哪來的？為什么會有3個10？在交流的過程中理解12×3就可以分為3個10和3個2的積的和。

3．將用圓圈圖記錄12×3的計算過程的圓圈圖抽象成點子圖，回顧用點子圖記錄幾個幾的過程

活動二：運用點子圖進一步理解乘法算理

1.2人討論如何在12×3的點子圖上表示6×3=18 6×3=18 18+18=36嗎？

2.反饋

預(yù)設(shè)：

追問：你為什么這么畫呢？

3．小結(jié)：把12×3分成了兩部分，每部分都是3個6的和，再把這兩部分合在一起就是12×3的積。

4.你還有其它的想法嗎？

5.全班匯報：

預(yù)設(shè)①

3×3=9 9×4=36

3×8= 2 4 3×4=1 2 24+12=36

③

3×7= 2 1 3×5=1 5 21+15=36

④

3×4=12 12+12+12=36

6.溝通點子圖之間的關(guān)系

同樣是用點子圖記錄了12×3的計算過程有什么相同點？

預(yù)設(shè)：先分塊再求積，最后把積相加。

設(shè)計意圖：通過將“點子圖”拆分的過程，幫助學(xué)生理解乘法算理的本質(zhì)：把整體“分塊”求積，再求這些積的和。

活動三：建立點子圖與表格之間的聯(lián)系

1.你能看懂下面的方法嗎？

×10 2 3 30 6

30+6=36

2.這種方法與前面我們所用的表達方法那個相同？你從哪看出來的？

預(yù)設(shè)：

設(shè)計意圖：借助實物模型和直觀模型關(guān)聯(lián)多種算法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)位值的思想，為乘法豎式奠定基礎(chǔ)。

1. 那你還能將剛才在點子圖上記錄12×3的計算過程用表格表示嗎？

2. 表格法與點子圖法有什么相同？運用表格法和點子圖法時你有什么要和同學(xué)們說的嗎？

3. 小結(jié)：兩位數(shù)乘一位數(shù)時可以先將整體分成幾塊求積，再求和。

設(shè)計意圖：溝通表格法與點子圖方法之間的關(guān)系，使學(xué)生更進一步理解乘法的意義和算理。

（三）拓展延伸，深化認(rèn)識

小皮劃艇的價錢是皮球的4倍，一個小皮劃艇多少錢？

學(xué)生自主選擇方法

設(shè)計意圖：通過方法的自主選擇，尊重學(xué)生的思維，使學(xué)生在解決問題的過程中進一步理解算理，掌握算法，理解方法的擇優(yōu)。

八、教學(xué)特色

1.以學(xué)生為中心，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑

新課程的核心理念是為了每一位學(xué)生的發(fā)展。關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，學(xué)習(xí)狀態(tài)，是促進學(xué)生發(fā)展的有效途徑。

本節(jié)課，學(xué)生在解決12x3的過程中，會計算出正確的結(jié)果，并能采用多種算法來解決問題。不同算法的背后代表著學(xué)生不同的理解，多樣化不是目的，多樣是為了找到算法之間的聯(lián)系，于是我設(shè)計了“哪幾種方法之間有聯(lián)系呢？有什么樣的聯(lián)系呢？”這樣的問題。學(xué)生在不斷分類和尋找多種算法聯(lián)系的過程中，逐步辨析出兩種思維路徑，一種是這幾個方法所體現(xiàn)出的將乘法轉(zhuǎn)化為加法的這種從運算角度思考的路徑。另一種是將“12”進行拆分的從數(shù)的認(rèn)識的角度思考的路徑。本課教學(xué)充分的關(guān)注了學(xué)生的思維路徑，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

同時，本節(jié)課借助幾何直觀，從實物模型到直觀模型，幫助學(xué)生理解算理，即關(guān)于什么是運算以及使運算可執(zhí)行的道理，在此基礎(chǔ)上尋求算法的多樣化，這是運算能力的內(nèi)涵。通過豐富模型的支撐，揭示知識的本質(zhì)和關(guān)系，使學(xué)生直觀的理解算理，特別是點子圖與各種模型之間的勾連，加深了學(xué)生對于算理本質(zhì)的認(rèn)識，同時也為學(xué)生今后研究更復(fù)雜的乘法運算問題時滲透了更為有效的模型幫助支撐算理。所以在運算能力的實現(xiàn)過程中，本課教學(xué)是基于算理，基于學(xué)生對算理的理解去進行。

2.以課堂交流為中心，關(guān)注學(xué)生的思維能力

因為生活背景、思維方式和個性的差異等方面的原因，致使學(xué)生在面對相同的問題時會產(chǎn)生不同的解題策略，這種差異就是算法多樣化的理論基礎(chǔ)。學(xué)生在獨立思考階段，思維已經(jīng)啟動，他們用自己的方式進行著理解。課堂教學(xué)要尊重這種差異，并能在生生之間，師生之間的不斷交流的過程中理解并溝通不同的思維方式，體會算法的多樣化。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂，教師不再是知識的傳授者，而應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的促進者，也就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，作為教師我們要改變自己的角色意識，將學(xué)習(xí)的主動權(quán)、時間、盡可能交給孩子們，讓學(xué)生走上講臺，組織學(xué)生們進行互動交流，教師適時地指導(dǎo)。

本節(jié)課我進行了充分的前測，找到了學(xué)生認(rèn)知的起點和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)，在課堂上我力爭創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生思維發(fā)展的情境，讓學(xué)生走上講臺，進行互動交流，老師只是交流中的一個參與者。但是老師并不是不管，而是把控全局適時地進行引導(dǎo)。像兩條思維路徑的感悟，點子圖的異同，多種模型的勾連，點子圖與表格的轉(zhuǎn)化等都是讓學(xué)生自主辨析，自主反思，進而達到知識的內(nèi)化。