龔衛(wèi)東

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Excel在數(shù)學(xué)探究中的應(yīng)用

龔衛(wèi)東

近年來，探究性學(xué)習(xí)已成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中出現(xiàn)頻率很高的關(guān)鍵詞。在這方面，專家學(xué)者與中學(xué)一線教師做了大量的努力，取得了令人矚目的研究成果。但同時(shí)，具有數(shù)學(xué)特色的探究性學(xué)習(xí)研究深度不夠［1］。

在過去的二十多年中，世界各國(guó)都很重視教育信息化，投入的人力、物力數(shù)量可觀。但從初步的調(diào)研情況看，效果不能令人滿意［2］。究其原因，信息技術(shù)工具在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用的研究不足，缺少具體案例，學(xué)生參與太少。姜伯駒院士曾指出：“在教師指導(dǎo)下，探索某些理論或應(yīng)用的課題，學(xué)生的新鮮想法借助數(shù)學(xué)軟件可以迅速實(shí)現(xiàn)，在失敗與成功中得到真知。這種方式，變被動(dòng)的灌輸為主動(dòng)的參與，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立工作能力和創(chuàng)新精神?！北疚囊訣xcel軟件為例，舉例說明如何發(fā)揮其在高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)中的作用。

Excel是微軟公司的辦公軟件Microsoft office的組件之一，是由Microsoft為Windows和Apple Macintosh操作系統(tǒng)的電腦而編寫和運(yùn)行的一款試算表軟件。Excel是微軟辦公套裝軟件的一個(gè)重要的組成部分，它可以進(jìn)行各種數(shù)據(jù)的處理、統(tǒng)計(jì)分析和輔助決策操作，廣泛地應(yīng)用于管理、統(tǒng)計(jì)財(cái)經(jīng)、金融等眾多領(lǐng)域［3］。許多人對(duì)Excel的功能了解不全，僅把它當(dāng)作制作表格和圖表的辦公軟件。事實(shí)上，它能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、運(yùn)算、處理和繪制統(tǒng)計(jì)圖形乃至編程。只要善于開發(fā)，它能夠在數(shù)學(xué)探究中發(fā)揮出巨大的作用。

1.借助Excel運(yùn)算，觀察數(shù)值變化

快速重復(fù)計(jì)算是計(jì)算機(jī)的本色，是計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的最初動(dòng)力。Excel科學(xué)便捷的設(shè)計(jì)使得數(shù)值計(jì)算如游戲般輕松，合理使用能令人腦洞大開。

例1點(diǎn)P是曲線y=x2-lnx上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y=x+2的距離的最小值。

錯(cuò)解：設(shè)與y=x+2平行的直線y=x+b同曲線y= x2-lnx相切，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得。

解：設(shè)P（x，x2-lnx）為函數(shù)y=x2-lnx上任意一點(diǎn)，到直線x-y+2=0的距離是。

研究函數(shù)h（x）=x-x2+lnx+2，使用Excel：A1、A2中輸入0.01、0.02，鼠標(biāo)指向右下角出現(xiàn)“+”，向下拖動(dòng)，則會(huì)自動(dòng)生成A列步長(zhǎng)0.01（可以更小）的x的變化值，B1中輸入“=x-x2+lnx+2”可立刻算出x=0.01對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，向下拖動(dòng)鼠標(biāo)即可自動(dòng)算出全部相應(yīng)的函數(shù)值（如圖1）。觀察B列數(shù)據(jù)的變化過程，可以初步斷定最短距離一定不是，應(yīng)該是0。事實(shí)上兩個(gè)函數(shù)的圖像相交（見例5）。

2.借助Excel作圖，揭示問題本質(zhì)

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中，Excel可以方便地生成柱形圖、條形圖、餅圖。在數(shù)學(xué)問題探究中，我們可以巧妙利用其散點(diǎn)圖，觀察函數(shù)圖像，推斷函數(shù)性質(zhì)。

例2探究函數(shù)y=logx2在（0，1）的單調(diào)性。

用幾何畫板畫出的圖像如圖2所示，感覺比較怪，圖像還出現(xiàn)了一個(gè)“尖銳”的點(diǎn)。

圖2

而用Excel生成兩列數(shù)據(jù)，A列從0到1步長(zhǎng)0.001的x的變化值，B列為相應(yīng)的y值，“插入—圖表—散點(diǎn)圖”，畫出的圖像是這樣的（如圖3所示）。

圖3

由于步長(zhǎng)很小，散點(diǎn)圖極為稠密，已連成光滑的曲線。函數(shù)圖像先下凸再上凸，（0.1，0.2）之間似乎有一個(gè)拐點(diǎn)。

令y′′=0，有l(wèi)nx+2=0，解得x=e-2≈0.1353。

由此可知，x0=0.1353是函數(shù)y=logx2的拐點(diǎn)。

3.借助Excel測(cè)量，完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

Excel本身除了設(shè)計(jì)有大量常用的數(shù)學(xué)函數(shù)，還有一個(gè)隨機(jī)函數(shù)能夠自動(dòng)生成0～1的隨機(jī)數(shù)，使用蒙特卡洛方法時(shí)需要測(cè)量相應(yīng)數(shù)據(jù)。

例3在正方形中隨機(jī)撒一把豆子，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)圓周率的值［4］。

圖4

打開Excel，在A2格中輸入“=rand（）”并回車，產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，右下角向下拖動(dòng)“+”到A1001，又自動(dòng)產(chǎn)生999個(gè)隨機(jī)數(shù)，作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。在B列用同樣方法產(chǎn)生1000個(gè)隨機(jī)數(shù)作為縱坐標(biāo)。在C2格中輸入“=A22+B22”，求得x2+y2的值，向下拖動(dòng)“+”自動(dòng)算出全部點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x2+y2。在空格中輸入“=COUNTIF（C2：C1001，"＜1"），統(tǒng)計(jì)出符合x2+y2＜1條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為780。由于總點(diǎn)數(shù)是1000，故根據(jù)幾何概型知，豆子落在陰影部分的概率是0.78，據(jù)此求出π的值為4×0.78=3.12（如圖5）。

圖5

上述方法借助Excel輕松完成了1000次的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，模擬幾何概型“撒豆子”，其原型是布馮投針實(shí)驗(yàn)［5］。

4.借助Excel統(tǒng)計(jì)，開展特定應(yīng)用

Excel具有強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)功能，很多復(fù)雜的運(yùn)算和操作都被菜單化，比如求線性回歸方程等問題，可以交給計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成，能夠減少計(jì)算量，避免算錯(cuò)。

例4從深圳市教育局發(fā)布的深圳市教育事業(yè)統(tǒng)計(jì)手冊(cè)中，可以獲得2008～2014共7年的初中在校生人數(shù)的數(shù)據(jù)。

2008～2014年深圳市初中教育規(guī)模（表一）

據(jù)此預(yù)測(cè)深圳“十三·五”初中在校生人數(shù)。

在Excel界面，選擇“插入—圖表—散點(diǎn)圖”，可以看到所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)的描點(diǎn)情況。鼠標(biāo)對(duì)著任意一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)擊右鍵，選擇“添加趨勢(shì)線”，選擇類型為“線性”，勾選“顯示公式”“顯示R2”，即可顯示坐標(biāo)系內(nèi)的直線，并得到回歸直線方程（如圖6）。

圖6

圖中還顯示了R2的值，是相關(guān)系數(shù)r的平方，r體現(xiàn)預(yù)報(bào)變量與解釋變量x的相關(guān)關(guān)系，|x|越接近1，相關(guān)程度越高。因而，R2越接近1，函數(shù)擬合效果越好。輸入2016～2020年對(duì)應(yīng)的變量x=16，17，…，20，得到預(yù)測(cè)的各年份初中在校生人數(shù)。

（表二）

5.借助Excel編程，實(shí)現(xiàn)算法思想

高中數(shù)學(xué)教材必修3中有算法內(nèi)容，與計(jì)算機(jī)語言的結(jié)合本身就是最好的研究性學(xué)習(xí)課題。VB語言甚至不用下載專門的軟件，Excel中自帶。即使以前從來沒有編寫過程序，也能夠使用Visual Basic for Application開發(fā)出解決方案。VB是現(xiàn)在可用的最容易學(xué)習(xí)、最容易使用也是最復(fù)雜的應(yīng)用程序自動(dòng)化語言（過去常常稱為宏語言）之一。

例5二分法求方程x2-lnx=x+2在［0,1］之間的近似解（精確到0.0001）。

在Excel工作表中，選擇“工具/宏/Visual Basic編輯器”，在VB編輯器窗口中選擇“工具/宏”，在“宏名稱”欄內(nèi)輸入宏的名稱，單擊“創(chuàng)建”，出現(xiàn)宏主體語句Sub和End Sub，輸入下列程序后按F5即可運(yùn)行。

Sub二分法（）

a=Val（InputBox（"輸入?yún)^(qū)間左端點(diǎn)值"））

b=Val（InputBox（"輸入?yún)^(qū)間左端點(diǎn)值"））

c=Val（InputBox（"輸入誤差限制"））

Do

x0=（a+b）/2

f1=a^2-Log（a）-a-2

f2=x0^2-Log（x0）-x0-2

If f2=0 Then Exit Do

If f1*f2＜0 Then

b=x0

Else

a=x0

End If

Loop Until Abs（a-b）＜c

MsgBox"方程的近似解為"&x0

End Sub

程序運(yùn)行中，輸入左端點(diǎn)值0.01，輸入右端點(diǎn)值1，輸入誤差限制0.0001后，程序?qū)⑺愠鼋平?.1216。（注：程序中調(diào)用的函數(shù)Log（x0）即為自然對(duì)數(shù)lnx0，例5的結(jié)果能夠證明例1的結(jié)論）

信息時(shí)代的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究應(yīng)當(dāng)充分借助信息技術(shù)工具。Excel作為一般計(jì)算機(jī)標(biāo)配的預(yù)裝軟件，具有獲得便捷、功能強(qiáng)大、使用靈活等優(yōu)點(diǎn)，完全覆蓋和大大超過函數(shù)計(jì)算器、圖形計(jì)算器等工具，是開展數(shù)學(xué)探究的理想工具，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性地使用。

（作者單位：深圳市高級(jí)中學(xué)）

參考文獻(xiàn)

［1］李偉軍。近十年來數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)述評(píng)——以《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》為線索［J］。內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2012，（8）：92-95。

［2］張景中，彭翕成。深入數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)［J］。數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，（5）：1-7。

［3］百度百科：http://baike.baidu.com/view/150 9071.htm？fromtitle=Excel&fromid。

［4］劉紹學(xué)主編。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修3（A版）［M］3版。北京：人民教育出版社，2007，2：139。

［5］龔衛(wèi)東。自己動(dòng)手求圓周率［J］。高中數(shù)理化。2016，（1）：20-22。