遼寧省錦州市太和區(qū)高級(jí)中學(xué) 王曙光
我們?cè)谥v授人教B版必修五第二章第一節(jié)數(shù)列基本概念時(shí),教材上是這樣敘述的:從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集 ( 或它的有限子集)的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。實(shí)際上就是告訴我們,數(shù)列的實(shí)質(zhì)是函數(shù),理解好這一點(diǎn),對(duì)于我們更好的把握數(shù)列這一概念,以及掌握解決數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的基本方法,會(huì)有很大幫助,現(xiàn)分析如下。
一、從數(shù)列定義看
按照一定的次序排列起來(lái)的一列數(shù)叫做數(shù)列。對(duì)于數(shù)列{an}每一項(xiàng)的序號(hào)n,在數(shù)列中都有唯一的一項(xiàng)an與之對(duì)應(yīng),序號(hào)n與這一項(xiàng)an的對(duì)應(yīng)關(guān)系,符合映射的定義,實(shí)際上,可以看成序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)的集合的映射,因?yàn)槭莾蓚€(gè)非空數(shù)集之間的映射,所以也是函數(shù),因此從數(shù)列定義能夠看出數(shù)列是函數(shù)。
二、從數(shù)列的表示方法看
數(shù)列的表示方法有三種,列表法、圖像法、解析式法。例如,數(shù)列分別可以表示如下:
只是在用圖像法表示數(shù)列時(shí),注意數(shù)列的圖像是一群孤立的點(diǎn),這是數(shù)列這一函數(shù)的定義域決定的。另外用解析法表示數(shù)列時(shí),不但可以用通項(xiàng)公式表示(就是函數(shù)的解析式),也可以用遞推公式來(lái)表示數(shù)列。
三、從數(shù)列性質(zhì)看
在討論數(shù)列性質(zhì)時(shí),常??疾鞌?shù)列的最大(?。╉?xiàng)是,數(shù)列的單調(diào)性,數(shù)列的周期性,數(shù)列項(xiàng)的符號(hào)的變化規(guī)律等等,這些性質(zhì)都和函數(shù)的性質(zhì)是一致的。
從以上幾點(diǎn),我們很清楚地感受到數(shù)列是函數(shù),是一種特殊的函數(shù)這一事實(shí)。如果能從函數(shù)這一角度去看待數(shù)列,解決數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題,許多問(wèn)題迎刃而解,很多方法就就會(huì)很容易想到和接受。
(一)函數(shù)中已知函數(shù)解析式,可實(shí)現(xiàn)自變量與函數(shù)值的互求,類似的數(shù)列中,已知通項(xiàng)公式,序號(hào)和項(xiàng)互求
例1.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-4,那么3n-1是數(shù)列的第幾項(xiàng)?該數(shù)列的第2n項(xiàng)是什么?
分析:此題相當(dāng)于函數(shù)中的已知解析式,然后函數(shù)值與自變量互求。
解:設(shè)am=3n?1 Qan=3n?4
∴ 3m?4=3n?1m=n+1
∴3n-1是數(shù)列的第n+1項(xiàng) a2n=6n-4
例2.設(shè)數(shù)列{an}的第n+1項(xiàng)是n(n+1),求該數(shù)列的首相及通項(xiàng)公式。
分析:此題目相當(dāng)于已知f(x+1)=x(x+1),求f(x). 可用換元法,也可以利用構(gòu)造法。
解:法(1):(換元法)設(shè)m=n+1,則n=m-1, ∴am=n(n+1)=(m-1)m,∴an=n(n-1)∴a1=0
法(2):(構(gòu)造法)∵an+1=n(n+1)=[(+1)-1](n+1) ∴am=n(n-1) ∴a1=0(二)函數(shù)中已知解析式還可以討論函數(shù)的單調(diào)性、周期性及求最值。類似的數(shù)列也談?wù)撨@些性質(zhì),而且方法與函數(shù)一致
例3.數(shù)列的通項(xiàng)公式為它的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)是第幾項(xiàng)?最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)?
分析:此題可直接考查函數(shù)在(0,∞)上的單調(diào)性即可,方法完全是函數(shù)的方法。
解:
又∵n∈N+∴n≤9時(shí) {an}遞減,且an<1,當(dāng)n≥10時(shí),{an}遞增,且an>1
∴當(dāng)n=9時(shí) an最小,當(dāng)n=10時(shí),an最大。
四、從等差和等比這兩個(gè)特殊數(shù)列來(lái)看
等差數(shù)列若d≠0,則它的通項(xiàng)公式是一次函數(shù),前n項(xiàng)和公式是沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),等比數(shù)列若q>0且q≠1,則它的通項(xiàng)公式及求和公式與指數(shù)函數(shù)有關(guān)系,解題時(shí)常可利用這個(gè)。
例4.等差數(shù)列{an}{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn,且
分析因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù),且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),所以可分別把兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和設(shè)出,進(jìn)而求解,當(dāng)然也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解。
此法利用等差數(shù)列的性質(zhì)。
五、數(shù)列是函數(shù),函數(shù)的問(wèn)題也可借鑒數(shù)列的方法解決。
例5.已知函數(shù)f(x)=│x-1│+│x-2│+│x-3│+…+│x-20│,x
(1)分別計(jì)算f(1),f(5),f(20)的值。
(2)當(dāng)x為何值時(shí),f(x)取得最小值?最小值是多少?
因?yàn)樽宰兞?,所以考慮到可把看作 ,即可求解。
解:(1)
f(1)=│1-1│+│1-2│+…│1-20│=1+2+…+19=190
f(5)=│5-1│+│5-2│+…│5-20│=4+3+2+1+1…+15=130
f(20)=│20-1│+│20-2│+…│20-20│=19+18+…+1=190
(2)∵1≤9時(shí),2x-20>0,當(dāng)x=10時(shí),2x-20=0,當(dāng)x≥11時(shí),2x-20>0時(shí)。
∴f(1)>f(2)>…>f(10)=f(11) ∴當(dāng)x=1 0或1 1時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(10)=f(11)=│10-1│+│10-2│+…│10-20│=9+8+7+…+1+1+2+…+10=100 綜上所述,數(shù)列是函數(shù),從這一角度去分析解決數(shù)列問(wèn)題,很多問(wèn)題都能自然的找到解決問(wèn)題的途徑和辦法,因此在教學(xué)過(guò)程中,不要忽略對(duì)數(shù)列實(shí)質(zhì)的挖掘,要重視數(shù)列就是函數(shù)這一事實(shí)的教學(xué),以便拓寬我們的思路,把握問(wèn)題實(shí)質(zhì)。