□朱元生

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走出數(shù)據(jù)分析的“霧”區(qū)

□朱元生

用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，通過對樣本數(shù)據(jù)的分析來了解總體是統(tǒng)計的基本方法.然而少數(shù)同學對統(tǒng)計量的意義理解不透，常會產(chǎn)生這樣那樣的誤區(qū)，現(xiàn)就幾類比較常見的問題舉例剖析如下，望能引起同學們的足夠重視.

一、對加權(quán)平均數(shù)的“權(quán)”理解不夠

例1東風超市備有某種綠色蔬菜100千克，上午按每千克1.2元的價格售出50千克，中午按每千克1元的價格售出30千克，下午按每千克0.8元的價格將剩下的蔬菜全部售完，試求這批蔬菜售出的平均價格是多少？

剖析：在3個不同時間售出的蔬菜中，由于售出蔬菜的重量不同，各個時間售出蔬菜的單價對平均價格的影響不同，因此這批蔬菜售出的平均價格不能簡單地用3個時間售出蔬菜價格的算術(shù)平均數(shù)來表示，而應(yīng)該用加權(quán)平均數(shù)來計算.

=1.06（元/千克）.

答：這批蔬菜售出的平均價格為1.06元/千克.

二、對中位數(shù)的“中”理解不夠

例2在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的15名運動員成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

成績/m __人___ __數(shù)1.50 _ 2__ __ 1.61 _ 3__ __ 1.66 _ 2__ __ 1.70 _ 2__ __ 1.75 _ 5__ __ 1.78 1_

則這些運動員成績的中位數(shù)是多少？

剖析：從表中可以看出，跳高成績有6個數(shù)值，錯解就以最中間兩個數(shù)值的平均數(shù)作為這些跳高運動員成績的中位數(shù)，這是不正確的，共有15名運動員，按成績排序，跳高成績排列第8（最中間）的運動員的成績才是這些運動員成績的中位數(shù).

正解：跳高成績排列第8的運動員的成績?yōu)?.70m，所以這些運動員成績的中位數(shù)為1.70m.

點評：將這組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，可知中位數(shù)不一定是數(shù)據(jù)中的數(shù).還應(yīng)注意中位數(shù)的單位與原數(shù)據(jù)的單位一致.

三、對眾數(shù)的“眾”理解不夠

例3“只要人人都獻出一點愛，世界將變成美好的人間”.在今年的“慈善一日捐”活動中，某中學八年級（2）班50名學生自發(fā)組織獻愛心捐款活動.班長將捐款情況進行了統(tǒng)計，并繪制成了統(tǒng)計圖.試根據(jù)下圖提供的信息，確定捐款金額的眾數(shù).

錯解：眾數(shù)為20.

剖析：錯解以為捐款30元的人數(shù)最多為20人，所以眾數(shù)就是20，把出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)的次數(shù)錯以為是眾數(shù).這是對眾數(shù)的“眾”理解不夠.

正解：從圖中可以看出，捐款30元的人數(shù)最多，所以捐款金額的眾數(shù)是30元.

點評：在確定眾數(shù)時，易把出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)的次數(shù)錯認為是眾數(shù).應(yīng)注意眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)的次數(shù).一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有時不止一個，當出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是n個時，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就有n個.眾數(shù)的單位與原數(shù)據(jù)的單位一致.

四、對極差、方差的“差”理解不夠

例4甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，在相同條件下他們分別射擊5次，甲命中的環(huán)數(shù)為：9，8，9，9，10；乙命中的環(huán)數(shù)為：7，10，9，10，9.如果甲、乙中只能有1人入選，你認為入選者應(yīng)該是誰？為什么？

錯解：入選的應(yīng)該是甲.

根據(jù)題意，得

甲、乙兩人的平均數(shù)相等，而甲的極差是2，乙的極差是3，所以入選的應(yīng)該甲.

剖析：欲確定哪位選手，需判斷哪位選手的射擊成績平均數(shù)大且較穩(wěn)定，極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差，它只能反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，而方差才是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的統(tǒng)計量.

正解：入選的應(yīng)該是甲.

根據(jù)題意，得

因為x甲=x乙，他們的平均數(shù)相同；而，甲的方差小于乙的方差，即甲的射擊成績比乙穩(wěn)定些，所以入選的應(yīng)該是甲.

點評：方差是刻畫一組數(shù)據(jù)波動大?。x散程度）的重要量度.一般而言，一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定；兩組數(shù)據(jù)中極差大的并不一定方差也大；極差、方差和標準差都有單位，其中極差和標準差的單位與已知數(shù)據(jù)的單位相同，使用時應(yīng)當標明單位，方差的單位是已知數(shù)據(jù)單位的平方，使用時可以不標注單位.

五、對分類討論的“類”理解不夠

例5已知數(shù)據(jù)10、10、x、8的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

錯解：當x=8時，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9，平均數(shù)也是9，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9.

正解：（1）當x≤8時，該組數(shù)據(jù)從小到大順序排列應(yīng)為x、8、10、10，這時中位數(shù)為9，則，解得x=8，所以此時中位數(shù)為9；

（2）當8＜x≤10時，該組數(shù)據(jù)從小到大順序排列應(yīng)為：8、x、10、10，這時中位數(shù)為，則，解得x=8，不在8＜x≤10內(nèi)，此時x不存在；

（3）當x≥10時，該組數(shù)據(jù)從小到大順序排列應(yīng)為：8、10、10、x，這時中位數(shù)為10，則，解得x=12，所以此時中位數(shù)為10.

綜上所述，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9或10.

點評：分類討論思想是初中數(shù)學中的重要思想方法，當問題可能出現(xiàn)多種情況時，要對可能出現(xiàn)的各種情況進行不遺漏、不重復(fù)的分類討論，才能得出完整的結(jié)論.