朱旭生，湯傳揚(yáng)，王　莉

(華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013)

歐拉方程組徑向?qū)ΨQ正規(guī)解的爆破

朱旭生，湯傳揚(yáng)，王莉

(華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013)

[摘要]研究了N維可壓縮歐拉方程組真空問(wèn)題徑向?qū)ΨQ正規(guī)解的爆破問(wèn)題，利用積分法得出該問(wèn)題非平凡徑向?qū)ΨQ正規(guī)解(ρ，v)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生爆破.

[關(guān)鍵詞]歐拉方程組；徑向?qū)ΨQ；正規(guī)解；積分法；爆破

1預(yù)備知識(shí)

本文考慮N維可壓縮歐拉方程組

(1)

在滿足初始條件

(2)

(ⅰ)(ρ，u)(x，t)∈C1(Rn×[0，T))；

(ⅱ)P(ρ)(x，t)∈C1(Rn×[0，T))；

(ⅲ)在ρ的緊支集之外，u滿足

(3)

關(guān)于歐拉方程經(jīng)典解的爆破問(wèn)題在一些文獻(xiàn)中已有討論：文獻(xiàn)[1-2]討論初值問(wèn)題解的爆破；文獻(xiàn)[3-6]討論了真空情形經(jīng)典解的爆破，其中文獻(xiàn)[3-5]討論了正規(guī)解的爆破，文獻(xiàn)[6]利用平面自治系統(tǒng)定性理論研究了徑向?qū)ΨQ(有時(shí)也稱軸對(duì)稱或球?qū)ΨQ)解的爆破；文獻(xiàn)[7-12]討論了真空情況下歐拉方程組或帶排斥力的歐拉泊松方程徑向?qū)ΨQ解的爆破問(wèn)題.這些文獻(xiàn)研究的大多是初值問(wèn)題，只有文獻(xiàn)[6，13]研究的是初邊值問(wèn)題.

(4)

將(4)式代入(1)式中得

(5)

其相應(yīng)的初始條件為

(6)

相應(yīng)地，當(dāng)0≤r0；當(dāng)r≥R1時(shí)，ρ0(r)=0.對(duì)初值v0(r)，我們假設(shè)當(dāng)r≥R2時(shí)v0(r)=0，這里R2≥R1.對(duì)于徑向?qū)ΨQ的歐拉方程組的正規(guī)解，除滿足(ρ，u)(x，t)∈C1(Rn×[0，T))外，在ρ的緊支集外(4)式變?yōu)?/p>

vt+VVr=0.

(7)

當(dāng)然，為了去掉在x=0處的奇性，要求v(0，t)=0，vr(r，t)=o(r).

2主要結(jié)論及證明

定理1設(shè)(ρ，v)是N維歐拉方程組初值問(wèn)題(1)—(2)在真空條件下的非平凡經(jīng)典解，即做徑向變換后(5)—(6)的經(jīng)典解.假設(shè)suppρ0?{r|r≤R2}，當(dāng)r≥R2時(shí)v0(r)=0，且

(8)

證明首先處理真空邊界.設(shè)suppρ(r，t)={r|r≤R1(t)}，由于函數(shù)v∈C1，故由(7)式可知R1(t)滿足

(9)

將上式兩端關(guān)于t求導(dǎo)，并由(7)式得

從而

R1(t)=R1(0)+v(R1(0)，0)t=R1+v0(R1)t.

(10)

其次，引入隨體導(dǎo)數(shù)

(11)

利用(11)式可以將(1)式第一個(gè)方程改寫為

(12)

(13)

下面處理速度為零的邊界點(diǎn).由于點(diǎn)R2也落在suppρ0外，故此處也滿足(7)式，從而

同樣解得

R2(t)=R2+v0(R2(0))t=R2.

(14)

將壓強(qiáng)函數(shù)P=P(ρ)=Kργ代入(6)式第二個(gè)方程得

ρ(vt+VVr)+Kγργ-1ρr=0.

(15)

當(dāng)0≤r0，故

(16)

由于γ>1，故ργ-1(r，t)∈C([0，+∞)×[0，T))，且當(dāng)rR1(t)時(shí)，ργ-1∈C1.當(dāng)1<γ<2時(shí)，ργ-1在r=R1(t)處關(guān)于r不可導(dǎo)，但?r(ργ-1)在r=R1(t)處具有可積的奇性，因此在做積分時(shí)我們可以認(rèn)為(16)式對(duì)任意區(qū)域均成立.

引入函數(shù)φ(r)≥0，φ(r)∈C1([0，R2))，φ′(r)>0.將(16)式兩端同乘以φ(r)，

(17)

(18)

即

(19)

(20)

利用v(R2，t)=ρ(R2，t)=0，(20)式可改寫為

(21)

這里因?yàn)棣铡?r)>0，K≥0且γ>1，從而

(22)

(23)

令

(24)

則(23)式化簡(jiǎn)為

(25)

進(jìn)一步由Cauchy-Schwarz不等式得

(26)

令

(27)

(28)

注2如果R1=R2=R，我們的結(jié)論與文獻(xiàn)[12]中當(dāng)R(t)=R時(shí)的結(jié)論一致.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Blowup of the radial symmetric regular solution for the Euler equations

ZHU Xu-sheng，TANG Chuan-yang，WANG Li

(School of Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China)

Abstract:The blowup of the radial symmetric regular solutions for the N-dim compressible Euler equations is studied，while the initial flow is vacuum outside a ball.Under some assumptions，it is shown that the non-trivial classical solutions (ρ，V)blowup on or before the finite time .

Keywords:Euler equations；radial symmetry；regular solution；integration method；blowup

[文章編號(hào)]1000-1832(2016)02-0031-04

[收稿日期]2014-10-15

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161021，61262031，11326139);江西省科技廳項(xiàng)目(20142BAB211010).

[作者簡(jiǎn)介]朱旭生(1968—)，男，副教授，主要從事偏微分方程研究；湯傳揚(yáng)(1989—)，男，碩士，主要從事偏微分方程研究.

[中圖分類號(hào)]O 175.27[學(xué)科代碼]110·4720

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.008