楊　劍,　李　煥,　易志勇,　胡艷艷

(江西理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院, 江西 贛州　341000)

相場法模擬定向凝固微觀組織演化研究進(jìn)展

楊劍,李煥,易志勇,胡艷艷

(江西理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院, 江西 贛州341000)

摘要：定向凝固是一種新型的鑄造成型技術(shù),能夠很好地呈現(xiàn)出凝固過程中界面形態(tài)的演化過程,而相場法在如今微觀組織數(shù)值模擬領(lǐng)域中是最具有優(yōu)勢的一種研究方法.介紹了相場法數(shù)值模擬的基本原理,闡述了國內(nèi)外學(xué)者對二元或多元合金在受流場、溶質(zhì)間相互作用和各向異性、過冷等因素條件影響下自由枝晶和小晶面枝晶的相場法模擬的研究進(jìn)展,說明了采用相場法耦合溶質(zhì)場和計(jì)算相圖等方法在其他微觀組織中的應(yīng)用,并且指出了相場法在模擬定向凝固微觀組織領(lǐng)域中所存在的不足之處以及未來的發(fā)展趨勢.

關(guān)鍵詞：相場法; 定向凝固; 微觀組織

定向凝固是隨著高溫合金的發(fā)展而逐漸發(fā)展起來的一種較為新穎的鑄造成型工藝.其原理是采用強(qiáng)制措施使凝固金屬或非凝固金屬熔體形成具有指定方向的溫度梯度,使熔體依照規(guī)定,順著與熱流相反的方向結(jié)晶取向凝固的一種鑄造成型技術(shù).此技術(shù)能有效地控制和消除凝固組織的晶粒取向與橫向晶界,使材料的縱向力學(xué)性能得到顯著提高.因此被廣泛應(yīng)用于一些特殊材料的研究中,如:半導(dǎo)體材料、磁性材料和復(fù)合材料[1].

定向凝固技術(shù)是在高溫合金的研究制備過程中漸漸被發(fā)展和完善起來,最早用來消除結(jié)晶過程中產(chǎn)生的橫向結(jié)晶,提高材料力學(xué)性能的一種技術(shù)[2].如何精準(zhǔn)地獲得凝固過程中固、液相的溫度場,尤其是固-液界面的溫度梯度與凝固速度,以確定金屬凝固特性與外部控制參數(shù)之間的定量關(guān)系,對定向凝固過程的精確控制具有重要的影響.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,數(shù)值模擬使定向凝固過程的研究上升到一個(gè)新高度.目前,凝固過程中微觀組織數(shù)值模擬的方法主要分為以下3種:確定性方法(DeterminsticMethod)、隨機(jī)方法(StochasticMethod)和相場法(Phase-fieldMethod)[3].相場法作為凝固組織模擬最具潛力的方法之一,在凝固組織研究領(lǐng)域中已成為專家學(xué)者越來越關(guān)注的問題.

1相場模型

相場法是在考慮熱力學(xué)驅(qū)動力和有序化勢綜合作用的基礎(chǔ)上來建立相場方程.與處理固-液相變的其他方法的主要差異在于:引入一個(gè)表示材料時(shí)間和位置有序化數(shù)的新變量即相場變量Φ(x,t).當(dāng)Φ(x,t)=1時(shí),表示為固相;當(dāng)Φ(x,t)=0/-1時(shí),表示液相.通過固-液相界面區(qū)域Φ值在[-1,1]的連續(xù)變化,用Φ(x,t)跟蹤不斷變化的凝固界面,避免了追蹤復(fù)雜界面引起的誤差,有效地克服了尖銳界面的問題[4-5].

相場模型是用相場法建立的數(shù)學(xué)模型,模擬凝固微觀組織演化過程的一種手段.本質(zhì)是依據(jù)能量守恒定律,使Φ與其他各種外部變量建立一組偏微分方程,關(guān)鍵在于如何把抽象的物理問題轉(zhuǎn)化為相場模型.目前相場模型的主要表達(dá)方式有:Helmholtz自由能函數(shù)法和熵函數(shù)法.用熵函數(shù)法建立的相場模型的最簡表達(dá)式一般為:

(1)

(2)

(3)式中:Φ為相場變量;MΦ為與界面動力學(xué)相關(guān)的相場;δ為相場梯度項(xiàng)系數(shù);c為合金成分;Mc為與溶質(zhì)場相關(guān)的相場參數(shù);e為內(nèi)能密度;Me為與溫度場相關(guān)的相場參數(shù);S為封閉體系Ω的熵,其表達(dá)式為:

(4)

式中:s為熵的密;ε為相場梯度項(xiàng)修正系數(shù).聯(lián)立式(1)～式(4),所有變量可以通過體系的熵耦合起來[6].假設(shè)相場變量Φ隨著時(shí)間t的變化與自由能變化函數(shù)成正比,即:

(5)

式中:M′Φ為相場移動速率(與固液界面驅(qū)動力相關(guān));F為Helmholthz自由能函數(shù),其表達(dá)式為:

(6)

式中:T表示溫度;V表示體積.由最小能量原理有變分形式的Lyapounov函數(shù)與線性不可逆動力學(xué),可以推導(dǎo)出以下方程:

(7)

(8)

式中:M′c為與溶質(zhì)擴(kuò)散相關(guān)的相場參數(shù);M′e為與熱擴(kuò)散相關(guān)的相場參數(shù)[7].

2枝晶相場法模擬的研究進(jìn)展

2.1自由枝晶的研究進(jìn)展

枝晶具有非線性、自組織結(jié)構(gòu)和分維的特點(diǎn),它對熱量、質(zhì)量、動量傳輸、界面動力學(xué)和毛細(xì)管效應(yīng)等方面存在相互耦合的問題.自1993年Kobayashi[8]首先在各向異性相場模型條件下模擬了二維純金屬枝晶的生長形貌后,又繼續(xù)擴(kuò)展到三維,得到的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合.隨后,Karma等[9-10]基于可模擬大過冷度范圍的新相場模型,運(yùn)用二維和三維定量數(shù)值,模擬了在低過冷度下界面動力學(xué)系數(shù)為0的純金屬自由枝晶的生長.試驗(yàn)結(jié)果表明,枝晶尖端速度和尖端半徑的運(yùn)算結(jié)果與穩(wěn)態(tài)枝晶生長問題的Green’sfunction數(shù)值解一致.1999年Diepers等[11]提出了具有流動條件的相場模型,模擬了二維Al-4%Cu合金在絕熱條件下的粗化過程.2000年,T?nhardt等[12]將純金屬凝固時(shí)的熔體相場模型由對流環(huán)境簡化為剪切流動環(huán)境,并對剪切流動環(huán)境條件下枝晶的生長演化和對流條件下枝晶的生長形態(tài)進(jìn)行了研究,表明對流因素對定向凝固微觀組織和形貌具有非常顯著的影響.隨后Anderson等[13]憑借耦合,不包括流場模型與流體流動的擴(kuò)散界面模型,提出了可同時(shí)對凝固和熔體對流進(jìn)行處理的相場模型.在此模型中,固相與材料模擬分別視為具有高黏度的液態(tài)和相場變量的函數(shù),并且把該相場模型用于對流條件下的相變過程,試驗(yàn)結(jié)果與通過尖銳界面模型計(jì)算得到的結(jié)果相吻合[14].Lan等[15]以WBM模型為基礎(chǔ),采用自適應(yīng)有限體積法研究了強(qiáng)迫對流條件下對流因素對Cu-Ni二元合金枝晶生長的影響.針對求解過程中截面厚度限制的問題,運(yùn)用抗溶質(zhì)截流法使其緩解,得到了更理想的薄界面厚度,使得在低過冷度和模擬尺度較大的條件下進(jìn)行模擬計(jì)算成為可能.結(jié)果表明,逆流枝晶尖端速度在強(qiáng)迫對流和低過冷度條件下能迅速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),逆流臂上出現(xiàn)二次枝晶.Jeong等[16]將平均體積法耦合對流的二維相場模型模擬延伸到三維情況下,首次研究了強(qiáng)迫對流對三維枝晶生長的影響,試驗(yàn)結(jié)果表明:對三維枝晶尖端速度的影響程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及對二維枝晶的影響程度.Tong[17-18]和Beckermann等[19]基于Karma的模型,使用多重網(wǎng)格SIMPLE算法,提出一種具有流場條件的相場模型,研究了流動方向、流動速度和各向異性強(qiáng)度等因素對二維枝晶尖端生長速度和形態(tài)選擇的影響;同時(shí),他們也對枝晶尖端的穩(wěn)態(tài)行為和側(cè)向分枝進(jìn)行了研究并取得了不錯(cuò)的成績.試驗(yàn)表明:模擬的Peclet數(shù)和流動Peclet數(shù)之間的關(guān)系與Bouissu和Pelces預(yù)測模型結(jié)果一致[20].圖1中所示,(a)代表強(qiáng)迫對流順流方向?qū)χL形貌的影響,(b)代表逆流方向?qū)χL形貌的影響.圖中虛線表示流場,流動方向是自上而下,逆流方向枝晶臂的生長因受到流場的抑制明顯加強(qiáng),而順流方向枝晶臂的生長則恰好相反.并且可以看出,當(dāng)主枝晶生長方向與流動方向成45°角時(shí),二次枝晶臂只出現(xiàn)在沿逆流生長的兩個(gè)枝晶臂中[21].

圖1　強(qiáng)迫對流對枝晶生長形貌的影響

溶質(zhì)間的相互作用在多元合金的凝固過程中主要體現(xiàn)在液相和固相的化學(xué)自由能中的相互作用項(xiàng)和擴(kuò)散系數(shù)矩陣中的非對角項(xiàng)兩方面.但在溶液模型或者亞規(guī)則溶液模型中,對化學(xué)自由能種的相互作用都有所涉及,而大多數(shù)多元合金的凝固過程模擬對非對角擴(kuò)散項(xiàng)因素的影響均有考慮.通過對相場模型、熱力學(xué)和動力學(xué)數(shù)據(jù)庫的耦合,Kobayashi等[22]建立了基于KKS單相二元合金的多元合金凝固相場模型,并模擬了不同條件下Fe-C-P合金和Al-Mg-Si合金的枝晶生長及其顯微偏析演化過程.

2.2小晶面枝晶的研究進(jìn)展

Wheeler等[23]提出的WBM模型與Kim等[24]提出的KKS模型因在非小晶面枝晶生長過程中表現(xiàn)出較強(qiáng)的適應(yīng)性而被研究者們認(rèn)可.2001年Eggleston等[25]在相場模擬模型中采用界面能校正形式成功模擬出了較強(qiáng)各相異性條件下小晶面枝晶的生長.而后Suzuki等[26]利用該校正模型模擬了Si-Ni二元合金小晶面枝晶的生長,如圖2所示.

圖2　Si-Ni二元合金小晶面枝晶形貌

Uehara等[27]在強(qiáng)動力學(xué)各向異性條件下模擬了Ni二維小晶面枝晶的生長演化,并研究了各向異性對枝晶形貌和尖端穩(wěn)態(tài)行為的影響.與此同時(shí),張國偉等[28]在Uehara的試驗(yàn)基礎(chǔ)上增加了高界面能各向異性的條件,模擬了小晶面枝晶的演化.試驗(yàn)結(jié)果顯示:過冷度發(fā)生改變時(shí),晶體生長由熱擴(kuò)散控制轉(zhuǎn)變?yōu)榻缑鎰恿W(xué)系數(shù)控制.Wang等[29]研究了水楊酸苯酯小晶面晶體生長的三維形態(tài).試驗(yàn)結(jié)果表明:小晶面晶體形貌在成型期前后,過冷度和生長速率呈現(xiàn)出不同的函數(shù)關(guān)系,成型前期表現(xiàn)為非線性,而成型后生長階段表現(xiàn)為線性關(guān)系.

3其他微觀組織的研究進(jìn)展

相場法因能夠自動處理復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)中的邊界問題并且可以模擬移動的邊界問題而應(yīng)用廣泛[30],這不僅表現(xiàn)在枝晶方面,在其他微觀組織的模擬方面也有所應(yīng)用.

于艷梅等[31]運(yùn)用WBM模型模擬了Ni-Cu二元合金等溫近似定向凝固和非等溫定向凝固的固-液界面形態(tài)的演變過程.研究結(jié)果顯示:當(dāng)初始過冷度大于25k時(shí)界面生長速度加快,從而減小了絕對穩(wěn)定平界面的臨界速度.2005年,Nestler[32]提出三維并行計(jì)算方法來模擬多元合金的非等溫凝固.此模型主要適用于描述多元系的擴(kuò)散過程、多相的相變及溫度場的變化,同時(shí),該相場模型也引入了界面能各向異性和動力學(xué)各向異性.2005年,Kobayashi等[33]對相場方程進(jìn)行了優(yōu)化,建立了相對理想的多相場模型,對三維枝晶的演化過程和動力學(xué)過程進(jìn)行了模擬.此外,Kim等[34]根據(jù)不同的相場變量代表不同取向的晶粒,建立了可用于描述晶粒生長的多相場模型.李梅娥等[35]運(yùn)用WBM模型耦合抽拉速度對Ni-Cu合金定向凝固的界面形態(tài)的演變過程及溶質(zhì)濃度分布進(jìn)行了模擬.研究顯示:Ni-Cu合金的高速絕對穩(wěn)定性臨界速度大約為2.5cm/s,此結(jié)果和經(jīng)典理論保持一致;在接近高速平界面生長的過程中,隨著凝固速度的增大,胞間間距減少,溝槽變淺,固液界面溫度降低,固相濃度變大,有效溶質(zhì)分配系數(shù)變大,使得溶質(zhì)截留效應(yīng)更顯著.肖榮振等[36]運(yùn)用耦合溶質(zhì)場的相場模型,采用溫度凍結(jié)近似條件,模擬了單相二元合金高速定向凝固的固液界面形態(tài)和溶質(zhì)偏析,展現(xiàn)了定向凝固的平 - 胞 - 平轉(zhuǎn)變,研究了固相擴(kuò)散系數(shù)Ds及溶質(zhì)梯度系數(shù)δ對模擬結(jié)果的影響.2009年,Nomoto等[37]采用多相場模型耦合計(jì)算相圖的方法(CALPHAD),對Al-Ti-B和Al-Si-Ti-B系合金在凝固過程中的晶粒細(xì)化進(jìn)行了模擬.2010年,Minamoto等[38]通過MICRESS軟件模擬了Mg-Zn-Y合金在凝固過程中的組織變化.2015年,Xing等[39]使用定量相場模擬了二維體系下枝晶陣列在非軸向取向晶體定向凝固過程中的傾斜生長.關(guān)于對擴(kuò)散界面寬度收斂性的研究結(jié)果表明:擴(kuò)散界面寬度W0/d0≤11.3是合理的;通過對一些參數(shù)的研究,觀察主間距、取向誤差角、頂端過冷度的抽拉速度、主間距上限值和傾斜角對晶體生長的影響,而且增加主間距或者減小取向誤差角時(shí),頂端過冷度會減小.Chen等[40]采用有限元法的定量相場模型,模擬了Al-Cu合金定向凝固的初始瞬態(tài),通過對比原位分析理論和歐洲同步輻射裝置的X射線照相,實(shí)時(shí)觀察模擬了凝固過程中平界面和液態(tài)前溶質(zhì)分布的模擬速度,這與Warren-Langel初始平面凝固瞬變的模擬十分接近,加快平界面速度后,就會失去穩(wěn)定性,包晶的過渡就會開始.

4相場法存在的問題及未來的發(fā)展趨勢

相場法采用連續(xù)變量模擬不連續(xù)的現(xiàn)象,因其算法簡單、功能強(qiáng)大而倍受國內(nèi)外學(xué)者青睞.它能直接模擬固-液相中一些復(fù)雜的凝固現(xiàn)象,如溶質(zhì)的偏析、分枝的形成、粗化和重熔等,而且能夠定量地分析研究擾動各向異性、固-液界面曲率和動力學(xué)效應(yīng)對凝固微觀組織所產(chǎn)生的影響.但因相場方程復(fù)雜、計(jì)算效率低,不能對復(fù)雜的模型進(jìn)行求解,所以制約了微觀組織模擬的發(fā)展.若要對樣件微觀組織的形成過程進(jìn)行精確模擬,就需要建立能夠準(zhǔn)確描述樣件微觀組織演化過程的數(shù)字模型,而且需要具有高效數(shù)值計(jì)算能力的設(shè)備支持.

從相場法的提出到迄今為止,經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者的不懈努力,微觀組織的模擬經(jīng)歷了從定性模擬到定量模擬,從無點(diǎn)形核到隨機(jī)形核,從純物質(zhì)微觀組織的模擬到二元、多元合金微觀組織的模擬,從忽略流場因素發(fā)展到考慮流場因素的影響,數(shù)字模型和研究方法正在日益完善中.若使微觀組織的模擬取得更大的突破,則需要研究學(xué)者們的進(jìn)一步努力.

4.1相場法存在的問題

(1) 對形核的時(shí)間、數(shù)量和晶核的分布、運(yùn)動狀態(tài)、生長等方面的分析理論還有待于進(jìn)一步的完善.

(2) 合金的相圖、物性參數(shù)等數(shù)據(jù)還不夠完善.

(3) 目前的相場模型大多數(shù)只考慮熱擴(kuò)散的穩(wěn)定界面,忽略了固-液界面結(jié)晶釋放的潛熱.然而合金的實(shí)際凝固過程大多數(shù)是非平衡凝固,因此相場法若要實(shí)用化就必須考慮到其他因素的影響.

(4) 相場法的計(jì)算量較大,而當(dāng)前計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)處理能力有限,僅僅能夠?qū)δ腆w系中微小區(qū)域的局部進(jìn)行模擬,因此受計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的限制較大.

(5) 深過冷熔體的定向凝固相場模型還不夠完善,導(dǎo)致在高溫梯度下的定向凝固過程不能較為真實(shí)地展現(xiàn)出來.

(6) 目前定向凝固微觀組織相場模型已從定性模型發(fā)展為定量模型,但其數(shù)據(jù)不夠完善,產(chǎn)生的誤差較大,因此要實(shí)現(xiàn)定量模型的準(zhǔn)確模擬就需要對相場模型進(jìn)行進(jìn)一步的研究和完善.

4.2相場法未來的發(fā)展趨勢

(1) 目前定向凝固微觀組織的相場法模擬對形核過程的影響因素考慮得較為簡單,這與實(shí)際過程有較大的差異,因此將形核機(jī)制更好地耦合到相場模型中是未來研究的方向之一.

(2) 相場法計(jì)算量大,對計(jì)算機(jī)運(yùn)算依賴性較強(qiáng),因此在研究發(fā)展高效、適用性更廣的相場模型外,還應(yīng)該采用更加先進(jìn)合理的數(shù)值求解方法,如并行計(jì)算、多重網(wǎng)絡(luò)和GPU計(jì)算等.

(3) 定向凝固的實(shí)際凝固過程極為復(fù)雜,因此要使其在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用,則需要對偏晶反應(yīng)、包晶反應(yīng)、共晶轉(zhuǎn)變、再結(jié)晶和固相轉(zhuǎn)變等模擬過程進(jìn)行深入研究,使數(shù)值模擬與生產(chǎn)實(shí)際更加緊密地結(jié)合.

(4) 液相對流和傳熱傳質(zhì)的問題在凝固過程中對組織的最終形態(tài)和成分的分布有著不容忽視的影響,而推進(jìn)微觀組織模擬的發(fā)展有待于這方面問題的解決,因此這也是未來的一個(gè)研究趨勢.

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Research Progress on Simulating Evolution of Directional Solidification of Microstructures with Phase Field Method

YANG Jian,LI Huan,YI Zhiyong,HU Yanyan

(MaterialScienceandEngineeringSchool,JiangxiUniversityofScienceandTechnology,Ganzhou341000,China)

Abstract：Directional solidification is a new casting forming technology which can well demonstrate the evolution of interface morphology during solidification.Phase-field method is the most dominant research method in numerical simulation of microstructure nowadays.The article mainly expounds the basic principle of numerical simulation with phase field method and research progress on simulation of free dendrite and small dendritic crystal morphology in bivariate or multivariate alloy under the interaction between the solute and anisotropy and the influence of factors like the anisotropy and supercooling with phase-field method by scholars at home and abroad as well as application of coupling solute field and phase diagram calculation methods in other microstructures.In addition,the article points out some shortcomings with phase-field method and its future.

Keywords：phase-field method; direction solidification; microstructures

文章編號：1005-2046(2016)02-0054-06

DOI：10.13258/j.cnki.nmme.2016.02.009

收稿日期：2015-12-02

作者簡介：楊劍(1990—),男,碩士研究生,主要從事有色金屬材料加工. E-mail: DNANGEL2016@163.com

中圖分類號：TG 244

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A