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三角函數(shù)最值問題求解

2016-07-04 08:57李秀林
試題與研究·教學(xué)論壇 2016年20期
關(guān)鍵詞:構(gòu)造三角函數(shù)最值

李秀林

摘 要:本文對中學(xué)數(shù)學(xué)中常見三角函數(shù)最值問題做了歸納總結(jié),從具體函數(shù)實(shí)例出發(fā),列舉了幾種常用的解題思想方法.

關(guān)鍵詞:三角函數(shù);最值;方法;構(gòu)造

三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具之一,三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問題。這部分內(nèi)容是一個(gè)難點(diǎn),它對三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高。解決這一類問題的基本途徑,同求解其他函數(shù)最值一樣,一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性,另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)最值問題。下面就介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法:

1.用三角函數(shù)的有界性求最值

在三角函數(shù)中,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有一個(gè)最基本也最重要的特征—有界性.利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最基本的方法.

3.三角函數(shù)中的幾何方法

例6:求函數(shù)y=(0

解:將函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=,y可以看作連結(jié)兩點(diǎn)A(2,0)與點(diǎn)B(cosx,sinx)的直線斜率,由于點(diǎn)B(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓,所以求y的最小值就是在這個(gè)圓上求一點(diǎn).使得相應(yīng)的直線斜率最小.

設(shè)過點(diǎn)A的切線與半圓相切于點(diǎn)B,則kAB≤y<0可求得kAB=tan

所以y最小值-(此時(shí)x=),由于sin2x+cos2x=1,所以從圖形的角度考慮,點(diǎn)B(sinx,cosx)在單位圓上,這樣對一類既含有正弦函數(shù)又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值可考慮用幾何方法求得.

三角函數(shù)最值問題類型繁多,所涉及的知識面廣,解法靈活。所以在解題過程中,注意函數(shù)表達(dá)式的內(nèi)在特點(diǎn),題型結(jié)構(gòu)特征,選用恰當(dāng)?shù)那蠼獠呗院头椒记?,使解題過程簡捷巧妙,收到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn):

1.張國良.三角函數(shù)有界性的應(yīng)用

2.毛傳寶.三角函數(shù)最值的幾種求法

(作者單位:云南省大理白族自治州彌渡縣第一完全中學(xué))

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