車(chē)林仙，易　建，何　兵，黃勇剛

(1. 重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，重慶　402260；2. 制造裝備機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶工商大學(xué))，重慶　400067；3. 瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系，四川 瀘州　646005)

應(yīng)用自適應(yīng)混沌差分進(jìn)化算法評(píng)定圓柱度誤差*

車(chē)林仙1, 2，易建3，何兵3，黃勇剛2

(1. 重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，重慶402260；2. 制造裝備機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶工商大學(xué))，重慶400067；3. 瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系，四川 瀘州646005)

摘要：根據(jù)評(píng)定誤差的最小包容區(qū)域準(zhǔn)則，應(yīng)用坐標(biāo)變換法建立評(píng)定圓柱度誤差的4變量無(wú)約束優(yōu)化模型。由于差分進(jìn)化(Differential evolution, DE)算法具有概念簡(jiǎn)單和收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，文中利用一種改進(jìn)DE算法——自適應(yīng)混沌DE(Adaptive chaotic DE, ACDE)算法求解評(píng)定圓柱度誤差的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)2個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的對(duì)比測(cè)試，驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性。最后，給出2個(gè)圓柱度誤差評(píng)定實(shí)例。結(jié)果表明，ACDE算法的計(jì)算效率優(yōu)于遺傳算法和蜂群優(yōu)化算法，可靠性和穩(wěn)健性優(yōu)于6種對(duì)比智能算法。誤差評(píng)定模型和求解方法適用于形位誤差測(cè)量?jī)x器及三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)。

關(guān)鍵詞：圓柱度誤差；誤差評(píng)定；無(wú)約束優(yōu)化；差分進(jìn)化算法；混沌逃逸

0引言

圓柱面是各類(lèi)機(jī)械零部件中應(yīng)用最廣泛的規(guī)則幾何要素之一，其形狀誤差對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的質(zhì)量和壽命有很大影響，因此圓柱度誤差測(cè)量與評(píng)定在機(jī)械制造業(yè)(尤其是精密制造)中具有重要理論和實(shí)踐意義。

圓柱度誤差的常用評(píng)定方法有最小二乘法(LSC)和最小區(qū)域法(MZC)[1]。LSC的實(shí)質(zhì)是尋找被測(cè)圓柱面輪廓對(duì)應(yīng)的理想圓柱面，使各測(cè)量點(diǎn)到該理想圓柱面的徑向距離之平方和取最小值。因其評(píng)定原理存在缺陷，故該法很難求得精確圓柱度誤差。MZC的實(shí)質(zhì)是尋找兩理想同軸圓柱面，使其包容各測(cè)量點(diǎn)，且兩半徑之差取最小值。該法符合ISO1101定義的圓柱度評(píng)定方法。多年來(lái)，許多學(xué)者致力于MZC圓柱度誤差評(píng)定模型與算法研究。如，李濟(jì)順等[2]將坐標(biāo)變換法與網(wǎng)格搜索技術(shù)結(jié)合，再用于MZC誤差評(píng)定。

由于MZC圓柱度誤差評(píng)定系非線性優(yōu)化問(wèn)題，其全局最優(yōu)解較難獲得，而智能算法是求解優(yōu)化問(wèn)題的一類(lèi)有效方法，因此應(yīng)用現(xiàn)代智能算法確定圓柱度誤差是計(jì)量技術(shù)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。貝廣霞等[3]應(yīng)用遺傳算法(Genetic algorithm,GA)求解MZC圓柱度誤差評(píng)定問(wèn)題，Wen等[4]應(yīng)用粒子群優(yōu)化(Particle swarm optimization,PSO)算法求解該問(wèn)題，羅鈞等[5]應(yīng)用蜂群優(yōu)化(Bee colony optimization,BCO)算法求解該問(wèn)題；Zhang等[6]則提出一種PSO與差分進(jìn)化(Differential evolution,DE)混合算法，再用于誤差評(píng)定優(yōu)化問(wèn)題求解。

DE算法是一種簡(jiǎn)單高效的群體智能算法，已在數(shù)值和工程優(yōu)化領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用[7]。王東霞等[8]應(yīng)用DE算法評(píng)定平面度誤差。車(chē)林仙等[9-11]應(yīng)用改進(jìn)DE算法求并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)位置正解，其實(shí)質(zhì)是求無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。本文探索應(yīng)用DE算法求解MZC誤差評(píng)定中的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。

以圓柱度誤差評(píng)定為研究對(duì)象，在給出最優(yōu)包容圓筒定義和MZC圓柱度誤差評(píng)定原理的基礎(chǔ)上，應(yīng)用坐標(biāo)變換法建立確定圓柱度誤差的無(wú)約束優(yōu)化模型，再應(yīng)用一種改進(jìn)DE算法——自適應(yīng)混沌DE(Adaptive chaotic DE,ACDE)算法[9]求解該問(wèn)題。最后，給出2個(gè)誤差評(píng)定實(shí)例。計(jì)算結(jié)果表明，ACDE算法的計(jì)算效率明顯優(yōu)于改進(jìn)GA[3]和具有禁忌策略的BCO算法[5]，可靠性和穩(wěn)健性優(yōu)于對(duì)比算法。

1圓柱度誤差評(píng)定數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用MZC評(píng)定圓柱度誤差，實(shí)質(zhì)是確定包容點(diǎn)集的兩最佳同軸圓柱。為便于敘述，首先給出如下定義。

定義：對(duì)于給定的空間點(diǎn)集Sp，作兩同軸圓柱，使兩柱面之間的區(qū)域(即圓筒)包容Sp。以兩圓柱半徑之差最小為目標(biāo)確定的惟一圓筒，稱(chēng)為最優(yōu)包容圓筒；其軸線稱(chēng)為最優(yōu)軸線。

如圖1所示，設(shè)接受圓柱度誤差評(píng)定的空間測(cè)點(diǎn)集為{Aj,j=1,2,…,J}(J為測(cè)點(diǎn)數(shù))，任意點(diǎn)Aj在測(cè)量坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)為(xj,yj,zj)。根據(jù)上述定義和MZC圓柱度誤差評(píng)定準(zhǔn)則，存在包容該點(diǎn)集的最優(yōu)包容圓筒。過(guò)原點(diǎn)O建立與最優(yōu)包容圓筒固聯(lián)的坐標(biāo)系OXYZ，且OZ軸平行于最優(yōu)軸線CC′。由于OZ軸確定之后，OX,OY軸只要滿足右手規(guī)則即可，并無(wú)特殊要求。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，令OY軸位于Oy軸和OZ軸確定的平面內(nèi)。

圖1　評(píng)定圓柱度誤差的最優(yōu)包容圓筒

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，可用Y-X-Z型Eluer角表示坐標(biāo)系Oxyz在坐標(biāo)系OXYZ中的姿態(tài)。因OZ,Oy及OY共面，故可設(shè)坐標(biāo)系OXYZ繞OX軸旋轉(zhuǎn)α角，得坐標(biāo)系Ox′y′z′；再繞Oy′軸旋轉(zhuǎn)β角，得坐標(biāo)系Oxyz。那么，坐標(biāo)系Oxyz的姿態(tài)可用二維Euler角(α,β)進(jìn)行降維表示。設(shè)測(cè)點(diǎn)Aj在坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)為(Xj,Yj,Zj)，于是有坐標(biāo)變換：

(Xj,Yj,Zj)T=Rot(X,α)Rot(y′,β)(xj,yj,zj)T

(j=1,2,…,J)

(1)

式中，Rot(X,α),Rot(y′,β)系旋轉(zhuǎn)矩陣，分別為

設(shè)軸線CC′與平面OXY的交點(diǎn)為C(XC,YC,0)。將所有測(cè)點(diǎn)Aj向平面OXY投影，各投影點(diǎn)在平面坐標(biāo)系OXY中的坐標(biāo)為(Xj,Yj)。最優(yōu)包容圓筒則投影為圓環(huán)，其厚度即為圓柱度最小誤差emz。該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是尋找與最優(yōu)包容圓筒對(duì)應(yīng)的4元參數(shù)組(α,β,XC,YC)。若令x=(x1,x2,x3,x4)T=(α,β,XC,YC)T，則確定該最優(yōu)參數(shù)的非線性規(guī)劃問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為如下無(wú)約束優(yōu)化模型：

(2)

由上式求得最小目標(biāo)函數(shù)值f(x*)，即為MZC圓柱度誤差emz。

常規(guī)圓柱度誤差評(píng)定方法中(如文獻(xiàn)[3])，通常以理想圓柱軸線的方向余弦參數(shù)(其平方和為1)及軸線上一點(diǎn)的3維坐標(biāo)為待求參數(shù)，因此常規(guī)方法為6維決策變量。但在方向余弦參數(shù)中，只有2個(gè)自由變量(本文搜索Euler角α和β)；而理想軸線上有無(wú)窮多點(diǎn)，可給定其中1維坐標(biāo)(本文給定Z=0)，轉(zhuǎn)為搜索軸線上的唯一點(diǎn)。由此可知，優(yōu)化模型式(2)無(wú)多余變量，變量間不存在約束關(guān)系，故式(2)為含4個(gè)自由變量的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。

為方便應(yīng)用，還需求出坐標(biāo)系Oxyz下的最優(yōu)軸線CC′單位矢量n0和點(diǎn)C坐標(biāo)。根據(jù)式(1)，可分別得出如下計(jì)算式：

n0=(n0x,n0y,n0z)T=[Rot(y′,β)Rot(X,α)]-1(0,0,1)T

(3)

(xC,yC,zC)T=[Rot(y′,β)Rot(X,α)]-1(XC,YC,0)T

(4)

2誤差評(píng)定的改進(jìn)差分進(jìn)化算法

2.1基本差分進(jìn)化算法

(5)

(6)

式中，CR(0,1)，為交叉因子；rand()為(0,1)內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，對(duì)每維分量采樣一次；dr{1,…,4}，為隨機(jī)自然數(shù)，對(duì)每對(duì)交叉?zhèn)€體采樣一次，確保試驗(yàn)個(gè)體中至少有一維分量來(lái)自變異個(gè)體。若分量越界，則在其取值范圍內(nèi)隨機(jī)生成該維分量。

(7)

2.2自適應(yīng)混沌差分進(jìn)化算法

ACDE算法詳細(xì)流程及收斂性證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]，以下僅簡(jiǎn)述算法改進(jìn)思路。

(1)分類(lèi)變異策略

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值小于當(dāng)前代種群平均目標(biāo)函數(shù)值的較優(yōu)個(gè)體，按式(5)生成變異個(gè)體；而對(duì)于目其余較差個(gè)體，則沿目標(biāo)函數(shù)值降低的方向生成變異個(gè)體，即將式(5)改進(jìn)為：

(8)

式中，sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

(2)混沌逃逸操作

若相鄰兩代種群之間的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值滿足

(9)

(10)

(3)精英個(gè)體保留策略

2.3算法優(yōu)化性能驗(yàn)證

應(yīng)用2個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)作為測(cè)試問(wèn)題(均為最小化問(wèn)題)，以GA,PSO算法,人工蜂群(Artificial bee colony algorithm,ABC)[12]算法,基本DE算法[7](將采用DE/rand/1bin和DE/best/2/bin變異策略的基本算法分別記為DE1和DE2)和帶選擇文檔的自適應(yīng)DE算法(簡(jiǎn)記為JADE[13])等6種算法為對(duì)比算法，驗(yàn)證ACDE算法的有效性。與圓柱度誤差評(píng)定問(wèn)題式(2)類(lèi)似，這2個(gè)函數(shù)均為小維數(shù)多極值較難優(yōu)化問(wèn)題。

Schaffer函數(shù)(簡(jiǎn)記為SC)：

Hartman函數(shù)(簡(jiǎn)記為HA)：

xd[0,1]，d=1,2,…,6。

b=

c=(1,1.2,3,3.2)。

為公平起見(jiàn)，7種算法的N及T一致，即均取N=40，T=200。

7種算法分別獨(dú)立運(yùn)行50次，優(yōu)化性能指標(biāo)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1。表中，fb,fw,fav和σf分別表示最好、最差、平均最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值和標(biāo)準(zhǔn)差。平均最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)化曲線如圖2所示。

要進(jìn)一步強(qiáng)化基層檢疫申報(bào)點(diǎn)建設(shè)，科學(xué)配置檢疫、日常辦公所需設(shè)施設(shè)備，合理安排檢疫工作人員，優(yōu)化檢疫申報(bào)點(diǎn)設(shè)置，明確檢疫申報(bào)點(diǎn)功能，產(chǎn)地檢疫申報(bào)點(diǎn)和屠宰檢疫申報(bào)點(diǎn)應(yīng)分開(kāi)設(shè)置，嚴(yán)禁混合辦公。要進(jìn)一步完善檢疫人員準(zhǔn)入、退出、考核、獎(jiǎng)懲和監(jiān)督管理制度，加強(qiáng)崗前培訓(xùn)和在崗人員輪訓(xùn)，提高檢疫人員業(yè)務(wù)水平。

表1　7種算法求解測(cè)試函數(shù)的性能指標(biāo)比較

圖2　求解測(cè)試函數(shù)的平均最優(yōu)適應(yīng)度進(jìn)化曲線

由表1可知，對(duì)于2個(gè)測(cè)試函數(shù)，ACDE算法的指標(biāo)fw,fav和σf均優(yōu)于對(duì)比算法。6種對(duì)比算法的fav和σf均偏大(圖2也可印證fav偏大)，表明其優(yōu)化性能不穩(wěn)定，有陷入局部最優(yōu)區(qū)域的可能。而ACDE算法的σf很小(求解SC函數(shù)時(shí)為0)，表明算法陷入局部最優(yōu)區(qū)域后，可通過(guò)執(zhí)行混沌逃逸操作來(lái)跳出該區(qū)域，使種群繼續(xù)搜索全局最優(yōu)解，因此改進(jìn)算法具有良好穩(wěn)健性。

3圓柱度誤差評(píng)定實(shí)例

3.1誤差評(píng)定結(jié)果

以下用2個(gè)實(shí)例(測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表2和3)來(lái)驗(yàn)證本文模型和算法的有效性。其中，例1數(shù)據(jù)引自文獻(xiàn)[3,5]，例2數(shù)據(jù)引自文獻(xiàn)[2]。ACDE算法除T=400外，其余參數(shù)設(shè)置同SC函數(shù)(見(jiàn)第2.3節(jié))。決策矢量取值下限l=(0rad,0rad,-10mm,-10mm)T，上限u=(2πrad,2πrad,10mm,10mm)T。

表2　實(shí)例1的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)　　mm

表3　實(shí)例2的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)　　mm

應(yīng)用ACDE算法求得的最優(yōu)結(jié)果見(jiàn)表4。表中，最優(yōu)軸線CC′單位矢量n0和點(diǎn)C坐標(biāo)，系最優(yōu)解分別經(jīng)式(3)和(4)變換所得。同時(shí)，將相關(guān)文獻(xiàn)中的最優(yōu)解也列入表4(其中，點(diǎn)C的坐標(biāo)是據(jù)原文獻(xiàn)位置參數(shù)經(jīng)坐標(biāo)變換所得)，以便比較。

表4　圓柱度誤差評(píng)定結(jié)果比較

由表4可知，對(duì)例1，三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)軟件[3]、改進(jìn)GA[3]、具有禁忌策略的BCO算法[5]和ACDE算法確定的最優(yōu)解接近，但ACDE算法的精度更高。文獻(xiàn)[3]的最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)為40000，文獻(xiàn)[5]的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)為80000；而ACDE算法的基本函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)為16000。ACDE算法獨(dú)立運(yùn)行100次，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該算法因執(zhí)行混沌逃逸操作而增加的平均函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)為179，相對(duì)于基本算法可忽略不計(jì)，故該操作幾乎不影響計(jì)算效率。因此，本文計(jì)算效率明顯高于文獻(xiàn)[3,5]。

對(duì)例2，ACDE算法確定的圓柱度誤差較網(wǎng)格搜索算法[2]的最好結(jié)果提高約0.27μm。由此可見(jiàn)，ACDE算法的精度高于文獻(xiàn)[2]。

3.27種智能算法對(duì)比測(cè)試

為驗(yàn)證ACDE算法求解圓柱度誤差評(píng)定問(wèn)題的有效性，以下仍比較7種算法的性能指標(biāo)。因篇幅所限，僅給出例1的測(cè)試結(jié)果。為公平起見(jiàn)，7種算法均取T=400，其余參數(shù)設(shè)置同SC函數(shù)(見(jiàn)第2.3節(jié))。GA和ABC算法均以1/f(x)為適應(yīng)度。

由表5可知，ACDE算法除fb與DE1,DE2和JADE算法相當(dāng)外，其余指標(biāo)均好于6種對(duì)比算法。GA,PSO和ABC算法的rs為0或1%，表明這3種算法求解例1的全局優(yōu)化能力差，收斂速度慢(圖3所示平均最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)化曲線也可驗(yàn)證此結(jié)論)。DE算法的rs很高，但仍有幾次陷入局部最優(yōu)區(qū)域，導(dǎo)致其fav和σf較大；ACDE算法能全部收斂于全局最優(yōu)解的鄰域，其fb與fw很接近，σf非常小。由圖3可知，ACDE算法在最差情況下，進(jìn)化至250代左右即可收斂于全局最優(yōu)解，表明其斂速快、可靠性高。綜上可知，ACDE算法在計(jì)算可靠性和穩(wěn)健性方面明顯優(yōu)于6種對(duì)比算法。由于ACDE算法具有良好優(yōu)化性能，故可將文中的誤差評(píng)定模型和算法作為關(guān)鍵模塊之一，封裝在三坐標(biāo)測(cè)量軟件中，提高評(píng)定精度和可靠性。

表5　7種算法求解實(shí)例1的性能指標(biāo)比較

圖3　7種算法求解實(shí)例1的平均進(jìn)化曲線比較

4結(jié)論

(1)在給出最優(yōu)包容圓筒定義和MZC圓柱度誤差評(píng)定原理的基礎(chǔ)上，應(yīng)用坐標(biāo)變換方法，建立確定圓柱度誤差的4變量無(wú)約束優(yōu)化模型。

(2)應(yīng)用ACDE算法確定圓柱度誤差評(píng)定問(wèn)題的最優(yōu)解，新算法的最優(yōu)解與已有文獻(xiàn)結(jié)果相當(dāng)，但計(jì)算效率明顯高于對(duì)比文獻(xiàn)。本文方法可推廣到其他形位誤差評(píng)定問(wèn)題中。

(3)仿真結(jié)果表明：ACDE算法的性能指標(biāo)fw,fav,σf和rs優(yōu)于GA,PSO,ABC,基本DE和JADE等6種對(duì)比算法，收斂精度和計(jì)算可靠性高。

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(編輯趙蓉)

Adaptive Chaotic Differential Evolution Algorithm for Evaluation of the Cylindricity Error

CHE Lin-xian1,2, YI Jian3, HE Bing3, HUANG Yong-gang2

(1. School of Mechanical Engineering, Chongqing Vocational Institute of Engineering, Chongqing 402260, China;2. Chongqing Municipal Key Laboratory of Mechanism Design and Control for Manufacturing Equipment (Chongqing Technology and Business University), Chongqing 400067, China)

Abstract：An unconstrained optimization model with 4 variables is constructed to evaluate cylindricity errors by utilizing the coordinate transformation method according to the minimum zone criteria for evaluating errors. The difference evolution (DE) algorithm is characterized by simple concept and quick convergence. Thus a modified DE algorithm, namely adaptive chaotic DE (ACDE) algorithm, is implemented to solve the unconstrained optimization problem for evaluating cylindricity errors. The modified algorithm is tested against two benchmark examples of function optimization and the results verify its effectiveness. Finally, two real cases for evaluating cylindricity errors are given to test ACDE algorithm, and the experimental results demonstrate that its computational efficiency is superior to that obtained by the genetic algorithm or bee colony optimization, and it outperforms the six compared intelligence algorithms in terms of reliability and robustness. It is suited for evaluation of position measuring instruments and the coordinate measuring machines.

Key words：cylindricity error; error evaluation; unconstrained optimization; differential evolution algorithm; chaotic escape

文章編號(hào)：1001-2265(2016)06-0016-05

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.06.005

收稿日期：2015-07-29；修回日期：2015-08-13

*基金項(xiàng)目：重慶市教育委員會(huì)科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ1403201)；四川省教育廳重點(diǎn)科技計(jì)劃項(xiàng)目(14ZA0333)

作者簡(jiǎn)介：車(chē)林仙(1971—)，男，四川瀘州人，重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)、機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和智能信息處理，(E-mail) lx.che@qq.com。

中圖分類(lèi)號(hào)：TH161.13；TG506

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A