李　靜，李　君，郝衛(wèi)東

(1.桂林電子科技大學(xué)信息科技學(xué)院 機(jī)電工程系，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

基于逆向建模的復(fù)雜焊縫數(shù)學(xué)模型的建立方法*

李靜1，李君2，郝衛(wèi)東2

(1.桂林電子科技大學(xué)信息科技學(xué)院 機(jī)電工程系，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

摘要：目前在復(fù)雜焊縫的自動(dòng)化焊接中焊縫數(shù)學(xué)模型建立方法均比較復(fù)雜，針對(duì)焊縫特征模型設(shè)計(jì)一種等分離散建模算法。采用輔助測(cè)量設(shè)備測(cè)量工件上設(shè)置的點(diǎn)，已知曲線上兩點(diǎn)間坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，由Euler定理將旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)換為指數(shù)映射形式，通過(guò)等分旋轉(zhuǎn)角，建立曲線上兩點(diǎn)間及其它離散點(diǎn)處的坐標(biāo)系。在Matlab環(huán)境下，對(duì)管道插接焊縫進(jìn)行了建模分析。仿真結(jié)果表明采用等分離散算法建立的焊縫特征模型能達(dá)到預(yù)期的效果，且方法簡(jiǎn)單、效率高。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜焊縫模型；逆向建模；離散算法；相貫線

0引言

在離線編程技術(shù)的應(yīng)用過(guò)程中，需要建立焊縫特征模型，必須解決實(shí)際作業(yè)與離線編程環(huán)境中的模型對(duì)象的校正問(wèn)題，即坐標(biāo)系標(biāo)定問(wèn)題[1-2]。文獻(xiàn)[3-4]中的機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定方法可以達(dá)到很高的標(biāo)定精度，但是標(biāo)定過(guò)程復(fù)雜，需要耗費(fèi)大量的時(shí)間來(lái)完成這項(xiàng)工作。文獻(xiàn)[5-7]中采用三維光學(xué)掃描技術(shù)逆向建立焊縫模型，復(fù)雜的焊接環(huán)境，增加了圖像處理和建立三維模型的難度，還很難快速的建立高精度的焊縫模型。文中采用輔助測(cè)量設(shè)備測(cè)量焊縫特征點(diǎn)，建立焊縫模型的方法。操作者只需要操作測(cè)量設(shè)備對(duì)設(shè)置的工件特征點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量便可以建立焊縫特征模型。管道相貫線焊縫是較為典型的復(fù)雜焊縫，對(duì)其的研究也很多。文獻(xiàn)[8-11]中建立了相貫線焊縫模型和焊槍姿態(tài)模型，采用的建模方法有兩種，一是在離散點(diǎn)處直接建立姿態(tài)矩陣，采用該方法建立的特征模型精度高但計(jì)算量大；二是對(duì)起始點(diǎn)的姿態(tài)變換矩陣等分離散間接建立離散點(diǎn)處的姿態(tài)矩陣，這種方法能有效的降低計(jì)算量但建立的焊縫模型有一定的誤差，且誤差不易控制。文中采用旋量理論間接建立焊縫特征模型，可以在不增加計(jì)算量的前提下有效的控制建模誤差，提高建模精度。

1建立焊接環(huán)境模型

焊縫模型是指焊縫坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系的變換矩陣。因此只需要對(duì)世界坐標(biāo)系、測(cè)量坐標(biāo)系、焊件坐標(biāo)系和焊縫坐標(biāo)系之間的關(guān)系進(jìn)行研究。各坐標(biāo)系采用D-H方法建立，如圖1所示。

圖1　焊接系統(tǒng)坐標(biāo)系模型

圖中坐標(biāo)系W為世界坐標(biāo)系；坐標(biāo)系M為測(cè)量坐標(biāo)系；坐標(biāo)系C為工件坐標(biāo)系；坐標(biāo)系P為焊縫坐標(biāo)系。其中測(cè)量坐標(biāo)系M的ZM坐標(biāo)軸與世界坐標(biāo)系w的ZW軸平行且指向同一個(gè)方向。點(diǎn)A和點(diǎn)B是世界坐標(biāo)系中的兩個(gè)相異的輔助特征點(diǎn)。系統(tǒng)的工作流程敘述如下：①通過(guò)測(cè)量設(shè)備，測(cè)量輔助特征點(diǎn)A和點(diǎn)B在測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值；②根據(jù)輔助兩點(diǎn)坐標(biāo)系標(biāo)定算法計(jì)算測(cè)量坐標(biāo)系相對(duì)世界坐標(biāo)系的變換矩陣[12]；③通過(guò)測(cè)量設(shè)備，測(cè)量工件特征點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值，建立焊縫位置模型；④根據(jù)等分離散算法建立焊縫特征模型；⑤根據(jù)焊接工藝要求建立焊槍位姿模型；⑥根據(jù)焊槍位姿模型控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)焊接。

2建立管道插接相貫線焊縫數(shù)學(xué)模型

工件上的特征點(diǎn)Pi(i=1、2…6)在測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xi,yi,zi)，根據(jù)幾何知識(shí)可知，根據(jù)點(diǎn)P1、P2、P3可以計(jì)算主管的中心線向量V1，根據(jù)點(diǎn)，P4、P5、P6可以計(jì)算支管中心線向量V2：

(1)

式中，符號(hào)‘^’是向量積運(yùn)算符。

圖2　管道插接模型

根據(jù)中垂線垂直于弦和平面法向量，可以計(jì)算出中垂線的方向向量：

(2)

弦的中點(diǎn)坐標(biāo)值：

(3)

中垂線通過(guò)弦的中點(diǎn)，可以建立中垂線的參數(shù)方程：

(4)

式中Pc1是主管圓心坐標(biāo)，P21是支管圓心坐標(biāo)，t11、t12、t21、t22是中垂線方程的參數(shù)。圓的半徑可由下式計(jì)算：

(5)

(6)

整理式(6)得關(guān)于參數(shù)t1和t2的方程：

(7)

計(jì)算出t1和 t2的值后，帶入主管和支管中心線方程，既可以求得點(diǎn)O1和點(diǎn)O2的坐標(biāo)值。則可得坐標(biāo)系X1Y1O1Z1在測(cè)量坐標(biāo)系中的平移矩陣:

P=[x0;y0;z0]

(8)

偏心距a可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，即向量O1O2的模：

a=‖O1O2‖

(9)

相貫角c即為兩圓管中心線的夾角(取小于90°的角)：

(10)

坐標(biāo)系X1Y1O1Z1的Y軸與O1O2重合，Z軸與主管中心線重合，X軸由右手定則確定。因此坐標(biāo)系X1Y1O1Z1在測(cè)量坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

RMC=[O1O2^V1;O1O2;V1]T

(11)

文獻(xiàn)[8]中給出了相貫線在坐標(biāo)系X1Y1O1Z1中的參數(shù)方程：

(12)

相貫線離散化處理后得到一組離散點(diǎn)Pi(i=0、1…n),根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論，相貫線的離散點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：

(13)

3焊縫特征模型

相貫線特征模型如圖3所示，相貫線上任意點(diǎn)的切線，始終與過(guò)該點(diǎn)的兩個(gè)圓柱切平面的交線重合[8]。設(shè)過(guò)相貫線上P點(diǎn)且與主管相切的平面A的法線矢量為S1(X1,Y1,Z1), 與支管相切的平面B的法線矢量為S2(X2,Y2,Z2)。

圖3　相貫線焊縫坐標(biāo)系示意圖

文獻(xiàn)[8]中給出了法線矢量S1和S2的表達(dá)式:

(14)

(15)

設(shè)平面A和平面B的交線的矢量為S3(X3,Y3,Z3),根據(jù)兩平面相交線求法可得：

S3=S1^S2

(16)

(17)

定義焊縫坐標(biāo)系XwYwOwZw:原點(diǎn)Ow位于焊縫當(dāng)前焊接點(diǎn)(上述的P點(diǎn))，Xw軸為相貫線上該點(diǎn)的切線且方向指向焊接方向，Zw軸為相貫線主管切平面與支管切片面的角平分線，方向由焊縫指向外面，Yw軸方向可以根據(jù)右手定則來(lái)確定。Zw軸可認(rèn)為是矢量S4繞Xw旋轉(zhuǎn)q/2角得到的。則旋轉(zhuǎn)矩陣表達(dá)式：

S4=S1^S3

Rc=[ S3;S4^S3;S4]T·R(Xw,q/2)

(18)

相貫線是連續(xù)封閉的曲線，需要進(jìn)行分段處理后才能采用等分離散算法進(jìn)行建模。按照等弧長(zhǎng)離散原理將曲線離散為弧長(zhǎng)相等的曲線，分別建立各段弧長(zhǎng)起點(diǎn)和終點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣?？臻g兩點(diǎn)間的坐標(biāo)系變換原理如圖4所示。

圖4　坐標(biāo)系變換原理圖

圖中，空間中任意一條曲線AB，起點(diǎn)A的坐標(biāo)系在世界坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)矩陣為RA，終點(diǎn)B的坐標(biāo)系在世界坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)矩陣為RB,坐標(biāo)系B在坐標(biāo)系A(chǔ)中的旋轉(zhuǎn)矩陣為RAB：

RAB=RARB

(19)

(20)

(21)

根據(jù)Euler定理可得：

(22)

(23)

(24)

(25)

曲線AB采用等弧長(zhǎng)離散方法離散為n個(gè)點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)角度φ等分為n-1份，即,φi[0,φ],i=0、1、2…,n。將φi的值帶入式24和式25，即可解得各離散點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)矩陣。

4Matlab仿真分析

在matlab環(huán)境下，用工具guide創(chuàng)建了圖形仿真界面。通過(guò)界面可從圖形窗口輸出對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果。

圖5中顯示的相貫線是兩個(gè)圓柱面的交線。圖中“黑色箭頭線”是采用直接在離散點(diǎn)處建立焊縫特征模型的Z軸，“紅色箭頭線”是采用文中的等分離散算法建立的焊縫特征模型的Z軸，兩組箭頭線方向幾乎一致，表明所建立的焊縫特征模型是正確的。

圖5　相貫線焊縫特征模型

圖6是采用兩種建模方法建立的特征模型的Z軸的夾角曲線圖。該圖是將曲線先分成16段，再采用的等分離散算法分別對(duì)每一段曲線建立焊縫特征模型，從圖中可以看出，夾角最大值為2.074°，在焊接允許范圍內(nèi)。因此，采用等分離散算法可以建立理想的管道插接焊縫模型。

圖6　特征模型誤差曲線

5結(jié)論

文中采用測(cè)量工件上6個(gè)特征點(diǎn)的方法，建立了管道插接相貫線的數(shù)學(xué)模型。提出了采用旋量理論的等分離散方法建模焊縫特征模型的方法。在matlab環(huán)境下，對(duì)采用直接建模方法和采用等分離散算法建立的管道插接焊縫特征模型的的誤差進(jìn)行了對(duì)比分析，仿真結(jié)果表明：采用等分離散算法可以建立理想的螺旋線和相貫線的焊縫特征模型，且建模方法簡(jiǎn)單，效率高。

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(編輯趙蓉)

Establishing Method of Mathematical Models for Complex Weld Based on Reverse Modeling

LI Jing1，LI Jun2，HAO Wei-dong2

(1.School of Mechanical and Electrical Engineering,Institute of Information Technology of Guet,Guilin Guangxi 541004,China;2.School of Mechanical and Electrical Engineering, Guilin University of Electronic Technology, Guilin Guangxi 541004,China)

Abstract：The method of mathematical model establishment is more complicated in the automatic welding of complex welding seam at present. An algorithm for discrete aliquot is proposed in this paper for complex weld. It measures points on the work piece using independent measuring device. The rotation matrix between coordinate system for two points on the curve is known, the rotation matrix converted to exponential mapping by Euler, coordinate other point is to be established by an method of the rotation angle for the aliquot. Intersecting pipes is established and analysis in Matlab. The results show that the algorithm using discrete aliquot weld build feature model can achieve expectation effect. This method makes the operation simpler, more efficient.

Key words：model of complex weld; reverse modeling; discrete algorithms; intersecting pipes

文章編號(hào)：1001-2265(2016)06-0043-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.06.011

收稿日期：2015-12-15；修回日期：2016-01-20

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51506033)

作者簡(jiǎn)介：李靜(1983—)，女，陜西澄城縣人，桂林電子科技大學(xué)信息科技學(xué)院講師，工學(xué)碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)器人技術(shù)、機(jī)械電子技術(shù)應(yīng)用，(E-mail)jinglijl@126.com。

中圖分類號(hào)：TTH166;TG506

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A