何亞麗 閆焱 劉琳琳

【摘要】本文深入分析目前高校特別是地方院校使用的線性代數(shù)教材以及學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)知識的基本狀況，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出新的教材編寫思路，在教材的內(nèi)容安排、體系結(jié)構(gòu)、軟件使用、理論應(yīng)用等幾個(gè)方面做了大膽的嘗試，以期為線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的提高及學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)提供有力的支撐.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；教材；直觀與抽象；理論與應(yīng)用；Mathematica軟件

一、引言

線性代數(shù)是高等院校理、工、經(jīng)、管等各專業(yè)學(xué)生的一門必修課.是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課的必備基礎(chǔ)，也是理工科研究生入學(xué)考試的必考內(nèi)容.因此，線性代數(shù)知識的掌握對學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及未來的深造都有影響.另外，在分析實(shí)際問題時(shí)，扎實(shí)的代數(shù)功底是構(gòu)建實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型及對問題進(jìn)行求解時(shí)所必需的基本工具.因此，線性代數(shù)在科學(xué)研究中的應(yīng)用日益廣泛，其重要性也日益凸顯.讓學(xué)生深刻領(lǐng)會、掌握線性代數(shù)的思想、方法并能應(yīng)用于實(shí)際問題的解決是數(shù)學(xué)教育工作者不可推卸的責(zé)任.

線性代數(shù)具有概念多、內(nèi)容抽象、易忘、難學(xué)的特點(diǎn)，隨著線性代數(shù)課程的改革和發(fā)展，對于現(xiàn)代化思想與方法的滲透的要求越來越高.學(xué)時(shí)少、內(nèi)容多、要求高使線性代數(shù)教學(xué)受到新的挑戰(zhàn).在這樣的背景下，如何在有限的時(shí)間內(nèi)高質(zhì)有效地開展線性代數(shù)教學(xué)是個(gè)亟待解決的問題.在教學(xué)活動中，教材、教師、學(xué)生是教學(xué)質(zhì)量生成的三種基本要素.教材作為三要素之一是重要的教學(xué)資源，是體現(xiàn)課程教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求，甚至教學(xué)模式的知識載體，在教學(xué)過程中起著引導(dǎo)教學(xué)方向、保證教學(xué)質(zhì)量的作用.一本適宜的教材可使教學(xué)效果事半功倍.為此，我們對目前高校特別是地方院校使用的線性代數(shù)教材做了深入的分析，結(jié)合多年來對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的調(diào)查研究，筆者認(rèn)為，目前大多數(shù)高校的線性代數(shù)教材以理論為主導(dǎo)思想，偏重理論體系的完整性，過多強(qiáng)調(diào)證明和推理，再加上該課程本身所固有的抽象性和邏輯性，計(jì)算的繁瑣和計(jì)算量之巨大，使得學(xué)生學(xué)起來費(fèi)時(shí)費(fèi)力，有一定困難，學(xué)習(xí)興趣不高，同時(shí)還弱化了該門課程的計(jì)算功能以及在后續(xù)專業(yè)課中的作用.我們認(rèn)為21世紀(jì)的線性代數(shù)教材應(yīng)強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)與現(xiàn)代科學(xué)貫通，應(yīng)以“保證基礎(chǔ)、體系先進(jìn)、聯(lián)系實(shí)際、引導(dǎo)創(chuàng)新、分清層次、利于教學(xué)”為原則，緊扣基本教學(xué)要求，并高度突顯“創(chuàng)新”二字，應(yīng)在“培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思想”、“關(guān)注知識應(yīng)用”、“教材的可教性”、“語言凝練”以及“啟發(fā)性與趣味性”等方面都有所體現(xiàn).

二、新教材編寫思路與特點(diǎn)

筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對線性代數(shù)教材的體系結(jié)構(gòu)做了較大改動，大膽嘗試了新的編寫思路.以是否“有助于達(dá)到人才培養(yǎng)目標(biāo)”為基本規(guī)范和根本標(biāo)準(zhǔn)，編寫了一本適合地方院校的線性代數(shù)教材.主要有如下幾個(gè)特點(diǎn)

1.突破傳統(tǒng)，構(gòu)建獨(dú)特的結(jié)構(gòu)體系

本書最突出的特點(diǎn)是將各章都分成五部分：基本概念篇、軟件實(shí)現(xiàn)篇、價(jià)值體現(xiàn)篇、解因析理篇和拓展提高篇.我國的大學(xué)具有多層次性，每年上百萬學(xué)線性代數(shù)的大學(xué)生中，有很多層次，其要求差別很大.對多數(shù)學(xué)生來說，不教他們算題而去教抽象思維，將是對資源的極大浪費(fèi).因此，我們將線性代數(shù)中的基本概念剝離出來.引入數(shù)學(xué)軟件Mathematica，將繁瑣的計(jì)算交給計(jì)算機(jī)完成，并引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識用于實(shí)際問題的解決，將每一章的前三部分拿出來可自成體系，即使只學(xué)習(xí)前三部分，也能全面了解線性代數(shù)的基本概念和方法，解決相關(guān)實(shí)際問題.這對于部分只注重應(yīng)用的獨(dú)立學(xué)院學(xué)生，文科、醫(yī)學(xué)部分專業(yè)學(xué)生和專科學(xué)生是適用的.解因析理篇包括線性代數(shù)的所有方法、結(jié)論和基本計(jì)算技能，彌補(bǔ)前三部分在理論敘述上的不足，保證線性代數(shù)知識結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)和完整.需要對線性代數(shù)理論及應(yīng)用全面了解的專業(yè)的學(xué)生應(yīng)學(xué)習(xí)前四部分內(nèi)容.拓展提高篇注重的是解題思路的分析、計(jì)算技巧的歸納以及題型變化的多樣性介紹等，以期達(dá)到深刻理解、融會貫通的效果.有進(jìn)一步深造和考研要求的學(xué)生則應(yīng)將五部分全部學(xué)完.這種獨(dú)特的體系結(jié)構(gòu)，層次分明，宜教易學(xué)，學(xué)生可各取所需，從而滿足各個(gè)不同層次專業(yè)學(xué)生的需要.

2.克服抽象，使直觀與抽象共存

按照現(xiàn)行的國際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過公理化來表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型.這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性的全面進(jìn)化.數(shù)學(xué)的公理化、系統(tǒng)性描述使得線性代數(shù)內(nèi)容在嚴(yán)謹(jǐn)性上大大提高，但在直覺性上有一定的缺失.我們不認(rèn)為直覺性與抽象性一定相互矛盾，特別是在數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)教材中，如果一味注重形式上的嚴(yán)格性，學(xué)生就好像被迫進(jìn)行鉆火圈表演的小猴子一樣，變成枯燥的規(guī)則的奴隸.多年來，線性代數(shù)概念的抽象、計(jì)算的冗繁、內(nèi)容的枯燥一直困擾著學(xué)生的學(xué)習(xí).幫助學(xué)生建立直覺，有助于他們理解抽象的概念，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).因此，本教材的編寫立足普通高等院校人才培養(yǎng)的需要，把握“科學(xué)、簡約、應(yīng)用、現(xiàn)代”的原則，力爭使教材內(nèi)容既保持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘L(fēng)格又直觀生動，易學(xué)易懂.具體做法是各章知識與中學(xué)數(shù)學(xué)無縫銜接，每個(gè)概念的引入都有出處.或來自中學(xué)數(shù)學(xué)的延伸，或來自幾何直觀及實(shí)際問題的解決，讓學(xué)生感覺線性代數(shù)并非無源之水無本之木，它實(shí)實(shí)在在地存在于我們的生活中.以提出問題，討論問題，解決問題的方式展開教材，使學(xué)生既知其然也知其所以然.

3.加強(qiáng)應(yīng)用，使理論與應(yīng)用共融

由于課時(shí)的限制，線性代數(shù)教材極少涉及實(shí)際應(yīng)用內(nèi)容.線性代數(shù)是一門基礎(chǔ)的學(xué)科，是一門技術(shù)性的學(xué)科.將一些平時(shí)中遇到的問題，用線性代數(shù)的知識進(jìn)行分析，可以充實(shí)授課內(nèi)容.特別是與其他學(xué)科相結(jié)合的案例講解，可以在傳授理論知識的同時(shí)教會學(xué)生合理的應(yīng)用，從而滿足大多數(shù)學(xué)科的需求.通過閱讀和研究應(yīng)用問題和實(shí)例，不僅使學(xué)生提高了學(xué)習(xí)興趣，也達(dá)到了鞏固基本知識的目的.更為重要的是，通過對應(yīng)用實(shí)例分析，可以了解如何將一個(gè)實(shí)際問題模型化，然后選擇合適工具進(jìn)行分析，這大大提高了應(yīng)用理論知識和獨(dú)立思考的能力.因此，本教材每一章的第三部分都安排為“價(jià)值體現(xiàn)”，內(nèi)容是能用線性代數(shù)知識求解的實(shí)際案例.這部分內(nèi)容既可以在課上講解一部分，也可以作為閱讀材料.如何時(shí)間緊還可以將其求解過程用軟件實(shí)現(xiàn)，主要目的是讓學(xué)生親身體會線性代數(shù)知識的實(shí)用價(jià)值，不再對線性代數(shù)產(chǎn)生距離感，真正覺得其有用、好用、實(shí)用.

4.利用軟件，使現(xiàn)代技術(shù)得以充分發(fā)揮

目前，國內(nèi)很多線性代數(shù)教材中關(guān)于基本概念和基本方法的介紹方式基本上采用介紹概念、演示例子、重復(fù)練習(xí)的傳統(tǒng)技能培訓(xùn)過程.這種方法在強(qiáng)調(diào)基本計(jì)算能力的年代是非常重要的，但是，對于培養(yǎng)適應(yīng)新時(shí)代的人才是不夠的.隨著電子計(jì)算機(jī)的普及，現(xiàn)在學(xué)生基本上都能夠熟練使用計(jì)算機(jī).同時(shí)，國際上有一些成熟的數(shù)學(xué)工具軟件，例如MathWork公司的MatLab，Worlfram公司的Mathematica，都已經(jīng)具備了非常強(qiáng)大的功能，融入了線性代數(shù)中所有計(jì)算對象和方法.利用這些工具軟件，完全可以讓學(xué)生自己進(jìn)行探索.特別是實(shí)際問題中所涉及的方程組和矩陣往往是大規(guī)模的，高階的，用人工來計(jì)算是非常不易的，而且基本上是不可行的，所以需要用到計(jì)算機(jī)來進(jìn)行計(jì)算.我們將Worlfram公司的Mathematica軟件與線性代數(shù)相結(jié)合，讓學(xué)生掌握如何用Mathematica軟件進(jìn)行相關(guān)計(jì)算的同時(shí)，加深對所學(xué)線性代數(shù)知識的理解.無論從Mathematica這門程序設(shè)計(jì)語言出發(fā)，還是從線性代數(shù)這門課程改革的意義出發(fā)，兩者相結(jié)合實(shí)施教學(xué)都有可取之處.本教材包含了很多Mathematica程序設(shè)計(jì)實(shí)例，或者研究課題.相比較而言，國內(nèi)線性代數(shù)教材很少有使用數(shù)學(xué)軟件的練習(xí)內(nèi)容，或者雖有也是寥寥數(shù)筆，一帶而過.我們則“堂而皇之”的將“軟件實(shí)現(xiàn)”放在每一章的第二部分，通過Mathematica軟件的使用，不但可以提高分析問題能力，也熟悉了現(xiàn)代計(jì)算工具的使用，大大擴(kuò)展了線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容.在計(jì)算機(jī)軟件的輔助下，除了可以看到抽象的理論論述和符號推演外，也可以看到極為直觀的圖形演示，有益于提高學(xué)習(xí)內(nèi)容的趣味性.

另外，由于數(shù)學(xué)軟件Mathematica涵蓋了線性代數(shù)的所有計(jì)算，絕大部分計(jì)算只需一兩個(gè)語句就可完成，并不占用過多課時(shí)，省時(shí)省力，大大提高學(xué)習(xí)效率.將基本知識、計(jì)算技能與計(jì)算機(jī)應(yīng)用融為一體，復(fù)雜計(jì)算借助Mathematica實(shí)現(xiàn)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由知識向能力的轉(zhuǎn)化.

傳統(tǒng)線性代數(shù)教材理論推理完整，內(nèi)容相對抽象、邏輯體系嚴(yán)密，例題示范性強(qiáng)，學(xué)生通過學(xué)習(xí)，會有比較好的理論推導(dǎo)和解決復(fù)雜計(jì)算能力，對于掌握線性代數(shù)基本方法和技能訓(xùn)練有一定必要性.本教材在理論知識之外，通過結(jié)構(gòu)體系的調(diào)整，軟件的使用及應(yīng)用案例的引入，賦予學(xué)生更多的學(xué)習(xí)探討空間，提高學(xué)生自主駕馭知識能力，而這種能力恰恰是當(dāng)今人才所需要的，更適用于當(dāng)今綜合型人才培養(yǎng)的要求.

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