摘 要：優(yōu)化設(shè)計(jì)是在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一項(xiàng)設(shè)計(jì)技術(shù)，目的是在給定的技術(shù)條件下獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案、保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能?；贑語言可以很好實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的算法過程，使解決實(shí)際的優(yōu)化問題變的簡易。

關(guān)鍵詞：C語言，復(fù)合形法，優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：TH122 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

優(yōu)化設(shè)計(jì)是在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一項(xiàng)設(shè)計(jì)技術(shù)，目的是在給定的技術(shù)條件下獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案、保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能[ 4 ]。它首先將設(shè)計(jì)問題按照規(guī)定的格式建立數(shù)學(xué)模型，并選擇合適的優(yōu)化算法，選擇或編制計(jì)算機(jī)程序，然后通過計(jì)算機(jī)自動(dòng)獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題和一般工程實(shí)際優(yōu)化問題絕大多數(shù)屬于約束非線性規(guī)劃問題，目前對約束最優(yōu)化問題的解法很多，如復(fù)合形法、可行方向法、消元法、懲罰函數(shù)法等[ 2 ]。本文根據(jù)約束最優(yōu)化方法中的復(fù)合形法提出一種利用C語言程序求解最優(yōu)解的方法。

一、復(fù)合形法基本原理[ 2 ]

復(fù)合形法的基本思路是在n維空間的可行域中選取K個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)（通常取n+1<=K<=2n）作為初始復(fù)合形（多面體）的頂點(diǎn)。然后比較復(fù)合形各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值的大小，其中目標(biāo)函數(shù)值最大的點(diǎn)為壞點(diǎn)，以壞點(diǎn)之外其余各點(diǎn)的中心為映射中心，尋找壞點(diǎn)的映射點(diǎn)。以映射點(diǎn)替換壞點(diǎn)與原復(fù)合形除壞點(diǎn)之外其余各點(diǎn)構(gòu)成K個(gè)頂點(diǎn)的新的復(fù)合形。如此反復(fù)迭代計(jì)算，在可行域中不斷以目標(biāo)函數(shù)值低的代替目標(biāo)函數(shù)值最大的壞點(diǎn)從而構(gòu)成新的復(fù)合形，使復(fù)合形不斷向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)和收縮，直到收縮到復(fù)合形的各頂點(diǎn)與其形心非常接近、滿足迭代精度ε要求時(shí)為止。最后輸出復(fù)合形各頂點(diǎn)中的目標(biāo)函數(shù)值最小的頂點(diǎn)作為近似最優(yōu)點(diǎn)。

現(xiàn)以二維不等式約束優(yōu)化問題來作進(jìn)一步說明。其數(shù)學(xué)模型為：min f（X），X∈D R（2） ，D：g1（X）>=0，g2（X）>=0，a1<=x1<=b1 ，a2<=x2<=b1

在可行域內(nèi)先選定X（1），X（2），X（3），X（4） 四個(gè)點(diǎn)（這里取K=2n=2*2=4）作為初始復(fù)合形的頂點(diǎn)，計(jì)算這四個(gè)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并作比較，得出壞點(diǎn)X（H）和好點(diǎn)X（L）：

X（H）：f（X（H））=max{f（X（j）） （j=1，2，……，K）} （1-1）

X（L）：f（X（L）））=min{f（X（j）））（j=1，2，……，K）} （1-2）

如果X（4）為好點(diǎn)，點(diǎn)X（1）為壞點(diǎn)，即X（4） →X（L），X（1） →X（H）。以X（2），X（3），X（4）三點(diǎn)的中心，尋找壞點(diǎn)X（H）的映射點(diǎn)X（R）：

X（R）= X（C）+α（X（C） -X（H）） （1-3）

式中，α為映射系數(shù)，一般α>=1，通常去α=1.3。然后計(jì)算映射點(diǎn)X（R）處目標(biāo)函數(shù)f（X（R））與目標(biāo)函數(shù)值f（X（R））相比是否下降，并同時(shí)檢查X（R）是否在可行域內(nèi)。如果下降性、可行性這兩方面都得到滿足，則以X（R）點(diǎn)替換X（H）點(diǎn)，由X（R）與X（2），X（3），X（4）共四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新復(fù)合形。這個(gè)復(fù)合形肯定優(yōu)于原復(fù)合形；如果上述兩個(gè)條件不能同時(shí)滿足，則可將映射系數(shù)縮半，即0.5α→α，仍按式（1-3）迭代，重新取得新的影映射點(diǎn)X（R），使其同時(shí)滿足下降性、可行性條件。有時(shí)甚至要經(jīng)過多次縮減映射系數(shù)才能使回縮的映射點(diǎn)X（R）最后滿足這兩個(gè)條件。這時(shí)以回縮成功的映射點(diǎn)X（R）和X（2），X（3），X（4）構(gòu)成新復(fù)合形。構(gòu)成新復(fù)合形就完成了一輪迭代。以后再按上述方法進(jìn)行迭代搜索，不斷地使復(fù)合形向著目標(biāo)函數(shù)減小的方向移動(dòng)和收縮，直到逼近最優(yōu)解。

二、C語言的概述和作用

C語言是國際上廣泛流行的計(jì)算機(jī)高級語言。它既有高級語言的特點(diǎn)，又有匯編語言的特點(diǎn)。它適合作為系統(tǒng)描述語言，既可以用來編寫系統(tǒng)軟件，也可以作為應(yīng)用程序設(shè)計(jì)語言，編寫不依賴計(jì)算機(jī)硬件的應(yīng)用程序[ 3 ]。

下面應(yīng)用C語言程序利用復(fù)合形法求解二元函數(shù)minF（X）=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60的最優(yōu)解，已知D：g1（X）=x1>=0，g2（X）=x2>=0， g3（X）=6-x1>=0，g4（X）=8-x2>=0，?。簒1∈[0，6]，x2∈[0，8]，k=4，迭代精度ε=0.001。

三、C語言程序及功能說明如下

#include/*調(diào)用頭文件*/

#include

{printf（"This munber is not fit，please input again＼n"）；

i--；

}

}

F[1]=M（x[1][1]，x[1][2]）；

F[2]=M（x[2][1]，x[2][2]）；

F[3]=M（x[3][1]，x[3][2]）；

F[4]=M（x[4][1]，x[4][2]）；

FH=max（F[4]，max（F[3]，max（F[1]，F(xiàn)[2]）））；/*尋找壞點(diǎn)*/

FL=min（F[4]，min（F[3]，min（F[1]，F(xiàn)[2]）））；/*尋找好點(diǎn)*/

loop：for（l=1；l<=4；l++）

if（F[l]==FH）/*判斷第幾個(gè)點(diǎn)是壞點(diǎn)*/

{m=l；

switch（m）

{ case 1：{ XX[1]=x[1][1]；XX[2]=x[1][2]；

x[1][1]=x[2][1]；

x[2][1]=x[3][1]；

x[3][1]=x[4][1]；

x[1][2]=x[2][2]；

x[2][2]=x[3][2]；

x[3][2]=x[4][2]；break；}

case 2：{ XX[1]=x[2][1]；XX[2]=x[2][2]；

x[1][1]=x[1][1]；

x[2][1]=x[3][1]；

x[3][1]=x[4][1]；

x[1][2]=x[1][2]；

x[2][2]=x[3][2]；

x[3][2]=x[4][2]；break；}

case 3：{ XX[1]=x[3][1]；XX[2]=x[3][2]；

x[1][1]=x[1][1]；

x[2][1]=x[2][1]；

x[3][1]=x[4][1]；

x[1][2]=x[1][2]；

x[2][2]=x[2][2]；

x[3][2]=x[4][2]；break；}

case 4：{ XX[1]=x[4][1]；XX[2]=x[4][2]；

x[1][1]=x[1][1]；

x[2][1]=x[2][1]；

x[3][1]=x[3][1]；

x[1][2]=x[1][2]；

x[2][2]=x[2][2]；

x[3][2]=x[3][2]；break；}

}

}

xC1=ZH1（x[1][1]，x[2][1]，x[3][1]）；/*計(jì)算映射中心*/

xC2=ZH1（x[1][2]，x[2][2]，x[3][2]）；

a=1.3；/*映射中心系數(shù)*/

xR1=xC1+a*（xC1-XX[1]）；/*計(jì)算映射點(diǎn)*/

xR2=xC2+a*（xC2-XX[2]）；

loop2：if（xR1>6||xR1<0||xR2>8||xR2<0）/*判斷映射點(diǎn)是否在可行域內(nèi)*/

{ loop3：

a=a/2.0；

xR1=xC1+a*（xC1-XX[1]）；

xR2=xC2+a*（xC2-XX[2]）；

goto loop2；

}

if（M（xR1，xR2）{x[4][1]=xR1；

x[4][2]=xR2；}

else goto loop3；

F[1]=M（x[1][1]，x[1][2]）；

F[2]=M（x[2][1]，x[2][2]）；

F[3]=M（x[3][1]，x[3][2]）；

F[4]=M（x[4][1]，x[4][2]）；

FH=max（F[4]，max（F[3]，max（F[1]，F(xiàn)[2]）））；

FL=min（F[4]，min（F[3]，min（F[1]，F(xiàn)[2]）））；

Ff=（（1.0/K）*（（F[1]-FL）*（F[1]-FL）+（F[2]-FL）*（F[2]-FL）+（F[3]-FL）*（F[3]-FL）+（F[4]-FL）*（F[4]-FL）））；

FF=sqrt（Ff）；

if（FF>e） goto loop；/*判斷迭代精度是否達(dá)到終止條件*/

else

{ for（i=1；i<=4；i++）

if（FL==F[i]）

n=i；

printf（"The last four point is＼n"）；/*輸出最后一次迭代的4個(gè)頂點(diǎn) 及目標(biāo)函數(shù)值*/

printf（"x1=%f，%f＼nx2=%f，%f＼nx3=%f，%f＼nx4=%f，%f＼n"，x[1][1]，x[1][2]，x[2][1]，x[2][2]，x[3][1]，x[3][2]，x[4][1]，x[4][2]）；

printf（"F1=%f＼nF2=%f＼nF3=%f＼nF4=%f＼nFH=%f＼nFL=%f＼nFF=%f＼n"，F(xiàn)[1]，F(xiàn)[2]，F(xiàn)[3]，F(xiàn)[4]，F(xiàn)H，F(xiàn)L，F(xiàn)F）；

printf（"The perfect answer is＼n"）；

printf（"X=%f，%f＼n"，x[n][1]，x[n][2]）；/*輸出最優(yōu)解*/

printf（"Fx=%f＼n"，F(xiàn)L）；

}

}

float M（float a，float b）/*定義目標(biāo)函數(shù)*/

{

float F；

F=a*a+b*b-a*b-10*a-4*b+60；

return（F）；

}

float max（float x，float y）/*定義取最大函數(shù)*/

{

return（x>y？ x：y）；

}

float min（float j，float k）/*定義取最小函數(shù)*/

{

return（j>k？ k：j）；

}

float ZH1（float x11，float x21，float x31）/*定義取中心點(diǎn)函數(shù)*/

{

float Xr1=（x11+x21+x31）/3；

return（Xr1）；

}

float ZH2（float x12，float x22，float x32）

{

float Xr2=（x12+x22+x32）/3；

return（Xr2）；

}

輸入四個(gè)點(diǎn)（0，0）、（1，3）、（4，0）、（6，4），輸出最優(yōu)解如圖所示。

四、結(jié)論

通過以上實(shí)例可以看出，基于C語言可以很好實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的算法過程，其效率高，可靠性好，現(xiàn)在有很多成熟的計(jì)算機(jī)程序可以選用，使解決實(shí)際的優(yōu)化問題變的簡易。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊義勇.現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)理論與方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.

[2] 陳秀寧.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，2008.

[3] 譚浩強(qiáng).C程序設(shè)計(jì)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

作者簡介：邰園園（1987-），男，江蘇句容人，本科，助理工程師，主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)工作。