常杰

絕對值是中學數(shù)學中一個非常重要的概念，它的應用十分廣泛。含有絕對值符號的問題也是學生升入初中以來遇到的第一個學習障礙。那么怎樣解決絕對值問題呢？本文列舉幾個常用的方法：

一、理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負性

（1）幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。

（2）代數(shù)意義：①正數(shù)的絕對值是它的本身;②負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);③零的絕對值是零。

也可以寫成：

說明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一個非負數(shù);

（Ⅱ）|a|概念中蘊含分類討論思想。

1、絕對值非負性：

非負數(shù)之和為零、則絕對值內(nèi)每一個式子都為零。即|A|+|B|=0則A=0，B=0

例1.|x+3|+|y-2|=0求x，y

分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到：|x+3|=|y-2|=0，

解： ? ?解得：

例2.已知|ab-2|與|a-1|互為相互數(shù)，試求下式的值。

分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到：|ab-2|=|a-1|=0，解得：a=1，b=2

于是

在上述分數(shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結果。同學們可以再深入思考，如果題目變成求值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學可以在課下繼續(xù)探究。

二、體會數(shù)形結合、分類討論等重要的數(shù)學思想在解題中的應用

1、數(shù)形結合思想

例3.已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：

則代數(shù)式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（ ?A ?）

A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b

解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a

分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。

例4.已知：x<00，且|y|>|z|>|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ? C ? ）

A.是正數(shù)B.是負數(shù)

C.是零D.不能確定符號

解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：

所以

分析：數(shù)與代數(shù)這一領域中數(shù)形結合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復雜的不等關系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個數(shù)的大小關系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應該有數(shù)形結合解決問題的意識。

2、分類討論的思想

例5.已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù);若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側呢？

分析：從題目中尋找關鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側”意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負。那么究竟誰是正數(shù)誰是負數(shù)，我們應該用分類討論的數(shù)學思想解決這一問題。

解：設甲數(shù)為x，乙數(shù)為y

由題意得：|x|=3|y|，

（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側：

若x在原點左側，y在原點右側，即x<0，y>0，則4y=8，所以y=2，x=-6

若x在原點右側，y在原點左側，即x>0，y<0，則-4y=8，所以y=-2，x=6

（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側：

若x、y在原點左側，即x<0，y<0，則-2y=8，所以y=-4，x=-12

若x、y在原點右側，即x>0，y>0，則2y=8，所以y=4，x=12

例6.如果a、b、c是非零有理數(shù)，且a+b+c=0，那么的所有可能的值為（ ? A ? ）

A.0B. 1或-l

C.2或-2D.0或-2

分析： 因為a+b+c=0，所以a、b、c、存在兩種情況，即兩個正數(shù)一個負數(shù)和一個正數(shù)兩個負數(shù)。

當兩個正數(shù)一個負數(shù)時a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1，

所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0

3、整體代換思想

例7.方程|x-2008|=2008-x的解的個數(shù)是（ ?D ?）

A.1個 B.2個

C.3個 D.無窮多個

分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程|a|=-a的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。