張軍鋼

設(shè)計的意圖：“任意角的三角函數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計應(yīng)注意通過與“銳角三角函數(shù)”概念的因襲與擴(kuò)張關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生參與“定義任意角三角函數(shù)的過程”.有了適切的“立意”，借助怎樣的載體來落實(shí)，也是一個值得細(xì)究的問題.那么，以“銳角三角函數(shù)的概念”作為任意角三角函數(shù)的知識生長點(diǎn)是否合適？“銳角三角函數(shù)的概念”是以直角三角形為載體，關(guān)注的是“解決直角三角形的邊角關(guān)系問題”，而對它的函數(shù)本性的認(rèn)識并不是重點(diǎn)，銳角三角函數(shù)并沒有被納入函數(shù)概念體系中.因此，要使銳角三角函數(shù)概念成為教學(xué)的起點(diǎn)，還需要一個較長的過程鋪墊：回顧定義——坐標(biāo)化（全新的學(xué)習(xí)）——“單位化”（取r=1，全新的學(xué)習(xí)），而且學(xué)生可能無法把任意角的三角函數(shù)的概念納入到函數(shù)的概念中.

因此，還有一種想法是在函數(shù)概念下以“圓心在原點(diǎn)的圓周上的點(diǎn)的坐標(biāo)”隨角的變化而變化的“操作、觀察”，先讓學(xué)生建立起“任意給定一個角α，圓周上就有唯一的一個點(diǎn)P（x，y）與之對應(yīng)”的直觀感受，把注意力集中在三角函數(shù)的“函數(shù)特性”上，能使學(xué)生認(rèn)清其對應(yīng)關(guān)系、定義域和值域等，從而真正把握三角函數(shù)的“本來面目”.是否可以在“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”的思想指導(dǎo)下，以“如何建立圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型”為教學(xué)起點(diǎn)，調(diào)動象限角、弧度制、單位圓、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識，在建立函數(shù)模型的過程中水到渠成地引入任意角三角函數(shù)的概念.這樣，既可以使學(xué)生知道這一概念的背景、解決的問題，也可以使他們感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，還可以讓他們體會三角函數(shù)在物理學(xué)科中的重要性.如果這樣的設(shè)計思想能夠?qū)崿F(xiàn)，那么其效果是一舉多得的.以下為筆者在教學(xué)實(shí)踐中對任意角的三角函數(shù)定義引入的微課設(shè)計.

一、教材分析

三角函數(shù)是函數(shù)的一個基本組成部分，也是一個重要組成部分，在整個高中以至于大學(xué)都會經(jīng)常用到三角函數(shù)的知識.初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角的三角函數(shù)，教材第一節(jié)學(xué)習(xí)了任意角的表示方法，這些是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ).本節(jié)課的主要內(nèi)容是：正弦、余弦、正切的定義；正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.

二、教學(xué)目標(biāo)

理解任意角的三角函數(shù)的定義.

三、重點(diǎn)，難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義；

2.難點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程；

四、教學(xué)情景設(shè)計

1.引 入

我們初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，知道它是以銳角為自變量，

以比值為函數(shù)值的函數(shù)，那么高中為什么還要繼續(xù)研究呢？

實(shí)例導(dǎo)入：“離離原上草，一歲一枯榮.野火燒不盡，春風(fēng)吹又生.”（王安石詩）.詩中描繪的是自然界中“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，稱之為“周期現(xiàn)象.”我們曾學(xué)習(xí)過用“指數(shù)函數(shù)”模型刻畫人口增長問題，用“對數(shù)函數(shù)”的模型刻畫地震的震級變化，用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周期現(xiàn)象呢？“周期現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動有關(guān)”，一個簡單而基本的例子便是“圓周上的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”.

2.探 究

情境——選擇數(shù)學(xué)模型.

問題：摩天輪的中心離地面高度為h0，它的直徑為2r，逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點(diǎn)A 出發(fā)（如圖1所示）.

求人相對于地面的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系式.

先從一個具體情境入手，例如過了30秒后，你離地面的高度如何計算？答：h=h0+rsin30°=h+MP.

再計算幾個：60秒時.答：h=h0+rsin60°.

90秒時.答：h=h0+rsin90°.

一般的，過了t秒呢？猜想（愿望）：

答：ht=h0+rsint0.

“這樣的想法合情，但合理嗎？”

（意圖：先從幾個特殊情形出發(fā)，而后猜測一般性結(jié)論，再進(jìn)行合理性論證?。?/p>

總結(jié)：人距離地面的高度h=h0+MP，其中h0是不變量，MP表示點(diǎn)P 到水平位置OA的距離，是變量；可以通過點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的角度∠POA的大小，再結(jié)合初中銳角三角函數(shù)來計算.

3.分析數(shù)學(xué)模型

問題：對任意角∠POA；sin∠POA該如何定義？對前面這個問題往下具體分析：

當(dāng)時間為t秒時，人距離地面的高度用h=h0±MP來表示，其中MP 表示點(diǎn)P到水平位置OA的距離.

對比：h=h0±MP與ht=h0+rsint0.

愿望：要想兩者和諧統(tǒng)一.

必須有：rsint0=±MP即：sint0=±MP/r.

小結(jié)：點(diǎn)P在圓周上旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，引起∠POA的變化，對任意一個確定的∠POA對應(yīng)著唯一點(diǎn)P，進(jìn)而有唯一的MP，得到sin∠POA=±MP/r①.

提問一：①式的分子何時取正值，何時取負(fù)值？

答：OA上方為正，OA下方為負(fù).

提問二：根據(jù)①式這些特點(diǎn)，用怎樣的一個量來替代MP或-MP，可以使上面的表示更簡潔？

答：建直角坐標(biāo)系，利用P的縱坐標(biāo)替代MP或-MP.

4.建構(gòu)三角函數(shù)的定義

任意的角的正弦一種定義方法.

（1）把α“放到直角坐標(biāo)系內(nèi)”.

（2）以原點(diǎn)為圓心，半徑r 作圓，

又與α的終邊相交于點(diǎn)P 坐標(biāo)為（x，y）.

（3）規(guī)定：sinα=yr.

5.分析：以上規(guī)定是否合理？

問題一：當(dāng)α為銳角時，此規(guī)定與初中定義矛盾嗎？

結(jié)論：不矛盾，而且坐標(biāo)法的引入擺脫了銳角的束縛.

問題二：圓的半徑r大小有限定嗎？

結(jié)論：根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角α，這個比值不會隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變，是唯一確定的.

問題三：半徑r取多少時，會使得比值更加簡潔？

結(jié)論：可以考慮取r=1，這樣的圓我們稱單位圓.

即：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑的圓.

（意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識的必要性——角的范圍擴(kuò)大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時俱進(jìn)”，并不顯得突然.把定義的主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過程發(fā)展思維.）

6.導(dǎo)出任意角的三角函數(shù)定義

設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么，

y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；

x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

yx叫做α的正切，記作tanα，即tanα=yxx≠0.

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域.

7.歸納總結(jié)，注重滲透

本節(jié)課通過對實(shí)際問題的解決，學(xué)習(xí)了任意三角函數(shù)的概念.請同學(xué)們簡要回顧探究過程.三角函數(shù)的定義可謂“看似平凡最崎嶇.成如容易卻艱辛.”（王安石詩）.早期的三角學(xué)隸屬于天文學(xué)，為了天文觀測的需要，與古希臘幾何有不可分割的聯(lián)系.盡管三角知識起源較早，但在歐拉以前，人們對三角函數(shù)的研究大都在一個半徑不定的圓內(nèi)進(jìn)行的，運(yùn)用起來很不方便.直到歐拉時代，才令圓的半徑為1，置角于單位圓中，把三角函數(shù)定義為相應(yīng)的線段與圓半徑1之比.教材中現(xiàn)在的定義與歷史上大數(shù)學(xué)家歐拉的定義是一致的.歐拉用直角坐標(biāo)來定義三角函數(shù)，徹底解決了三角函數(shù)在四個象限中的符號問題，使三角函數(shù)成為研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”.

（設(shè)計意圖：對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納、疏理、提升.有意加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的熏陶，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尋求數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡，感受數(shù)學(xué)家們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)和鍥而不舍的探索創(chuàng)新精神，從而提升自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識.）

【參考文獻(xiàn)】

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[2]張衛(wèi)國.例談高考應(yīng)用題對能力的考查[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2001.3.