余遠澤

【摘要】本文以一次全柳州市文科數(shù)學考試成績?yōu)槔媒y(tǒng)計學的灰色關(guān)聯(lián)度分析法定量分析了文科數(shù)學科不同模塊對數(shù)學考試成績的貢獻度，結(jié)果表明集合、向量、不等式、二項式定理等對單科成績的貢獻度最大，排第2位的是函數(shù)及導數(shù)，數(shù)列貢獻第3，立體幾何的貢獻度最小.對研究結(jié)果進行了分析，并制定了下一階段文科數(shù)學教學的基本策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學考試；灰色關(guān)聯(lián)度分析；立體幾何；策略

本文以高三文科數(shù)學三模考試成績?yōu)槔?，利用統(tǒng)計學的灰色關(guān)聯(lián)度分析法定量分析數(shù)學科不同知識模塊對數(shù)學考試成績的貢獻度.考察不同板塊對于數(shù)學科考試成績的關(guān)聯(lián)性、貢獻度，找出薄弱板塊，對研究結(jié)果進行分析，并制定了下一階段數(shù)學教學的基本策略.

一、方法和分析

灰色系統(tǒng)中關(guān)聯(lián)度分析是對于一個發(fā)展變化系統(tǒng)進行發(fā)展態(tài)勢的量化比較.其基本思想是根據(jù)曲線的幾何形狀的相似程度來判斷關(guān)聯(lián)程度.

本次考試我校2014屆高三全市三模數(shù)學文科考試成績，有效試卷248份，采用全市集中、統(tǒng)一電腦閱卷.本次考試單科成績可以看作一個灰色系統(tǒng)，各知識板塊即該灰色系統(tǒng)中的子系統(tǒng).如下表：

按關(guān)聯(lián)分析原則，各板塊的關(guān)聯(lián)度即其貢獻度，在本例中，本次高三三模數(shù)學（文科）考試，從全年級來看，對于單科總分貢獻最大的是其他（集合、向量、不等式、二項式定理），其次是函數(shù)及導數(shù)，再次是數(shù)列，第四位的是概率及排列、組合，第五位的是三角函數(shù)，第六位的是解析幾何，貢獻度最小的是立體幾何.

二、結(jié)果分析及基本策略

1.試題的分析

試題各知識板塊的分值與歷屆高考試題基本相似，只是三角函數(shù)和函數(shù)及導數(shù)的分值有些變化，加重了函數(shù)及導數(shù)考察、減少了三角函數(shù)的分值，只是更注重知識的綜合應用和能力的體現(xiàn)，是一份能體現(xiàn)現(xiàn)價段要求的試題.

2.結(jié)果分析

對本次考試的數(shù)據(jù)進行定量分析之后，筆者和數(shù)學備課組的老師進行了研究、討論，并部分學生進行了訪問.數(shù)據(jù)的定量分析與數(shù)學備課組的定性分析結(jié)果相符.主要表現(xiàn)在：

（1）其他（集合、向量、不等式、二項式定理）這個板塊，一般情況下考察的難度不大，注重于考察基本的知識和基本能力，關(guān)聯(lián)度排序排第一位，說明上學期一輪復習比較有成效，為高考數(shù)學奠定了扎實的基礎.

（2）數(shù)列和概率及排列、組合這兩個板塊，分值、難度都比較穩(wěn)定，關(guān)聯(lián)度排序排應靠前列，這和分析的結(jié)果相符合，說明這兩塊的復習比較正常.

（3）由于函數(shù)和導數(shù)這個板塊的概念比較抽象，涉及的數(shù)學思想和方法比較多，要求又比較高，對文科學生來說是個難點，但關(guān)聯(lián)度排序排第二，是本次考試的一個亮點，原因是剛結(jié)束函數(shù)和導數(shù)這個板塊的專題復習.從中得出結(jié)論，后面的專題復習要科學地設計好，它是提高學生能力和進行程序化解題的關(guān)鍵.

（4）存在的問題：三角函數(shù)這個板塊，是文科數(shù)學難度最低，必須拿分的板塊之一，但這個板塊關(guān)聯(lián)度排序排相對靠后，該模塊對于數(shù)學科成績的貢獻度上升的空間還很大，是重點要加強和突破的板塊.立體幾何重點考察學生的空間想象力和空間思維能力的板塊，對文科生，特別文科女生是特別困難的事，但高考數(shù)學要上一本線，這個板塊必須基本拿下，引入了空間向量法以后，為立體幾何的突破提供了可能和方法，立體幾何是本次考試中對單科成績中貢獻度最小的，是今后復習一定要突破的.

3.基本策略（以立體幾何為例）

（1）專題復習是提高學生各個板塊能力的有效途徑，要注重學科知識體系，基本能力，基本方法的梳理，從而形成知識網(wǎng)絡.因此，要借助思維導圖進行專題復習，如立體幾何可用如下思維導圖進行歸納、整理；還必須要求學生自己繪制不同的思維導圖對知識、方法、類型進行梳理，進一步形成能力.

（2）要深入研究歷屆高考題，對各版塊的類型、方法、數(shù)學思想進行歸納、對比、提升，從而形成程序性知識，進一步通過適當?shù)木毩暎纬刹呗孕缘闹R和方法.例如，立體幾何在高考文科數(shù)學（大綱卷）中重點考察空間的夾角和距離，傳統(tǒng)的方法是找（作）、證、求，要求學生有較強的空間思維能力，這對文科學生來說，相當困難，空間向量法是文科生突破這個板塊難點的非常有效的方法，只需解決以下兩個難點：

1.突破建系

（1）空間的垂直關(guān)系是建系的基礎，要重點加強空間垂直的復習，要注重空間線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)的應用，以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換.線線垂直是基礎，線面垂直是核心，面面垂直是關(guān)鍵，利用線面垂直找出Z軸（或Z軸的平行線），利用面面垂直的性質(zhì)定理（在一個平面作垂直于交線的直線垂直于另一個平面），轉(zhuǎn)化為線面垂直，從而找出Z軸.

（2）底面平面化的方法，研究底面線線垂直關(guān)系，找出X軸、Y軸.

（3）要有效地結(jié)合數(shù)學思想，如分割法、補形法.

例1 （2011年大綱版高考題20）如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形.AB=BC=2，CD=SD=1.

（1）證明：SD⊥平面SAB，

（2）求AB與平面SBC所成角的大小.

思路分析

難點：如何建系.

突破點：分割，面面垂直性質(zhì)定理，底面平面化.

因為底面直角梯形ABCD分割成矩形BCDE和直角三角形DEA，四棱錐S-ABCD分割成一個底面是直角的三棱錐S-DEA和一個底面是矩形的四棱錐S-BCDE，證出平面SDE⊥底面ABCD，利用面面垂直的性質(zhì)定理，過S作SF⊥DE于F點，從而SF⊥底面ABCD，得出Z軸，如圖1，把底面平面化，如圖2，找出X軸、Y軸，最后，如圖3建立空間直角坐標系，剩下的問題易解決.

思路分析

難點：如何建系.

突破點：補形，面面垂直性質(zhì)定理，底面平面化.

把底面四邊形ABC0D補成正方形ABDE和直角三角形BC0D，由第一問易證平面COC0⊥底面ABC0D，如圖（4）.利用面面垂直的性質(zhì)定理，過C作CO⊥C0D的延長線于O點，從而CO⊥底面ABC0D，得出Z軸，易證三角形CED為等邊三角形，把底面平面化，如圖（5），找出X軸、Y軸，最后，如圖（6）建立空間直角坐標系，剩下的問題易解決.

2.突破設參、求點坐標

（1）底面上的點，底面平面化后，畫出底面平面圖形，由平面幾何的知識及圖形的性質(zhì)，求出個點的坐標.

（2）空間的點，找（作）出底面的垂線，能判斷垂足在底面的位置的，問題就解決了，有些斜棱柱上的點，很難判斷垂足在底面的位置，可以采用平行向量，坐標相等的方法，或用向量加法的三角形法則，求點的坐標.

（3）對于一些存在性問題、共線問題，采用設參、求參的方法（根據(jù)題目給出的條件，如空間線線垂直、平行，空間線線角、線面角、面面角，空間點面距離列關(guān)于參數(shù)的方程，解方程求出參數(shù)）.

總之，教學、備考是一項系統(tǒng)工程，有其內(nèi)在的規(guī)律和特點，深入研究并掌握相應的方法，將取得事倍功半的效果.運用統(tǒng)計學方法如灰色關(guān)聯(lián)度分析，發(fā)現(xiàn)教學過程中的問題，從而針對問題制定改進策略，尤其是針對高中文科數(shù)學不同知識內(nèi)容采取具體、有效且獨到的教學方法來突破難點、瓶頸，是一個教育工作者應盡的責任，是“在教學中科學研究，從科學研究中啟發(fā)教學”真正體現(xiàn).

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