李沫蘭

（河北省邯鄲市第一中學(xué)，河北邯鄲056000）

探究數(shù)列典型問題
——以菲波那切數(shù)列為例

李沫蘭

（河北省邯鄲市第一中學(xué)，河北邯鄲056000）

數(shù)列是我們從中學(xué)時期就會接觸和涉及的一個知識點(diǎn)，雖看似簡單卻蘊(yùn)含著很玄妙的數(shù)學(xué)規(guī)律，值得我們?nèi)ド钊胩接憽Ｎ覀兺ㄟ^了解數(shù)列的產(chǎn)生和發(fā)展過程，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列中所代表和體現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律之美。其中，菲波那切數(shù)列更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。

數(shù)列；歷史；應(yīng)用；菲波那切數(shù)列

一、數(shù)列的概念

數(shù)列（sequence of number）是一列有序的數(shù)。它是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的一種函數(shù)。數(shù)列中所包含的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。排在這個數(shù)列第一位的數(shù)稱之為首項（通常也叫做數(shù)列的第1項），而排在第二位的數(shù)稱為數(shù)列的第2項……依次類推排在第n位的數(shù)則稱為這個數(shù)列的第n項，通常使用來an表示。

開始接觸并學(xué)習(xí)函數(shù)的知識以后，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列其實是一種比較特殊的函數(shù)。它的特殊性主要表現(xiàn)在數(shù)列的定義域和值域上。一般的，數(shù)列可以被看做是一個定義域為正整數(shù)集N*或者其有限子集｛1，2，3，…，n｝的函數(shù)，其中的｛1，2，3，…，n｝不能被省略。

可以看到用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)列是一種重要的思想方法，一般情況下，函數(shù)通常有三種表示方法，同樣的數(shù)列也有三種表示的方法：1.列表法；2.圖像法；3.解析法。其中解析法包含以通項公式表示數(shù)列和以遞推公式表示數(shù)列。因為函數(shù)不一定有解析式，所以同樣的數(shù)列也并非都有通項公式。

（一）數(shù)列的分類

常用的數(shù)列通常有以下幾種：“有窮數(shù)列”（finite sequence），項數(shù)有限的數(shù)列；“無窮數(shù)列”（infinite sequence），項數(shù)無限的數(shù)列。正項數(shù)列，數(shù)列的各項都是正數(shù)；遞增數(shù)列，即從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列；遞減數(shù)列，即從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列；擺動數(shù)列，從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列；周期數(shù)列，數(shù)列各項呈周期性變化的數(shù)列；常數(shù)列，各項相等的數(shù)列。

（二）數(shù)列的表示

數(shù)列有時會有很多項數(shù)，而有的無限數(shù)列的項數(shù)是無窮的，那么應(yīng)該如何更好地表示數(shù)列呢？通常我們使用通項公式和遞推公式來表達(dá)和表示一個數(shù)列。

1.數(shù)列的通項公式，即數(shù)列｛an｝的第n項與序號n之間的關(guān)系可以通過同一個式子來表示，即數(shù)列的通項公式。如an= （-1）n+1+1，可以注意到首先有些數(shù)列的通項公式可以有不同形式，而有些數(shù)列沒有通項公式。比如，素數(shù)由小到大排成一列2，3，5，7，11，……這個數(shù)列就沒有通項公式。

2.數(shù)列的遞推公式，即表現(xiàn)數(shù)列的某一項和它的前一項或前若干項之間關(guān)系的式子。數(shù)列的遞推公式同其通項公式的特點(diǎn)類似，即有些數(shù)列的遞推公式是不唯一的，可以有不同形式。同樣有些數(shù)列也可以沒有遞推公式，且有遞推公式的數(shù)列不一定有通項公式。

二、數(shù)列的產(chǎn)生與發(fā)展

數(shù)列是除去數(shù)字、三角、函數(shù)之外的另一個非常重要的數(shù)學(xué)概念。數(shù)列很早就體現(xiàn)出了人類的睿智，因為它不僅推進(jìn)了級數(shù)的產(chǎn)生和組合的發(fā)展，還充滿著人文氣息和人類智慧，并被廣泛應(yīng)用在藝術(shù)、建筑等諸多領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)中的重要模型。

數(shù)列的歷史十分悠久，在古代中國、古印度、古希臘、古代阿拉伯等歷史中都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的記載和介紹。在古代中國，《莊子》中就有：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭?！钡挠涊d。而在古巴比倫，約在公元前20世紀(jì)的石板上記錄了以下數(shù)字：1，4，9，16，25，36，49，……其實這是現(xiàn)在非常常見的自然數(shù)的平方和。同時，中國的《九章算術(shù)》或西方的歐幾里得的《幾何原本》都對數(shù)列有豐富的記錄。關(guān)于數(shù)列，還有許多經(jīng)典的命題廣為流傳，像熟悉的數(shù)學(xué)家高斯幼年巧算1到100自然數(shù)和的故事，以及國際棋盤上疊加小麥的問題和比較著名的阿莫斯之謎等。不僅在數(shù)學(xué)研究上，在自然界和生活中，數(shù)列依然隨處可見。下文將就菲波那切數(shù)列的單獨(dú)分析來揭示上述討論。

三、菲波那切數(shù)列

菲波那切數(shù)列是一個比較常見的數(shù)列，學(xué)生應(yīng)該都比較熟悉，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……這個數(shù)列的特點(diǎn)是從第三項起，每一項都等于它的前兩項相加之和，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn)的，自斐波那契數(shù)列發(fā)現(xiàn)之時起，就引起了人們的廣泛關(guān)注。

在數(shù)學(xué)表示上，斐波那契數(shù)列可以表示為：

F（n）=0，當(dāng)n=0時；

F（n）=1，當(dāng)n=1時；

F（n）=F（n-1）+F（n-2），當(dāng)n＞1時。

（一）斐波那契數(shù)列的相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)

1.與黃金比例的關(guān)系。通過研究可以發(fā)現(xiàn)，對于菲波那切數(shù)列的各項來說，相鄰兩項的商，越靠后就越接近0.618，而通過通項公式去求相鄰兩項商的極限其結(jié)果正是黃金比例，因此，菲波那切數(shù)列又稱為黃金比數(shù)列。

2.簡單的規(guī)律。透過數(shù)列我們可以發(fā)現(xiàn)其中一些簡單的規(guī)律：每3個連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個被2整除，每4個連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個被3整除，每5個連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個被5整除，每6個連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個被8整除，每7個連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個被13整除，……每n個連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個被整除。

（二）斐波那契數(shù)列的應(yīng)用

除了在數(shù)學(xué)方面的研究外，菲波那切數(shù)列在很多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

1.物理學(xué)。在已學(xué)到的氫原子能級方面，在氫原子吸收能量發(fā)生能級躍遷時，電子所處的狀態(tài)可能的情形是：1、2、3、5、8、13、21…種。這就是斐波那契數(shù)列的一部分。

2.計算機(jī)科學(xué)。在計算機(jī)算法方面，同樣可以應(yīng)用到斐波那契數(shù)列。如斐波那契堆（Fibonacci heap），它是計算機(jī)科學(xué)中，最小堆有序樹的集合。可用于計算機(jī)計算時實現(xiàn)合并優(yōu)先隊列。通過斐波那契數(shù)列算法的應(yīng)用，它可以不涉及刪除元素的操作的平攤時間，和另一種算法二項堆相比是巨大的改進(jìn)，大大提高了計算速度。

3.自然界。在自然界中，很多動植物的生長都遵從斐波那契數(shù)列的規(guī)律。一些植物的萼片、花瓣、果實數(shù)目以及排列方式上，都非常符合斐波那契數(shù)列，如菠蘿、松子等。而貝殼螺旋輪廓線則符合斐波那契螺旋。

四、結(jié)語

數(shù)列從古至今的發(fā)展可以看到，在每個細(xì)微的方面深入思考，都可以有很深入的發(fā)現(xiàn)。這也是每個人在學(xué)習(xí)上應(yīng)當(dāng)具備的優(yōu)良品德。通過數(shù)列這一小小的切入點(diǎn)，也可以看到數(shù)學(xué)是如此實用和美妙的學(xué)科。正是對數(shù)學(xué)的研究才逐步推動著各個領(lǐng)域科技的進(jìn)步與發(fā)展，也需要一代代人們努力去研究，讓數(shù)學(xué)的發(fā)展更進(jìn)一步。

［1］王君行.斐波那契數(shù)列的一些有趣性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通報，2009（3）：60.

［2］閆萍，王見勇.斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2005（1）：28-29.

［責(zé)任編輯趙建榮］

Exploration on the Typical Problems of Sequence of Number

LI Mo-lan
（Handan No.1 High School，Handan Hebei，056000，China）

Sequence of number is a knowledge point that we commonly contact in high schools.Although it seems simple，it contains a mysterious mathematical law which needs further exploration.We could find the mathematical laws of beauty in sequence through analysis on the emergence and development process of sequence.Among them，F(xiàn)ibonacci Sequence could particularly reflect the beauty of mathematics.

sequence of number；history；application；Fibonacci Sequence

G63

A

1673-9132（2016）10-0245-151

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.10.036