趙 巖李 麗,魯 哲
(1. 渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013; 2. 法庫縣東湖第三初級中學,遼寧 沈陽 110402)
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幾乎恰當鏈環(huán)
趙巖*,1,李麗1,魯哲2
(1. 渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013; 2. 法庫縣東湖第三初級中學,遼寧 沈陽 110402)
摘要:定義了幾乎恰當鏈環(huán),給出了幾乎恰當鏈環(huán)與其鏡面像之間的關系;利用狀態(tài)鏈的方法證明了A-幾乎恰當鏈環(huán)的Kauffman尖括號多項式的最高次冪以及B-幾乎恰當鏈環(huán)的最低次冪的表達式.
關鍵詞:投影圖; 狀態(tài)多項式; Kauffman多項式; 鏡面像
0引言
1988年,為了進一步推廣交錯鏈環(huán)的結果和性質(zhì),W.B.R.Lickorish 和 M.B.Thistlethwaite 在文獻〔1〕中提出了恰當鏈環(huán)的定義,在文獻〔2〕中給出了恰當鏈環(huán)的多項式的寬度的估計,這是一類包括交錯鏈環(huán)在內(nèi)的一種更為廣泛的鏈環(huán)種類.與此同時,一些作者開始研究恰當鏈環(huán)的各類性質(zhì),包括它的Jones 多項式的研究,尖括號多項式寬度的估計,與鏈環(huán)虧格之間的關系等方面.
本文提出了一種類恰當鏈環(huán),稱之為幾乎恰當鏈環(huán),對這類鏈環(huán)的性質(zhì)在第一部分進行了說明,在第二部分,主要討論了A-幾乎恰當鏈環(huán)的Kauffman多項式問題,得到了如下結論:
L是一個幾乎A-恰當?shù)逆湱h(huán),D是L的一個幾乎A-恰當?shù)耐队皥D,c(D)是L的交叉點數(shù),假設P是幾乎恰當點,s是不同于SA的另一個狀態(tài),SA=s0,s1,…,sk=s是SA與s之間的狀態(tài)鏈,則
(1) 如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|+1,當k為偶數(shù)時,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-2; 當k為奇數(shù)時,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.
(2) 如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|-1,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.
1預備知識
L是S3中的一個鏈環(huán),D是L的一個投影圖,P是投影圖D上的一交叉點,那么交叉點P有兩種打開方式,分別稱為A-打開和B-打開,如圖1.
當把D上的每個交叉點都按照這兩種方式中的某一種打開,我們得到了鏈環(huán)L的一個Kauffman狀態(tài)〔3-6〕, 當所有的交叉點都按照A-打開方式打開,稱得到的Kauffman 狀態(tài)是全A狀態(tài),記為SA, 同樣的方式定義SB, 稱為全B狀態(tài). 當?shù)玫綘顟B(tài)SA(SB)時,對于每個交叉點處,沿A(B)打開得到的兩個分支在新的圖中總是屬于不同的分支,則稱投影圖D是A(B)-恰當?shù)?
假設P是投影圖D中的一個交叉點,在P點沿A打開得到的兩段弧如果屬于同一分支,這里有兩種情況:
第一種情況下,把沿A-打開變?yōu)檠谺-打開,得到的兩段弧屬于新的狀態(tài)的不同分支,而第二種狀態(tài),當其他的交叉點都打開,只剩交叉點P的時候,這種情況是不能發(fā)生的.因此可以定義:
定義1.1假設D是一個鏈環(huán)的投影圖,如果D不是A-恰當?shù)?,但是當我們把某一點P處的打開方式由A-打開變?yōu)锽-打開時,得到的狀態(tài)是恰當?shù)?,則稱D是幾乎A-恰當?shù)?,稱P是幾乎恰當點.同理可以定義D是幾乎B-恰當?shù)?
定義1.2如果一個鏈環(huán)L沒有A-恰當?shù)耐队皥D,但是L有一個幾乎A-恰當?shù)耐队皥D,稱L是幾乎A-恰當鏈環(huán),同理有幾乎B-恰當鏈環(huán).
由定義1.2,我們知道
命題1.3K*是K的鏡面像,如果K是幾乎A-恰當?shù)?,那么K*是幾乎B-恰當?shù)?
定義1.4如果一個鏈環(huán)L既是幾乎A-恰當?shù)?,又是幾乎B-恰當?shù)?,則稱L是一個幾乎恰當鏈環(huán).
假設D是鏈環(huán)L的投影圖,c1,c2,…,cn是D的n個交叉點,D的一個Kauffman 狀態(tài)實際上就是一個函數(shù)s:{1,2,…,n}→{-1,1},如果某一交叉點i沿A打開,s(i)=1;如果某一交叉點沿B打開,s(i)=-1.令sD表示D的一個狀態(tài),用|sD|表示這一狀態(tài)的分支數(shù),那么sD的Kauffman多項式是〈sD〉=A∑s(i)(-A-2-A2)|sD|-1,假設S(D)表示投影圖D的所有狀態(tài),則D的Kauffman多項式是∑sD∈S(D)A∑s(i)(-A-2-A2)|sD|-1.
2主要結果
D是鏈環(huán)L的一個投影圖,s是不同于SA的另一個狀態(tài),那么在SA與s之間有一個狀態(tài)鏈SA=s0,s1,…sk=s,對于任意兩個相鄰的狀態(tài)sr-1,sr只在某一點處的打開方式不同.當我們選擇L是幾乎恰當鏈環(huán)時,有如下結果成立.
定理2.1 L是一個幾乎A-恰當?shù)逆湱h(huán),D是L的一個幾乎A-恰當?shù)耐队皥D,c(D)是L的交叉點數(shù),假設P是幾乎恰當點.s是不同于SA的另一個狀態(tài),SA=s0,s1,…,sk=s是SA與s之間的狀態(tài)鏈,則
(1) 如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|+1,當k為偶數(shù)時,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-2;當k為奇數(shù)時,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.
(2)如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|-1,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6
證明D的全A狀態(tài)的Kauffman多項式是Ac(D)(-A-2-A2)|SA|-1,〈SA〉中A的最高次冪項是(-1)|SA|-1Ac(D)+2|SA|-2.
當我們由SA得到s1時,把某一交叉點P處的打開方式由A-打開變?yōu)锽-打開時,有兩種可能:
(i)P是幾乎恰當點,則s1是恰當?shù)?,并且〈s1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|sD1|-1,因為P是幾乎恰當點,所以|s1|=|SA|+1,〈s1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|SA|,〈s1〉中A的最高次冪項是(-1)|SA|Ac(D)+2|SA|-2,與〈SA〉中A的最高次冪項相互抵消.
(ii) P不是幾乎恰當點,|s1|=|SA|-1,所以〈s1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|SA|-2,A的最高次冪項是(-1)|SA|-2Ac(D)+2|SA|-6,到此為止,〈s1〉中A的最高次冪項是(-1)|SA|-2Ac(D)+2|SA|-6.
當2≤r≤k,|sr|=|sr-1|+1,所以|sr|=|SA|+r,而∑s(i)=c(D)-2r,狀態(tài)sr的Kauffman多項式中,A的最高次冪是c(D)-2r+2(|SA|+r)-2=c(D)+2|SA|-2,并且系數(shù)是+1與-1相互交替,含有A的最高次冪的項數(shù)是k-1,所以,k為奇數(shù)時,含有最高次冪的項相互抵消,〈s〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.這樣我們證明了 (1)成立.
當2≤r≤k時,如果有|sr|=|sr-1|-1,所以|sr|=|s1|-r+1,當|s1|=|SA|+1,狀態(tài)的Kauffman多項式中,A的最高次冪是c(D)-2r+2(|SA|-r+2)-2=c(D)-2|SA|-4r+2,當r=2時最大,是c(D)+2|SA|-6;當|s1|=|SA|-1,|sr| =|s1|-r+1=|SA|-r, 所以〈s〉中A的最高次冪是c(D)-2r+2(|SA|-r)-2=c(D)-2|SA|-4r-2,當r=2時最大,是c(D)+2|SA|-10. (2)得證.
推論2.2L是一個幾乎A-恰當?shù)逆湱h(huán),D是L的一個幾乎A-恰當?shù)耐队皥D,c(D)是L的交叉點數(shù),假設P是幾乎恰當點.s是不同于SA的另一個狀態(tài),SA=s0,s1,…,sk=s是SA與s之間的狀態(tài)鏈,則
(1)如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|+1,當c(D)為偶數(shù)時,〈D〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-2,當c(D)為奇數(shù)時,〈D〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.
(2)如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|-1, 〈D〉中A的最高次冪是c(D)+2|SA|-6.
由命題1.3知, 如果L是一個幾乎B-恰當?shù)逆湱h(huán),那么L*是幾乎A-恰當?shù)逆湱h(huán), 故有如下結論:
推論2.3L是一個幾乎B-恰當?shù)逆湱h(huán),D是L的一個幾乎B-恰當?shù)耐队皥D,c(D)是L的交叉點數(shù),假設P是幾乎恰當點.s是不同于SB的另一個狀態(tài),SB=s0,s1,…,sk=s是SB與s之間的狀態(tài)鏈,則
(1) 如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|+1,當c(D)為偶數(shù)時,〈D〉中A的最低次冪是-c(D)-2|SB|+2;當c(D)為奇數(shù)時,〈D〉中A的最低次冪是-c(D)-2|SB|+6.
(2) 如對于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|-1 , 〈D〉中A的最低次冪是-c(D)-2|SB|+6.
參考文獻:
〔1〕Lickorish W B R, THISTLETHWAITE M B. Some links with non-trivial polynomials and their crossing-numbers〔J〕. Comment. Math. Helv., 1988, 63(4): 527-539.
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Almost adequate link
ZHAO Yan1, LI Li1,LU Zhe2
(1. College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China;2. Faku East Lake third junior middle school, shenyang 110402, China)
Abstract:In this paper, a new class of links is given, which is called almost adequate link, in the first part, the conclusion is drawn: if a link K is almost A-adequate, then, the mirror image of K is almost B-adequate; the second part, by using the state links, the main result is provided: the highest degree in the Kauffman polynomial of almost A-adequate links and the lowest degree in the Kauffman polynomial of almost B-adequate links .
Key words:diagram; state polynomial; Kauffman polynomial; the mirror image
收稿日期:2015-02-06.
基金項目:遼寧省教育廳項目(No:L2015012).
作者簡介:趙巖( 1979 -),女,講師,大連理工大學博士研究生,主要從事拓撲學和幾何方面的教學科研工作.
通訊作者:zhaoyan-jinzh@163.com.
中圖分類號:O189.11
文獻標志碼:A
文章編號:1673-0569(2016)01-0015-04