孫克爭　湯麗娟,2

(1.江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院　江蘇南通　226011； 2.中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣學(xué)院　江蘇徐州　221116)

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一種改進(jìn)的圖像表示算法

孫克爭1湯麗娟1,2

(1.江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院江蘇南通226011； 2.中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣學(xué)院江蘇徐州221116)

摘要：自從極諧波變換(Polar Harmonic Transforms，PHTs)提出后，因其內(nèi)核計算簡單，被廣泛用于圖像分析和模式識別，而PHTs在高階時表現(xiàn)出不穩(wěn)定性，極諧波復(fù)指數(shù)變換(PCET)在低階時就有可能表現(xiàn)出不穩(wěn)定性。為了設(shè)計出可以廣泛應(yīng)用于圖像表示的矩，提出一種使用新的徑向內(nèi)核函數(shù)的極諧波正—余弦變換(Polar Cosine-Sine Transform, PCST)來實現(xiàn)可靠的穩(wěn)定性。實驗結(jié)果表明，采用該算法進(jìn)行圖像表示時的穩(wěn)定性明顯優(yōu)于PHTs，尤其在高階矩時仍能夠保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性，同時具有旋轉(zhuǎn)不變性。

關(guān)鍵詞：極諧波變換； 旋轉(zhuǎn)不變性； 極諧波正—余弦變換

近年來，學(xué)者們提出了多種矩變換和旋轉(zhuǎn)不變矩。例如，Zernike矩[1]，偽Zernike矩[2]，正交Fourier-Mellin矩[3]，Jacobi-Fourier矩[4]等，這些都是基于Jacobi多項式徑向內(nèi)核的方法。由于徑向內(nèi)核的計算涉及復(fù)雜的階乘計算，時間長，因此限制了應(yīng)用范圍。2010年，Pew-Thian Yap等提出了一種改進(jìn)的二維極諧波變換(PHTs)[5]，這種變換成功地應(yīng)用于圖像水印[6]，模式識別[7]，指紋分類等。然而，PHTs的缺陷是在高階時表現(xiàn)出不穩(wěn)定性，極諧波復(fù)指數(shù)變換(PCET)在低階時就可能表現(xiàn)出不穩(wěn)定性，極大地限制了PHTs的廣泛應(yīng)用。

目前，學(xué)者們針對PHTs的缺點提出了很多改進(jìn)算法。Singh等[8]提出了基于數(shù)值積分的計算框架，同時降低了幾何誤差和數(shù)值積分誤差。Yang等[9]提出利用極坐標(biāo)分區(qū)，利用復(fù)指數(shù)和三角函數(shù)的內(nèi)在遞推關(guān)系以提高準(zhǔn)確度和數(shù)值穩(wěn)定性。Wo等[10]基于PCET，PCT和PST，設(shè)計出三種類型的旋轉(zhuǎn)不變性正交矩，這三類矩的特點就是每種矩依賴于一個參數(shù)的值，因此只適用于某些特定的場合，在現(xiàn)實中是很難應(yīng)用。

本文提出一種極諧波正—余弦變換(PCST)，利用正—余弦函數(shù)構(gòu)造新徑向內(nèi)核來實現(xiàn)穩(wěn)定性，在圖像表示方面，該算法較傳統(tǒng)方法更適合于高階矩的情況，同時具有旋轉(zhuǎn)不變性，圖像表示性能優(yōu)越。

1PHTs存在的問題

1.1PHTs定義

2010年，Pew-Thian Yap等[5]提出了一組基于二維變換的極諧波變換(PHTs)，包括極諧波復(fù)指數(shù)變換(PCET)，極諧波余弦變換(PCT)和極諧波正弦變換(PST)，復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)具有計算簡單的優(yōu)點，而且具有正交性，因此用來構(gòu)建矩。

PHTs的內(nèi)核是基于極坐標(biāo)空間在單位圓內(nèi)定義的正交復(fù)函數(shù)[11]，而圖像是在離散域定義，因此，轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系為：

(1)

其中，

給定一副M*N的圖像f(m,n),當(dāng)m=0,1,2,…,M-1 ，n=0,1,2,…,N-1, 把圖像映射到(xm,yn)∈[-1,1]×[-1,1]，

其中

(2)

可推出：

設(shè)T是常數(shù)， 階數(shù)n和重復(fù)度l的限定條件如下:

1.2高階PCET數(shù)值不穩(wěn)定

PHTs的內(nèi)核是一組定義在單位圓內(nèi)的極坐標(biāo)空間的正交多項式[12]，如圖1所示。

徑向內(nèi)核的數(shù)量和徑向內(nèi)核的零分布是評價徑向內(nèi)核的兩個重要指標(biāo)，徑向內(nèi)核Rn(r)為零的數(shù)目對應(yīng)于矩所表示的圖像的高頻分量，徑向內(nèi)核的零分布關(guān)系圖像的可壓縮程度[12]。

(a)(b)

圖1(a)圖像平面 (b)圖像平面從方形到圓形的映射

把N×N圖像映射到單位圓，半徑r為N/2。給定一個128×128圖像映射到單位圓，半徑分成64份，該128×128圖像的PCET的徑向內(nèi)核示于圖2。

(a)

(b)

從圖2可見，PCET的徑向內(nèi)核沒有完全覆蓋0.6

2極諧波正—余弦變換

綜觀現(xiàn)有的文獻(xiàn)，幾乎沒有是通過重構(gòu)徑向核函數(shù)來提高穩(wěn)定性的。本文提出一種使用正—余弦函數(shù)作為徑向內(nèi)核的極諧波正—余弦變換(PCST)，所提出的徑向內(nèi)核的零數(shù)量和分布都優(yōu)于傳統(tǒng)的PHTs，在用高階矩表示圖像能力方面PCST明顯優(yōu)于PHTs。

2.1PCST的定義

階數(shù)n重復(fù)度l的極諧波正—余弦變換定義為:

(3)

內(nèi)核函數(shù)Hnl(r,θ)可以分為徑向和環(huán)向部分：

(4)

其中包含正—余弦函數(shù)的徑向部分為：

(5)

滿足正交條件:

得：

πδnn′δll′

(6)

因子1/π是規(guī)范化因子，對內(nèi)核函數(shù)微調(diào)如下:

(7)

得

(8)

圖像f(r,θ)用PCST以α角度逆時針旋轉(zhuǎn)的相關(guān)系數(shù)為fα(r,θ)=f(r,θ-α):

Mnle-ilα

(9)

(10)

其中nmax, nmin, lmax和lmin分別代表PCST的階數(shù)和重復(fù)度的最大值和最小值。

2.2分析PCST

(a)

(b)

3實驗

3.1實驗設(shè)置

在本節(jié)中，通過一些實驗來驗證PCST的性能。首先，討論參數(shù)a和b對圖像重建的影響。其次，通過實驗比較PHTs與PCST在圖像表示方面的性能；最后，驗證PCST的旋轉(zhuǎn)不變性。為了驗證提出的PCST方法能適應(yīng)不同的場合，設(shè)置了不同的階數(shù)n和重復(fù)度l。

3.2a和b兩個參數(shù)對PCST的影響

參考文獻(xiàn)在[5]中，原始圖像f(r,θ)和重建圖像(r,θ)之間的差別使用均方根誤差(RMSE)來衡量：

(11)

選3幅大小為128×128的圖像用來測試，a和b的平均RMSE值見圖3，當(dāng)參數(shù)a，b取不同的值時，即使矩的數(shù)目增大到近8 000，PCSTs仍然具有數(shù)值穩(wěn)定性，相比PCET，PCT和 PST效果更優(yōu)。

參數(shù)a和b對PCSTs的RMSE值的影響是很小的，通過實驗來驗證，選擇4組值a2=1.8，b2=0.2， a2=1.5， b2=0.5， a2=0.5， b2=1.5， a2=0.2， b2=1.8，并分別繪出曲線，可得出RMSE隨著矩的增加而減小。根據(jù)參數(shù)a的值的變化，分為兩組：第一組是a2∈(0，1)，第二組是a2∈(1，2)，圖像的矩的數(shù)量限制在7 000以內(nèi)。從圖4的實驗結(jié)果可以看出，第一組使用矩的數(shù)量超過7 000后的效果反而比第二組的效果好，兩條曲線在7 000的時候交匯并達(dá)到較小的值。事實上，第一組是局部傳統(tǒng)的PST，第二組是加強的PCT。因此，參數(shù)a和b的值的變化，不會對PCST有較大的影響，這種特性使得PCST對特定的場景具有更好的適應(yīng)性。

圖4　參數(shù)a和b的不同值確定的PCST的RMSE曲線

基于圖4的結(jié)果分析，選擇a2=1.5， b2=0.5來進(jìn)行下面的實驗。

3.3圖像重建

為了驗證所提出的PCST的性能，將提出的PCST與傳統(tǒng)的方法進(jìn)行實驗比較。

CSIQ數(shù)據(jù)庫[13]的圖像廣泛用于圖像處理，本實驗從CSIQ數(shù)據(jù)庫抽取30副圖像用來測試，如圖5所示，每副圖像大小256×256，它涵蓋了不同的主題，如城市風(fēng)景、動物、風(fēng)景湖泊、山、植物等，測試之前將30副圖像調(diào)整成128×128像素。

圖5　用于圖像重構(gòu)的30副圖像

其中一幅圖像的重建實例示于圖6，圖像b組和c組的矩的數(shù)量分別是61，481，2 521，3 121，3 961，6 613，7 321，7 565；圖像d組和e組的矩的數(shù)量分別是64，484，2 601，3 136，4 096，6 724，7 396，7 569。PCET和PCST使用相同數(shù)量的矩；PCT和PST使用相同數(shù)量的矩。因無法對四種算法使用相同數(shù)目的矩進(jìn)行測試，但使用矩的數(shù)量非常接近，分別為7 565和7 569，數(shù)量只差4個，理論上也是可行的，在圖像重構(gòu)過程中，隨著矩的數(shù)量增加，重建的圖像越來越接近于原始圖像。從圖4可得出，PHTs算法當(dāng)矩的數(shù)量快速增加時，它的數(shù)值穩(wěn)定性突然變差，而本文提出的PCST算法性能較好。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(a)原始圖像(b)極正弦余弦變換(c)極復(fù)指數(shù)變換(d)極余弦轉(zhuǎn)換(e)極正弦轉(zhuǎn)換

圖7顯示了這30副圖像的平均RMSE的曲線，從中得出PCST算法比PHTs算法的數(shù)值穩(wěn)定性要好，特別是優(yōu)于PCET算法，而且當(dāng)矩的數(shù)量超過2 600以后，PCET算法的RMSE值快速增加，PCT和PST這兩種算法也有類似的問題，當(dāng)矩的數(shù)量分別達(dá)到3 100和4 200時，它們的RMSE值也快速增加，然而，本文提出的PCST算法依然保持下降的趨勢。因此，本文的算法用于圖像表示時，在高階矩情況下依然能夠保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性。

圖7　PCSTs和PHTs的平均RMSE值

3.4旋轉(zhuǎn)不變性

為了驗證PCST的旋轉(zhuǎn)不變性，將圖像大小調(diào)整為128×128，并按照8個角度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，PCST算法中nmin的值設(shè)為0，nmax的值設(shè)為3。PCST算法的旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果示于圖8，從圖8可以看出，無論怎樣旋轉(zhuǎn)圖像，其矩的模值是保持不變的，PCST具有旋轉(zhuǎn)不變性。

(a)

(b)

圖8(a)表示平面圖像的原始圖(b)從左到右(從上到下)旋轉(zhuǎn)的角度分別為：30°， 60°， 120°， 155°，200°， 255°，300°and 345°

4結(jié)論

本文提出了一種極諧波正—余弦變換(PCST)算法，通過實驗驗證，與PHTs算法相比，它能夠在高階矩時仍能保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性，而且具有旋轉(zhuǎn)不變性。因此，PCST算法可廣泛地應(yīng)用于圖像檢索、人臉識別等領(lǐng)域。

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收稿日期：2016-03-14

基金項目：南通市科技計劃項目(BK2014022)

作者簡介：孫克爭(1983-)，男，講師，主要研究方向：軟件設(shè)計、圖像處理和信息安全

中圖分類號：TP 391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-2434(2016)03-0018-05

An Improved Image Representation Algorithm

SUN Kezheng1TANG Lijuan1,2

(1. Jiangsu Vocational College of Business, Nantong 226011, China；2. School of Information and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

Abstract：Since the introduction of polar harmonic transforms, it has been widely used in image analysis and pattern recognition because it is simple in calculation. However, PHTs shows instability in higher-order transformation and harmonic complex exponential transform (PCET) may exhibit instability in the low order transformation. In order to design the moment which can be widely used in image representation, a new Cosine-Sine Transform Polar (PCST) is proposed, which uses a new radial kernel function to achieve reliable stability. The experimental results show that the stability of image representation is better than that of PHTs, especially in the higher order moment. And it has the rotation invariance, and keeps the stability of the image.

Key words：PHTs; rotation invariants; PCST