趙利俠

摘 要： 幾何是初中教學(xué)的一門重要學(xué)科，然而學(xué)生在幾何證題的證明與計(jì)算時(shí)總是受到阻礙，此時(shí)若是解題思路順暢就需要科學(xué)合理地添加必要的輔助線.輔助線在幾何題的解答中起到了至關(guān)重要的作用，其主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：第一，它作為解決問題的橋梁可以將已知與未知巧妙地聯(lián)系在一起；第二，為了利用圖形性質(zhì)解題它將分散的條件集中化從而構(gòu)成簡單基本的圖形；第三，它可以為幾何體的解證創(chuàng)造條件使其隱藏著的條件明朗化從而促進(jìn)解題順利進(jìn)行.

關(guān)鍵詞： 初中幾何教學(xué) 輔助線 幾何題 重要性

如何作輔助線，在初中數(shù)學(xué)課程講解中，是解證幾何題中的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn).而在解證幾何題時(shí)所作輔助線的優(yōu)劣則影響了證明過程的難易程度.輔助線在平面幾何圖形中的添加，不僅要求學(xué)生熟練掌握各個(gè)圖形的特征及性質(zhì)，還要求學(xué)生有一定的思維創(chuàng)造性.因此科學(xué)正確地在幾何證題中作出輔助線有一定的難度.

一、作輔助線的思路

在幾何教學(xué)中，輔助線的添設(shè)對幾何題的解答起著至關(guān)重要的作用，而如何巧設(shè)輔助線是解題中必不可少的一個(gè)條件.由于綜合法和分析法是證明幾何題時(shí)用到的兩種基本方法.因此，在作輔助線時(shí)便有了兩條思路可供選擇，第一條是從綜合法的方面考慮作輔助線.在使用綜合法證題時(shí)，由于通過已知條件推證結(jié)論而思路受到阻斷，此時(shí)便可以根據(jù)圖形的特征巧妙地添加輔助線，從而利用圖形特有的性質(zhì)為后續(xù)推證提供便利.第二條是從分析法的方面考慮來作輔助線.而使用分析法的證題，則是從結(jié)論逆推條件，當(dāng)形成結(jié)論的條件在推理中受到阻礙時(shí)可添設(shè)恰當(dāng)?shù)妮o助線，從而使這一過程繼續(xù)進(jìn)行下去.無論是從命題給出的已知條件還是結(jié)論作分析時(shí)都應(yīng)該結(jié)合圖形的特點(diǎn)完成，不同的圖形特點(diǎn)所要添設(shè)的輔助線位置也是不一樣的，而正確位置的輔助線有利于我們快速簡便地完成解題.

二、例題分析輔助線的重要性

（一）構(gòu)建橋梁

例1：如圖1所示，∠EOA=∠EOB=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若CE=1，則EF=？

在解答這一試題時(shí)我們先要對題目進(jìn)行分析：從已知的條件可以得出∠AOB=30°，那么此題的考點(diǎn)將與30度角的直角三角形的性質(zhì)有關(guān)，∠EOA=∠EOB=15°那么就涉及了角平分線相關(guān)的問題，EF∥OB則涉及了平行的性質(zhì).要想求出EF=？，根據(jù)已知的條件不足以求解，那么此時(shí)就需要考慮巧設(shè)輔助線解答了.

解：過點(diǎn)E作EG⊥OA交于AF，

因?yàn)镋F∥OB，所以∠OEF=∠COE=15°，

又因?yàn)椤螮OA=15°，所以∠EFG=15°+15°=30°.

因?yàn)镺E平分∠AOB，EC⊥OB，所以EG=EC=1，

所以EF=2EG=2×1=2

答：EF的長為2.

（二）簡化圖形

例2：如圖2所示，已知在四邊形ABCD中，AB=CD，點(diǎn)F和E分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)，延長BA、CD，分別交EF的延長線于P、Q，求證：∠APF=∠DQF

此題為求證性試題，已知結(jié)論的存在，對結(jié)論通過給出的條件做證明.而本題中與證明結(jié)論存在有關(guān)的條件較分散.因此需考慮到作輔助線的方法使已知條件做集中化處理，以此方便證題.

證明：如上圖所示，過點(diǎn)F分別作FG∥AB，F(xiàn)H∥DC，過點(diǎn)B作BG∥AD交FG于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH∥AD交FH于點(diǎn)H，連接GE與HE.

已知：FG∥AB，BG∥AD，得出四邊形FGBA為平行四邊形，

所以：FG=AB，F(xiàn)A=GB.

又因：FH∥DC，CH∥AD，得出四邊形CDFH也為平行四邊形，

所以：DF=CH，DC=FH.

因?yàn)椋狐c(diǎn)F和E分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)且AB=CD

所以：FA=FD，EB=EC，F(xiàn)G=FH，則：GB=HC.

因?yàn)椋築G∥AD，CH∥AD，則：BG∥CH.

所以：∠GBE=∠HCE，得出△BGE≌△CHE.

所以：GE=HE，則：△FGE≌△FHE（SSS）.

所以：∠EFG=∠EFH.

因?yàn)椋篎G∥AB，得出：∠GFE=∠APF

又因：FH∥DC，得出：∠Q=∠EFH

所以：∠APF=∠DQF.

（三）明朗化隱含條件

例3：如圖3所示，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，求證：MN⊥DE.

在分析這一證明題時(shí)我們可以得出其中隱含了中線在直角三角形斜邊上的性質(zhì)，為了將隱含的條件轉(zhuǎn)化為直接條件，那么此時(shí)就必須考慮使用添設(shè)輔助線進(jìn)行解證.

證明：連接NE與ND

已知：點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，BD、CE分別是AC、AB邊上的高

所以：NE是Rt△BCE斜邊上的中線

ND是Rt△BCD斜邊上的中線

所以：根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出NE=1/2BC，ND=1/2BC

所以：根據(jù)等量代換得出NE=ND

又因：點(diǎn)M是ED的中點(diǎn)

所以：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出MN⊥DE

三、結(jié)語

在幾何證題中輔助線的添加沒有法則能夠遵循，其添設(shè)方法因題而定.學(xué)生要通過作好輔助線提高解證幾何題的能力就必須在平時(shí)練習(xí)中仔細(xì)分析，反復(fù)探究，不斷地積累解題經(jīng)驗(yàn)并做好總結(jié).

參考文獻(xiàn)：

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