王行甫 陳靜 王琳

摘要：針對基本果蠅優(yōu)化算法（FOA）容易陷入局部最優(yōu)值、后期收斂速度變慢和收斂精度較低的缺點，提出了一種基于適應性動態(tài)步長的變異果蠅優(yōu)化算法（MFOAADS）。首先，利用佳點集法選取種群初始位置，降低算法初始點選取的隨機性和陷入局部最優(yōu)值的概率；然后，采用適應性動態(tài)步長優(yōu)化策略，提高收斂速度和求解精度；最后，若算法陷入了早熟，則對種群最優(yōu)個體按一定概率執(zhí)行柯西變異擾動，賦予其跳出局部最優(yōu)的能力。經(jīng)5個經(jīng)典函數(shù)測試表明，固定迭代次數(shù)時MFOAADS的收斂精度與收斂速度明顯優(yōu)于FOA；固定目標精度時，MFOAADS相對于FOA平均迭代次數(shù)有著大幅下降且成功率達97%以上。實驗結果表明，所提算法求解精度、運行效率以及可靠性相對于基本FOA算法都有著顯著提高。

關鍵詞：

果蠅優(yōu)化算法；早熟收斂；佳點集；適應性動態(tài)步長；柯西變異

中圖分類號： TP181 文獻標志碼：A

0引言

群智能優(yōu)化算法常用于求解過于復雜的優(yōu)化問題，已廣泛應用于工程和科學領域。果蠅優(yōu)化算法（Fruit Fly Optimization Algorithm， FOA）是2011年由潘文超[1]提出的一種尋求全局最優(yōu)解的群智能算法。該算法主要模擬果蠅通過嗅覺和視覺能力發(fā)現(xiàn)食物的過程來實現(xiàn)尋優(yōu)，與遺傳算法、蟻群算法、粒子群算法等典型群智能算法相比，該算法簡單易懂、所需調(diào)參數(shù)量少、尋優(yōu)效率較高，因此較容易應用到實際問題的解決當中[2]。目前FOA已成功將其應用于求解數(shù)學函數(shù)極值[3]、微調(diào)ZSCORE模型系數(shù)優(yōu)化[3]、廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)優(yōu)化[4]與支持向量機參數(shù)優(yōu)化[5]等，具有潛在的研究價值。

但與其他群智能算法一樣，F(xiàn)OA也存在著陷入早熟的風險。在近幾年的研究中，許多關于FOA的改進和應用逐步涌現(xiàn)。文獻[6]中將混合蛙跳算法的局部深度搜索策略融入到果蠅優(yōu)化算法中來平衡種群的探索和開發(fā)能力。文獻[7]通過向算法中引入一個新的控制參數(shù)自適應調(diào)整搜索范圍內(nèi)的群位置來解決連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題。文獻[8]則提出一種基于云模型的自適應調(diào)整參數(shù)的果蠅優(yōu)化算法。這些算法都是從一個側面進行了改進，在一定程度上優(yōu)化了算法性能，但都未能完全解決算法陷入早熟的問題。為此，本文提出一種基于適應性動態(tài)步長的變異果蠅優(yōu)化算法（Mutation Fruit Fly Optimization Algorithm based on Adaptive Dynamic Step Size， MFOAADS），其中采用弱化種群位置初始化的隨機性、自適應動態(tài)變化步長、陷入早熟防控機制3個措施對算法進行了更加全面的改進。實驗表明該算法能在一定程度上有效擺脫局部極值的干擾，且所達到的收斂速度和求解精度都顯著優(yōu)于基本FOA。

1基本FOA

果蠅是一種嗅覺和視覺都優(yōu)于大多數(shù)動物的一種生物，它利用靈敏的嗅覺器官搜集空氣中的各種氣味并向食物飛近，再利用視覺能力發(fā)現(xiàn)食物或同伴聚集的位置，并向該方向飛去。FOA就是基于果蠅的這種自然行為設計而成的一種新型全局尋優(yōu)方法。

FOA基本步驟歸納如下。

1）初始化參數(shù)。參數(shù)包括種群規(guī)模N、種群迭代次數(shù)Maxgen以及果蠅群體初始位置X_axis、Y_axis。

2）根據(jù)果蠅群體位置，初始化群體中每個果蠅個體的位置坐標，使該個體利用嗅覺尋找食物，h為果蠅的搜索步長，rand取0到1之間的隨機值：

Xi=X_axis+2h*rand-h

Yi=Y_axis+2h*rand-h （1）

3）由于無法得知食物位置，因此先計算果蠅個體與原點的距離Disti，在計算味道濃度判定值Si，此值為距離的倒數(shù)。

Disti=X2i+Y2i

Si=1/Disti （2）

4）將味道濃度判定值代入味道濃度判定函數(shù)Function（或稱為適應度函數(shù)），用來求出果蠅個體位置的味道濃度Smelli：

Smelli=Function（Si）（3）

找出該果蠅群體中味道濃度最高的果蠅個體：

[bestSmellbestIndex]=max（Smell）（4）

其中：bestSmell為最高的味道濃度；bestIndex為果蠅物體中具有最高味道濃度的果蠅個體序號；Smell為果蠅群體的味道濃度集合。

5）判斷味道濃度是否優(yōu)于前一代的最優(yōu)濃度：若是，則保留最佳味道濃度值與最佳果蠅個體的位置坐標，使果蠅群體利用視覺向該位置飛去；否則，重復執(zhí)行第2）步至第6）步。

smellBest=bestSmell

Xbest=X（bestIndex）

Ybest=Y（bestIndex） （5）

6）判斷當前迭代次數(shù)是否達到最大迭代數(shù)Maxgen：若是則輸出果蠅最優(yōu)個體位置；否則，執(zhí)行第2）步。

FOA有著結構簡單、控制參數(shù)少、易調(diào)節(jié)、計算量較小、全局尋優(yōu)能力強、收斂速度快的優(yōu)點；但由于種群初始位置由隨機方式?jīng)Q定，算法搜索步長固定且沒有充分利用目標函數(shù)所提供的信息，使得迭代后期收斂速度變慢，容易陷入局部最優(yōu)值，在復雜高維多極值優(yōu)化問題更是如此。

2適應性動態(tài)步長的變異FOA

針對基本FOA的缺點，MFOAADS分別從3個方面進行改進：通過佳點集法選取種群初始位置，降低初始位置選取的隨機性；通過種群適應值信息動態(tài)調(diào)整算法的步長大小來平衡全局搜索能力和局部搜索能力，進而提高算法的執(zhí)行效果和效率；在算法中加入早熟判斷和柯西變異機制，進一步避免算法陷入局部最優(yōu)值。

2.1佳點集法選取種群初始位置

在基本FOA中大多數(shù)都是隨機選擇果蠅群體初始點來初始化果蠅群體，這可能導致群體初始點距離最優(yōu)位置較遠或容易陷入局部最優(yōu)點，從而影響算法的全局尋優(yōu)效率和搜索精度。佳點集方法最初由華羅庚等[9]提出的一種有效的、可以減少實驗次數(shù)的實驗方法。佳點集的定義與構造[10]：設Gs是S維歐氏空間中的單位立方體，如果r∈Gs，形為pn（m）={（{r1（n）*m}，…，{r（n）i*m}，…，{r（n）s*m}）|1≤m≤n}，其偏差φ（n）滿足φ（n）=C（r，ε）n-1+ε，其中C（r，ε）是只與r，ε（ε>0）有關的常數(shù)，則稱pn（m）為佳點集，r稱為佳點。取rm={2 cos （2πk/p，1≤m≤s}（p是滿足（p-s）/2≤s的最小素數(shù)），或rm={exp（m）}，1≤m≤s，{a}表示a的小數(shù)部分。

佳點集產(chǎn)生的點無重疊點且分布均勻具有較好的多樣性，如圖1所示。圖1中展示的是橫縱坐標區(qū)間均為[0，1]的二維空間中佳點集法所產(chǎn)生的點。在相同取點個數(shù)的條件下，佳點序列要比其他方法選取的點序列更均勻[11]。 因此，本文采用佳點集方法在事先規(guī)定的區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生點，并從中選擇味道濃度最高的點作為果蠅群體初始點，然后初始化種群。

2.2適應性動態(tài)步長調(diào)整策略

基本FOA中果蠅個體以群體位置為中心，以固定步長進行隨機搜索，當步長過大時全局尋優(yōu)能力較強但是容易跳過最優(yōu)值，穩(wěn)定性較差，當步長過小時局部尋優(yōu)能力較強但是容易陷入局部最優(yōu)解，收斂速度較慢且求解精度較低，因此步長的選擇直接影響算法的執(zhí)行效率和效果。FOA具有很大的隨機性，并且搜索過程因問題而異，所以不論固定步長還是事先規(guī)定好的步長變化都不能很好地適應搜索空間中的不確定性。在基本FOA中，種群迭代進化中只是單純利用了適應度函數(shù)對應的適應度值，沒有充分利用其中包含的種群信息，使得最優(yōu)值搜索方向的啟發(fā)性不強。因此，本文提出一種適應性動態(tài)步長調(diào)整策略，基于種群反饋的適應值變化信息來調(diào)整算法中步長h的大小。

第t代種群的適應度平均值Mt計算公式如下：

Mt=（∑Ni=1fi（t））/N（6）

其中：N為種群規(guī)模； fi（t）表示第i個果蠅在第t代時的適應度值。假設此時是最小化情況，種群反饋的適應值變化信息由下面的定義表示。

定義1種群平均適應值的相對變化率為：

k=（Mt-1-Mt）/Mt-1（7）

其中t≤2。

當變化率k較大時，表明搜索空間相對步長較為平滑和單調(diào)，表明了當前步長對搜索空間的開發(fā)率較高，所以此時適當?shù)卦黾硬介L可以提高種群的探索性能，有效減少算法的執(zhí)行次數(shù)，提高算法的搜索效率。當k較小時，表明搜索空間相對步長較為復雜，找到更好的解的概率降低，所以此時適當?shù)販p小步長可增加種群對搜索空間的開發(fā)性，提高算法的搜索精度，因此，本文提出的步長調(diào)整公式如下：

ht+1=min [ht（1+α ln（1+k）），hmax]，k>1

ht，1≤k≤0.01

max [ht/（1+βe-k），hmin]，k<0.01（8）

其中：ht為種群第t代搜索步長；α和β均為步長變化幅度調(diào)節(jié)參數(shù)。由于在不同的迭代進程中k的值變化較大，本文在增加步長時使用自然對數(shù)，在減小步長時使用e作為指數(shù)。它們在工程中較常使用，可以明顯降低其變化幅度，改善ht+1的平滑性。同時保證步長值在最大步長和最小步長之間。從式（8）可看出，當k較大時，k越大算法搜索步長越大，趨向極值點的速度加快，全局搜索能力增強；當k較小時，k越小越接近極值點，對應步長減小幅度越大，局部搜索能力也越強。

2.3早熟判斷和柯西變異策略

本文通過使用佳點集方法篩選得到較好的果蠅群體初始點，且對算法中的搜索步長進行適應性動態(tài)調(diào)整優(yōu)化，雖然能提高算法的執(zhí)行效率和降低算法發(fā)生早熟收斂的可能性，卻無法保證避免出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，算法仍然有可能陷入局部最優(yōu)值。

本文采用種群適應度方差σ2[12]對算法是否陷入早熟進行判斷，種群適應度方差反映了種群的收斂程度，當σ2越小，說明種群的聚集程度越高，種群多樣性越低，尋優(yōu)進程發(fā)生停滯。在本文中，當σ2≤δ（δ為適應度方差閾值），判斷此時算法趨于收斂；同時為排除全局收斂的情況設置當前全局最優(yōu)適應值大于理論最優(yōu)適應度或目標精度γ，則判定算法陷入了早熟。種群適應度方差σ2計算公式如下：

σ2=∑Ni=1（fi-Mf）2（9）

其中： fi表示當前第i個果蠅的適應度值；M為當前種群的平均適應度值； f為用于限制σ2大小的歸一化定標因子。 f的取值需符合兩個條件：1）歸一化后，要保證種群中所有個體的|fi-M|的最大值小于等于1；2）f的值隨算法變化而變化。 f的具體取值公式如下：

f=max（fi-M），max（fi-M）>1

1，其他（10）

當算法滿足陷入早熟的條件時，算法陷入僵局，種群的果蠅個體無法找到更優(yōu)解，此時本文給算法添加一種擾動機制，賦予果蠅種群飛出局部最優(yōu)值的能力。本文中以一定概P執(zhí)行柯西變異對種群中最優(yōu)個體進行V次擾動，增加種群的多樣性，然后對變異后的果蠅群體進行二次尋優(yōu)，避免算法陷入局部最優(yōu)。柯西變異操作如下：

其中：Xbest，、Ybest為當前最優(yōu)果蠅個體位置， ρ為擾動幅度調(diào)節(jié)參數(shù)，Cauchy（0，1）為標準柯西分布的隨機數(shù)生成器。Cauchy（0，1）的隨機變量生成函數(shù)為ω=tan[π（η-0.5）]（其中η是[0，1]上服從均勻分布的隨機變量）。

2.4MFOAADS流程

基于以上基本原理和改進方法，本文提出的適應性步長的變異果蠅優(yōu)化算法的基本流程如下。

1）初始化種群規(guī)模N，種群迭代次數(shù)Maxgen，適應度方差閾值δ，變異概率P，采用佳點集方法產(chǎn)生果蠅群體初始位置X_axis、Y_axis。

2）執(zhí)行基本FOA的第2）步到第6）步。

3）根據(jù)式（6）～（8）計算出種群平均適應值的相對變化率，從而確定算法步長h的值。

4）由式（9）、（10）計算果蠅群體適應度方差σ2，如果σ2≤δ且當前種群適應度最優(yōu)值smellBest大于理論最優(yōu)適應度或目標精度γ，則判斷算法陷入局部最優(yōu)，重新初始化步長，然后轉(zhuǎn)第5）步；否則，轉(zhuǎn)第6）步。

5）若在[0，1]上服從均勻分布的隨機數(shù)C小于P，使用式（11）對果蠅種群進行柯西變異操作，然后執(zhí)行基本FOA的第3）步到第6）步。

6）若當前迭代次數(shù)等于最大迭代數(shù)Maxgen或當前種群適應度最優(yōu)值達到理論最優(yōu)適應度或目標精度要求，則輸出全局最優(yōu)適應值和最優(yōu)果蠅位置；否則，轉(zhuǎn)向第2）步，進入下一代尋優(yōu)。

在MFOAADS流程中將能反映種群狀況的適應值信息用于下一次迭代過程的搜索步長的確定，提高算法尋優(yōu)效果和效率。同時為監(jiān)督算法是否陷入局部最優(yōu)值，在算法流程加入了早熟判斷機制，且一旦發(fā)現(xiàn)早熟情況，就采用柯西變異策略使算法跳出局部最優(yōu)，重新進入全局最優(yōu)值的搜索過程，從而大大減少算法陷入早熟的幾率。

3實驗與結果分析

3.1實驗設計

實驗時采用Matlab進行算法實現(xiàn)，使用聯(lián)想筆記本電腦，雙核2.4GHz，4GB內(nèi)存，Windows 8操作系統(tǒng)。為了驗證本文提出的MFOAADS的性能，本文設計了FOA優(yōu)化實驗和MFOAADS優(yōu)化實驗這兩類測試實驗。為測試算法的尋優(yōu)性能，選取5個經(jīng)典函數(shù)進行算法測試（本實驗為求解最小值的情況）。這些函數(shù)具有函數(shù)優(yōu)化時所碰到的普遍特性：多峰性、多維性和凹凸性等，所以它們也常常用來測試智能算法的尋優(yōu)性能。函數(shù)形式、維數(shù)、搜索區(qū)間、理論極值和函數(shù)峰值特征如表1所示。

待優(yōu)化函數(shù)的維數(shù)越高，自變量范圍越大，目標精度越高，優(yōu)化過程的難度就越大[13]。為了便于比較和突出MFOAADS的性能，本文選用較為嚴苛的實驗參數(shù)，具體參數(shù)設置為：群體規(guī)模N=30，最大迭代數(shù)Maxgen=2000，初始步長h=1， f1、 f2、 f3適應度方差閾值δ=0， f4、 f5適應度方差閾值為δ=1E-8，種群搜索區(qū)間如表1所示，步長調(diào)節(jié)參數(shù)α=1、 β=0.1，擾動幅度調(diào)節(jié)參數(shù)為ρ=0.5，變異概率為P=0.3。

同時在本次實驗中，將實驗結果與參考文獻[14-16]中的算法進行對比。文獻[14]中混合布谷鳥算法的差分進化算法（hybrid optimization algorithm of Cuckoo Search and Differential Evolution， CSDE）是在向差分進化算法中引入布谷鳥搜索算法來增加粒子的搜索活力，有效地克服了差分進化算法的缺陷，使尋優(yōu)精度有較大提高。參考文獻[15]中一種新的自適應粒子群優(yōu)化（new Adaptive Particle Swarm Optimization， APSO）算法中的全局最優(yōu)位置與個體最優(yōu)位置分別替換為相關個體最優(yōu)位置的加權平均，更好地平均了算法的全局與局部搜索能力，極大地提高了算法的多樣性和搜索效率。參考文獻[16]中全局版人工魚群算法（Global edition Artificial Fish Swarm Algorithm， GAFSA）用整個魚群的中心位置和全局極值位置代替人工魚的鄰域中心位置和鄰域極值位置；同時采用動態(tài)調(diào)整視野和步長的方法，提高搜索精度和速度。這些算法表現(xiàn)出的較高的尋優(yōu)性能，通過與它們進行對比，從而在一定程度上證明本文所提出的算法相對于其他智能優(yōu)化算法的優(yōu)越性。

3.2實驗結果分析與比較

將5個測試函數(shù)進化次數(shù)固定為2000次，分別采用FOA和MFOAADS進行50次獨立運行實驗，并將實驗結果與CSDE算法和APSO算法相比較，如表2所示（注：表2中的“—”表示參考文獻中沒有介紹）。從表2中可看出，MFOAADS在所有函數(shù)測試中的性能表現(xiàn)均優(yōu)于基本FOA，其中f1、 f2的平均最優(yōu)值都達到了全局最優(yōu)解0，對于f3、 f4、 f5的平均最優(yōu)值相對于基本FOA分別降低了9、2和8個數(shù)量級，且所有測試函數(shù)的標準差均優(yōu)于基本FOA，說明MFOAADS顯著地提高函數(shù)優(yōu)化過程中的尋優(yōu)效果和穩(wěn)定性。MFOAADS在5個測試函數(shù)中的平均最優(yōu)值和標準差都優(yōu)于CSDE算法。同時除去擁有連續(xù)高峰的函數(shù)Ackley（f5）性能表現(xiàn)相對于APSO算法較差，MFOAADS其他測試函數(shù)的平均最優(yōu)值和標準差均優(yōu)于APSO算法。由此可見，與文獻[10-11]中的算法相比，MFOAADS雖然在Ackley函數(shù)上的尋優(yōu)性能稍差；但在其他函數(shù)上它的尋優(yōu)效果和穩(wěn)定性還是具有很大優(yōu)勢的。

圖2是本文兩類算法的3個函數(shù)適應度對數(shù)值進化曲線，其實線MFOAADS，虛線表示基本FOA（注：由于篇幅問題僅給出3個函數(shù)圖像，為了方便觀察進化曲線，本文對函數(shù)適應度取以10為底的對數(shù)，其中由于Schaffers極值為-1，將其加1再取其以10為底的對數(shù)來觀察）。由圖2可看出，在f2中MFOAADS的最優(yōu)值收斂曲線幾乎成直線下降，成功收斂到全局最優(yōu)值， f1也取得了類似的效果。在其他幾個函數(shù)的最優(yōu)值尋找過程中的后期，MFOAADS也比FOA更容易跳出局部最優(yōu)值。

對于5個測試函數(shù)，分別采用FOA和MFOAADS經(jīng)過50次獨立運行后，記錄達到各函數(shù)目標精度的平均迭代次數(shù)和成功率 （成功率=達到精度的運行次數(shù)/實驗總次數(shù)），且與APSO算法和GAFSA算法比較，如表3所示（注：表3中的“—”表示參考文獻中沒有介紹）。MFOAADS在所有測試函數(shù)中的達到目標精度的平均迭代次數(shù)均小于基本FOA、APSO算法以及GAFSA，且相應成功率均達到了97%以上。可見雖然MFOAADS在Schaffers函數(shù)上的成功率比GAFSA稍差，它的尋優(yōu)效率和成功率的總體表現(xiàn)比其他算法更加突出。

4結語

針對果蠅優(yōu)化算法中的缺點，本文提出了一種適應性動態(tài)步長的變異果蠅優(yōu)化算法，分別從種群初始化、算法搜索步長、擺脫局部最優(yōu)機制3個方面作出改進。通過對5個經(jīng)典測試函數(shù)進行實驗對比，可看出本文所提出的算法在收斂速度、收斂進度以及收斂可靠性上比基本FOA有較大提高，其中部分函數(shù)成功擺脫局部最優(yōu)值的干擾，找到對應的全局最優(yōu)值；但同時本文提出的算法仍無法完全解決陷入早熟的問題，對如何更有效地平衡算法的全局搜索能力和局部搜索能力還有待于進一步的解決。

參考文獻：

[1]

潘文超.果蠅最佳化演算法[M].臺北：滄海書局，2011：10-12.（PAN W T. Fruit Fly Optimization Algorithm [M]. Taipei： Tsang Hai Book Publishing， 2011： 10-12.）

[2]

吳小文，李擎.果蠅算法和5種群智能算法的尋優(yōu)性能研究[J].火力與指揮控制，2013，38（4）：17-20.（WU X W， LI Q. Research of optimizing performance of fruit fly optimization algorithm and five kinds of intelligent algorithm [J]. Fire Control & Command Control， 2013， 38（4）： 17-20.）

[3]

PAN W T. A new fruit fly optimization algorithm： taking the financial distress model as an example [J]. KnowledgeBased Systems， 2012， 26： 69-74.無期

[4]

潘文超.應用果蠅優(yōu)化算法優(yōu)化廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡進行企業(yè)經(jīng)營績效評估[J].太原理工大學學報：社會科學版，2011，29（4）：1-5.（PAN W T. Using fruit fly optimization algorithm optimized general regression neural network to construct the operating performance of enterprises model [J]. Journal of Taiyuan University of Technology （Social Sciences Edition）， 2011， 29（4）： 1-5.）

[5]

王欣，杜康，秦斌，等.基于果蠅優(yōu)化算法的LSSVR干燥速率建模[J].控制工程，2012，19（4）：630-633.（WANG X， DU K， QIN B， et al. Drying rate modeling based on FOALSSVR [J]. Control Engineering of China， 2012， 19（4）： 630-633.）

[6]

劉成忠，黃高寶，張仁陟，等.局部深度搜索的混合果蠅優(yōu)化算法[J].計算機應用，2014，34（4）：1060-1064.（LIU C Z， HUANG G B， ZHANG R Z， et al. Shuffled fruit fly optimization algorithm with local deep search [J]. Journal of Computer Applications， 2014， 34（4）： 1060-1064.）

[7]

PAN Q K， SANG H Y， DUAN J H， et al. An improved fruit fly optimization algorithm for continuous function optimization problems [J]. KnowledgeBased Systems， 2014， 62： 69-83.無期

[8]

韓俊英，劉成忠.自適應調(diào)整參數(shù)的果蠅優(yōu)化算法[J].計算機工程與應用，2014，50（7）：50-55.（HAN J Y， LIU C Z， Fruit fly optimization algorithm with adaptive parameter [J]. Computer Engineering and Applications， 2014， 50（7）： 50-55.）

[9]

華羅庚，王元.數(shù)論在近似分析中的應用[M].北京：科學出版，1978：83-84.（HUA L G， WANG Y. Number Theory in the Application of Approximate Analysis [M]. Beijing： Science Press， 1978： 83-84.）

[10]

張鈴，張鈸.佳點集遺傳算法[J].計算機學報，2001，24（9）：917-922.（ZHANG L， ZHANG B. Good point set based genetic algorithm [J]. Chinese Journal of Computers， 2001， 24（9）： 917-922.）

[11]

龍文，梁昔明，徐松金，等.聚類佳點集交叉的約束優(yōu)化混合進化算法[J].計算機研究與發(fā)展，2015，49（8）：1753-1761.（LONG W， LIANG X M， XU S J， et al. A hybrid evolutionary algorithm based on clustering goodpoint set crossover for constrained optimization [J]. Journal of Computer Research and Development， 2015， 49（8）： 1753-1761.）

[12]

呂振肅，侯志榮.自適應變異的粒子群優(yōu)化算法[J].電子學報，2004，32（3）：416-420.（LYU Z S， HOU Z R. Particle swarm optimization with adaptive mutation [J]. Acta Electronica Sinica， 2004， 32（3）： 416-420.）

[13]

王凌.智能優(yōu)化算法及其應用[M].北京：淸華大學出版社，2001：148-149.（WANG L. Intelligent Optimization Algorithm and Its Application [M]. Beijing： Tsinghua University Press， 2001： 148-149.）

[14]

李明，曹德欣.混合CS算法的DE算法[J].計算機工程與應用，2013，49（9）：57-60.（LI M， CAO D X. Hybrid optimization algorithm of cuckoo search and DE [J]. Computer Engineering and Applications， 2013， 49（9）： 57-60.）

[15]

林川，馮全源.一種新的自適應粒子群優(yōu)化算法[J].計算機工程，2008，34（7）：181-183.（LIN C， FENG Q Y. New adaptive particle swarm optimization algorithm [J]. Computer Engineering， 2008， 34（7）： 181-183.

[16]

王聯(lián)國，洪毅，施秋紅.全局版人工魚群算法[J].系統(tǒng)仿真學報，2009，21（23）：7483-7502.（WANG L G， HONG Y， SHI Q H. Global edition artificial fish swarm algorithm [J]. Journal of System Simulation， 2009， 21（23）： 7483-7502.）