郭曉寧，張曉東，姚立綱

(福州大學機械工程及自動化學院，福建福州350116)

一種三轉動并聯(lián)機構的運動學及解耦性分析與仿真

郭曉寧，張曉東，姚立綱

(福州大學機械工程及自動化學院，福建福州350116)

對一種支鏈含等速萬向節(jié)的R RR－PaRRS－RHJ型三轉動并聯(lián)機構的運動學及其解耦特性進行分析.首先，對機構進行運動特性分析和自由度計算.然后，通過構件間的幾何關系對機構進行運動學分析，給出機構位置正、逆解析解，推導出機構在定坐標系和動坐標系下的速度雅克比矩陣，根據雅可比矩陣分析此機構在不同坐標系下表現(xiàn)的不同耦合性.最后，運用ADAMS軟件進行運動學仿真，驗證了理論分析的正確性.

三轉動并聯(lián)機構;運動分析;解耦性;ADAMS仿真

0 引言

與串聯(lián)機構相比，并聯(lián)機構由于其強耦合性使其具有結構緊湊、承載能力強、精度高等顯著優(yōu)點，在機器人領域得到了廣泛應用.但也正因為這種強耦合性，使其在結構設計裝配、運動學分析以及控制系統(tǒng)設計等方面存在諸多困難，給并聯(lián)機構的應用帶來局限.若并聯(lián)機構能實現(xiàn)完全解耦或各向同性，即輸入與輸出之間存在一一對應關系，則會解決上述制約并聯(lián)機構應用的問題.因此，在承載能力要求不高的領域，解耦或完全各向同性并聯(lián)機構的研究已是當前機構學領域的熱點之一.

Carricato［1］基于螺旋理論綜合了3T1R型完全各向同性并聯(lián)機構.Gogu［2－3］通過先綜合出無耦合機構再利用運動副替換的方法得到3T、2T1R、2T2R、3R等多種完全各向同性并聯(lián)機構構型，其中綜合出的3R完全各向同性并聯(lián)機構都包括一條含有等速萬向節(jié)的支鏈，并且沒有進行運動學分析.張彥斌等［4］基于螺旋理論提出了完全各向同性的少自由度并聯(lián)機構型綜合方法，并綜合得到具有完全各向同性的3T、2T1R型并聯(lián)機構.張帆等［5］基于機構雅可比矩陣的物理含義和支鏈驅動原理，綜合出全R副的3R全局各向同性轉動并聯(lián)機構和解耦球面轉動的并聯(lián)機構.但是，Kong X等［6］對其提出的并聯(lián)機構提出質疑，并證明了其并不具有解耦特性，更不具有各向同性.同時，Legnani G等［7］也提出并證明了對于動平臺具有兩個或三個旋轉自由度且只含有一般運動副的并聯(lián)機構，由于角速度不可積分的特性，要使機構在整個工作空間內保持完全各向同性和解耦是不可能的，只可能在某些特定位置具有各向同性和解耦特性.侯雨雷［8］根據螺旋理論分析三自由度轉動解耦并聯(lián)機構型綜合后得出:物體在先后繞三條相互垂直的坐標軸旋轉過程中會出現(xiàn)伴隨轉動，從而導致運動耦合，因此3R并聯(lián)機構只能瞬時解耦，而無法實現(xiàn)完全解耦.解耦是完全各向同性的必要條件，由此引出問題:文［3］提出的并聯(lián)機構構型是否具有完全各向同性?

基于此問題，本研究對文［3］提出的R RR－PaRRS－RHJ型三轉動并聯(lián)機構進行詳細的運動學分析，討論此機構在不同參考坐標系下的運動解耦性.最后利用ADAMS軟件對機構進行仿真驗證理論推導的正確性.

1 機構設計和運動特性分析

1.1 機構描述

RRR－PaRRS－RHJ并聯(lián)機構簡圖如圖1所示.每條支鏈上與基座連接的運動副R1、Pa、R6為主動副.第1支鏈的運動副類型及配置方式為R1⊥R2⊥R3，即3個轉動副的轉動軸線互相垂直并相交于動平臺的轉動中心.第2支鏈由1個平行四邊形鉸鏈Pa、2個轉動副和1個球副串聯(lián)而成，其結構組成為:Pa∥R4∥R5－S.第3支鏈由轉動副R6和等速萬向節(jié)HJ組成.在動平臺的轉動中心(等速萬向節(jié)的轉動中心)建立固結于基座的定坐標系O－XYZ，其Y軸重合于第3支鏈中轉動副R6的軸線，Z軸沿鉛垂方向且與轉動副R1的軸線共線，X軸可通過右手準則確定.同樣在動平臺的轉動中心處創(chuàng)建固結于動平臺的動坐標系p－xyz.機構的結構參數如下:轉動副R1到轉動中心O的距離為l11，轉動副R2到轉動中心O的距離為l12，轉動副R3到轉動中心O的距離為l13;轉動副R4的初始位置位于X軸上，轉動中心O到其軸線的距離為l20，R4與R5之間的距離為l21，R5到球副S的距離為l22，且l22=l20.平行四邊形鉸鏈Pa參數如圖1所示，其中桿長a=l21;第3支鏈中轉動副R6到轉動中心O的距離為l31;動平臺轉動中心O到球副S的距離為l.

1.2 運動輸出特性分析和自由度計算

由圖1所示機構的裝配形式可知:第1支鏈和第3支鏈限制了動平臺沿x、y、z軸的移動自由度;第2支鏈含有6個自由度，對動平臺無約束.因此，該機構動平臺只具有繞x、y、z軸轉動的運動輸出.

機構自由度可通過修正Chebyshev－Grübler－Kutzbach(CGK)［9］公式來計算，即:

其中:M為機構自由度;d為機構的階數(d=6－λ，λ為公共約束數);n為包括機架在內的構件數目;g為運動副個數;fi為第i個運動副的自由度數;ν為冗余約束數;ζ表示局部自由度數.

對于該并聯(lián)機構:第1支鏈和第3支鏈同時限制了動平臺沿x、y、z軸的移動自由度，故冗余約束個數ν=3;構件數n=8;運動副個數g=9;不存在局部自由度，即ζ=0.代入式(1)可得機構自由度數為: M=6×(8－9－1)+12+3=3，與上述機構運動輸出特性的分析結果一致.

2 位置分析

圖1所示機構中，初始位置動坐標系p－xyz和靜坐標系O－XYZ重合，動平臺的空間姿態(tài)由動坐標系的Z－X－Y型歐拉角(Euler angle)描述，動平臺先繞z軸轉α角，再繞x軸轉β角，最后繞y軸轉γ角，三次旋轉都是相對于動坐標，則剛體最終的姿態(tài)矩陣OTp為:

其中:

2.1 位置逆解

設θai、θ·ai(i=1，2，3)分別為第i支鏈主動副的轉角和角速度.

對于第1支鏈，分別以矢量u、v、w表示主動副R1、中間轉動副R2以及與動平臺相連的轉動副R3軸線的單位矢量方向.初始位置時三個轉動副相對于定坐標系O－XYZ的單位矢量為:

當與R1相連的電機轉動角度θa1時，R2的單位矢量為:

R3的單位矢量為:

由運動鏈的幾何關系:v⊥w，可得:

將式(3)、(4)代入式(5)，可得:

對于第2支鏈，為便于分析，將其中的平行四邊形鉸鏈等效為導路方向平行于Z軸的移動副.首先用D－H方法建立該支鏈的連桿坐標系O－x0y0z0(與定坐標系O－XYZ重合)、Oi－xiyizi(i=1，2，3)，相關參數如圖2所示，則坐標系Oi－1－xi－1yi－1zi－1與Oi－xiyizi之間的變換矩陣i－1Ti為:

將圖2中的參數代入式(7)，即可得到各連桿坐標變化矩陣:0T1、1T2、2T3.由此，球副中心坐標系O3－x3y3z3在定坐標系O－XYZ中的變換矩陣:

由此，球副S的空間位置為:

另外，球副的空間位置也可以用Z－X－Y歐拉角表示.機構處于初始位置時，球副S在定坐標的位置為:P0=(0l210)T.動平臺經ZXY歐拉變換后，S在定坐標的位置為:

因為:PDH=P，所以:l21sin θa2=l21sin β，即:

對于第3支鏈，驅動構件直接通過等速萬向節(jié)與動平臺相連.等速萬向節(jié)的輸出軸與動平臺固連，且旋轉軸線始終與動坐標的y軸重合，顯然:

2.2 位置正解

已知三條支鏈中主動副的輸入轉角θai(i=1，2，3)，求動平臺的空間姿態(tài)角(α、β、γ).根據式(6)、(10)、(11)，可迅速求得位置正解:

3 速度分析

機構運動解耦是各向同性的基礎，傳統(tǒng)意義上的運動解耦概念是相對于固定坐標系，而象并聯(lián)機構這樣復雜機構很難實現(xiàn)諸如此類型的解耦運動;但如果將運動解耦的概念建立在動坐標系上，機構主動副的輸入速度和動平臺的輸出速度之間容易實現(xiàn)一一對應的控制關系［9］.為此，本研究分析機構動平臺在固定坐標系(慣性坐標系)和動坐標系(物體坐標系)下動平臺的轉動角速度.

設在固定坐標系中描述動平臺運動的瞬時空間角速度［ωzωxωy］T，在動坐標系中描述動平臺運動的歐拉角參數空間角速度.將式(12)分別對時間求導，得到在動坐標系p－xyz下，由歐拉角描述的動平臺空間角速度與主動副角速度之間的關系:

式中:Jp為并聯(lián)機構在動坐標系p－xyz下的雅可比矩陣.

對于Z－X－Y型歐拉角描述的動平臺的空間姿態(tài)，固定坐標系下動平臺的瞬時角速度［ωzωxωy］T與動坐標系下動平臺的轉動角速度之間的關系為:

式中:G^為歐拉轉軸坐標系到構件質心坐標系的坐標變換矩陣，

把式(13)代入式(14)，得到定坐標系下，動平臺角速度與主動副角速度之間的關系:

式中:J為并聯(lián)機構在定坐標系O－XYZ下的雅可比矩陣.

4 機構的完全各向同性分析

由式(13)可知:在動坐標系下，雅克比矩陣Jp為單位陣，由此，此并聯(lián)機構在整個工作空間內，雅克比矩陣Jp的條件數:

式中:σmax、σmin分別表示雅克比矩陣Jp的最大、最小奇異值.

由此可知:在動坐標系下，此并聯(lián)機構具有完全各向同性.而在定坐標系下，由于雅克比矩陣J不是單位陣，所以機構不具有完全各向同性.因det(J)=cos β，機構在β=±π/2時出現(xiàn)奇異位形.

5 虛擬樣機仿真

為驗證以上分析，在ADAMS軟件中建立了機構的虛擬樣機模型，并對其進行運動學仿真分析.

5.1 位置逆解仿真

在機構動平臺的轉動中心施加點驅動，使動平臺實現(xiàn)期望運動，點驅動的運動激勵角位移函數為:繞Z軸disp(time)=5 d*time*time;繞X軸disp(time)=10 d*time*time;繞Y軸disp(time)=15 d*time* time.

設定仿真類型為Default(運動學)，仿真時間為2 s，步數為100，進行仿真分析后，得到動平臺角位移與主動副轉角關系曲線:α－θa1關系曲線、β－θa2關系曲線、γ－θa3關系曲線，分別如圖3～圖5所示.

分析圖3～圖5的運動曲線可知:主動副θa1、θa2、θa3分別與動平臺的轉角α、β、γ之間存在一一對應的關系，仿真結果與運動學逆解解析式完全一致.

5.2 位置正解仿真

在各支鏈主動副添加驅動，通過三個主動副驅動機構運動.三個主動副角位移的運動規(guī)律分別為:

進行2 s、100步的仿真，相應的角位移關系曲線:θa1－α關系曲線、θa2－β關系曲線、θa3－γ關系曲線分別如圖6～圖8所示.比較圖6～圖8的變化曲線可知:動平臺姿態(tài)角的變化與主動副轉角相同，即運動學正解表達式與仿真結果一致.

5.3 速度仿真

在ADAMS的后處理模塊中對主動副和姿態(tài)角位移曲線求一階導，得到動坐標系下驅動副和動平臺的角速度關系曲線:1－關系曲線、2－關系曲線3－關系曲線，分別如圖9～圖11所示.

由圖9～圖11可知:如果在物體坐標系下描述動平臺運動，動平臺角速度α·、β·、γ·與主動副角速度之間呈一一對應關系，即每一個輸入僅控制一個輸出，而每一個輸出也僅受到唯一一個輸入的影響，驗證了機構的完全各向同性.

若在固定坐標系下描述動平臺旋轉運動，則通過ADAMS仿真測得的動平臺角速度［ωzωxωy］T曲線如圖12(a)所示.

為驗證仿真結果的正確性，對式(17)求一階導，得到主動副轉速:=30t;然后將其代入式(15)，則動平臺角速度為:利用Matlab軟件計算式(18)，并把計算結果繪制成曲線，結果如圖12(b)所示.

由圖12可知:仿真結果與理論計算完全一致，速度分析合理.因此，在定坐標系下，主動副的輸入速度和動平臺的輸出速度之間不存在一一對應的關系，機構不滿足傳統(tǒng)意義上的解耦.

6 結語

本研究對R RR－PaRRS－R HJ型并聯(lián)機構的運動特性和位置正逆解析解進行了詳細分析與仿真，并研究機構在不同參考坐標系下的耦合性和各向同性.研究表明:

1)機構動平臺具有3個轉動自由度，結構簡單緊湊，容易制造;

2)此機構在定坐標系下存在運動耦合;在動坐標系下，全局雅克比矩陣為單位矩陣且條件數恒等于1，機構表現(xiàn)為完全各向同性，機構在控制和軌跡規(guī)劃等方面較為簡單.本研究所做工作為該機構的動力學分析和控制系統(tǒng)開發(fā)奠定了理論基礎，該機構在微操作機器人、醫(yī)療機器人、坐標測量機等精度要求高而承載能力不高的領域具有廣闊的應用前景.

［1］CARRICATO M.Fully isotropic four－degrees－of－freedom parallel mechanisms for schoenflies motion［J］.International Journal of Robotics Research，2002，121(2):161－174.

［2］GOGU G.Fully－isotropic T1R3－type redundantly－actuated parallel manipulators［M］//Recent Progress in Robotics:Viable Robotic Service to Human.Heidelberg:Springer，2008:79－90.

［3］GOGU G.Fully－isotropic three－degree－of－freedom parallel wrists［C］//Proceedings 2007 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Roma:［s.n.］，2007:895－900.

［4］張彥斌，王慧萍，吳鑫.完全各向同性3自由度平面并聯(lián)機構的型綜合［J］.光學精密工程，2012，20(3):579－586.

［5］張帆，楊建國，李蓓智，等.一種全局各向同性的三自由度轉動并聯(lián)機構［J］.中國機械工程，2008，19(13): 1 552－1 555.

［6］KONG X，GOSSELIN C，CARRICATO M.Comments on“Design and analysis of a totally decoupled 3－DOF spherical parallel manipulator”by D.Zhang and F.Zhang［J］.Robotica，2011，29:1 101－1 103.

［7］LEGNANI G，F(xiàn)ASSI I，GIBERTI H，et al.A new isotropic and decoupled 6－DOF parallel manipulator［J］.Mechanism and Machine Theory，2012，58:64－81.

［8］HOU Y L，ZENG D X，DUAN Y B，et al.The nonexistence of three degrees of freedom rotational fully decoupled parallel mechanism［J］.Applied Mechanics and Materials，2013，(284/285/286/287):1 951－1 955.

［9］于靖軍，劉辛軍，丁希侖，等.機器人機構學的數學基礎［M］.北京:機械工業(yè)出版，2008.

(責任編輯:沈蕓)

Kinematics and decoupling analysis along with simulation of a 3－DOF rotational parallel mechanism

GUO Xiaoning，ZHANG Xiaodong，YAO Ligang
(School of Machine Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

This paper analyses the kinematics and decoupling performance of a R RR－PaRRS－RHJ type 3－DOF rotational parallel mechanism with a special chain containing homokinetic joints.Firstly，the motion output characteristic is investigated and the degree of freedom is calculated.Kinematics are analyzed by the geometric relationship between the components of the mechanism.Both the forward and the inverse analytical solutions of the moving platform’s position were obtained，the Jacobian matrixes under the fixed coordinate system and moving coordinate system are derived.According to Jacobian matrix，the coupling performance of mechanism in different coordinate systems is analyzed.Finally，the kinematic simulation of this mechanism was performed by ADAMS.As a result，the correctness of theoretic analysis is proved.

3－DOF rotational parallel mechanism;kinematics analysis;decoupleness;ADAMS simulation

TH112;TP242

A

10.7631/issn.1000－2243.2016.06.0800

1000－2243(2016)06－0800－07

2015－10－12

郭曉寧(1975－)，副教授，主要從事虛擬設計以及機構CAD研究，Gxn_yx@163.com

國家自然科學基金資助項目(51275092)