許允斗，趙云，張東勝，徐鄭和，姚建濤，趙永生，＊

1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 0660042.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低及控制容易等優(yōu)點(diǎn)，近年來，它已成為機(jī)器人和機(jī)構(gòu)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。在各類少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，兩轉(zhuǎn)一移三自由度（2R1T）并聯(lián)機(jī)構(gòu)是非常重要的一類機(jī)構(gòu)［1－2］，特別是在五軸混聯(lián)機(jī)器人方面得到了成功應(yīng)用，其在航空航天、船舶等高端制造領(lǐng)域復(fù)雜結(jié)構(gòu)件作業(yè)方面具有工作空間大且操作靈活的明顯優(yōu)勢，目前已得到成功應(yīng)用為數(shù)不多的幾款五軸混聯(lián)機(jī)器人產(chǎn)品均是在2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，包括 Tricept［3］、Ecospeed［4］和機(jī)器人 Exechon［5］等。

但是現(xiàn)有2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在支鏈中被動(dòng)運(yùn)動(dòng)副（非驅(qū)動(dòng)副）數(shù)目較多，支鏈連桿與連接關(guān)節(jié)也相應(yīng)增多，而機(jī)構(gòu)整體性能受支鏈最薄弱的關(guān)節(jié)或連桿制約，因而運(yùn)動(dòng)副數(shù)越少機(jī)構(gòu)整體性能越容易得到保證。文獻(xiàn)［1，6］分析的3RPS機(jī)構(gòu)，文獻(xiàn)［7］分析的3RSR機(jī)構(gòu)，Sprint Z3主軸頭所采用的3PRS機(jī)構(gòu)［8］，文獻(xiàn)［9］綜合出的無伴隨運(yùn)動(dòng)3PRRU機(jī)構(gòu)，文獻(xiàn)［10］提出的無伴隨運(yùn)動(dòng)3UPU對稱機(jī)構(gòu)，文獻(xiàn)［11］綜合得到的3RRRRR機(jī)構(gòu)，它們每條驅(qū)動(dòng)支鏈中均含有4個(gè)被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副，如圖1所示。其中U副等效于軸線交于一點(diǎn)的兩個(gè)R副，由于混聯(lián)機(jī)器人工作空間要求比較大，這里S副一般設(shè)計(jì)成軸線交于一點(diǎn)的3個(gè)R副，注意，這里R、P、S和U分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副、球副和虎克鉸。組成TriVariant五軸混聯(lián)機(jī)器人的三支鏈機(jī)構(gòu)2UPS-UP［12］含有的被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)為12。組成Exechon五軸混聯(lián)加工中心的2UPR-SPR機(jī)構(gòu)［13］，文獻(xiàn)［14］綜合得到的 UPS-PRC-PU機(jī)構(gòu)（C表示圓柱副），文獻(xiàn)［15］分析的UPS-RPU-PU機(jī)構(gòu)，它們含有的被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)均為10。文獻(xiàn)［16-17］提出的主軸頭結(jié)構(gòu)（PUS＋R）-PRR-PR 及文獻(xiàn) ［18］提出的2UPR-RPU機(jī)構(gòu)，含有的被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)目為9，是目前含有3條支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副數(shù)最少的兩種機(jī)構(gòu)。構(gòu)成Tricept五軸混聯(lián)機(jī)器人的3UPS-UP機(jī)構(gòu)［19］每條驅(qū)動(dòng)支鏈中被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)為5，再加上約束支鏈的被動(dòng)運(yùn)動(dòng)副，共有被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副18個(gè)，如圖2所示。但該機(jī)構(gòu)含有4條支鏈，3條驅(qū)動(dòng)支鏈關(guān)于約束支鏈對稱布置，大幅提高了承載能力。組成TriMule五軸混聯(lián)機(jī)器人的2UPR-UP-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)［20］也由4條支鏈組成，其含有的被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)減少至14?，F(xiàn)有這些2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，除文獻(xiàn)［16-18］提出的兩種機(jī)構(gòu)含有的被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)為9外，其余機(jī)構(gòu)含有的被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)均在10以上。

此外，從機(jī)構(gòu)受力性能角度分析，四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)相對于同類的三支鏈機(jī)構(gòu)，外部載荷由4條支鏈共同承受，承載能力得到了提升。因此，本論文擬提出一類具有含極少運(yùn)動(dòng)副的四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，為設(shè)計(jì)出結(jié)構(gòu)緊湊、性能優(yōu)異的五軸混聯(lián)機(jī)器人奠定理論基礎(chǔ)。

圖1 3RPS兩轉(zhuǎn)一移三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 3RPS 2R1Tparallel mechanism （PM）

圖2 3UPS-UP兩轉(zhuǎn)一移三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.2 3UPS-UP 2R1TPM

1 一類四支鏈兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機(jī)構(gòu)

1.1 特征描述

本文提出的四支鏈兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機(jī)構(gòu)2RPU-UPR-RPR，及 其 倒 置 機(jī) 構(gòu) 2UPR-RPURPR，分別如圖3（a）和圖3（b）所示。這里以2RPU-UPR-RPR機(jī)構(gòu)為例對2R1T機(jī)構(gòu)特征進(jìn)行說明，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、固定平臺(tái)、兩條RPU支鏈、一條UPR支鏈和一條RPR支鏈組成。RPR支鏈A2B2的兩R副軸線垂直交錯(cuò)，與定平臺(tái)連接的R副軸線通過UPR支鏈A4B4的U副中心A4，與動(dòng)平臺(tái)連接的R副軸線分別通過兩RPU支鏈A1B1和A3B3的U副中心B1和B3。A1B1和A3B3兩支鏈中U副靠近動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)軸與A2B2支鏈中與動(dòng)平臺(tái)連接的R副軸線共線，A1B1和A3B3兩支鏈中與定平臺(tái)連接的轉(zhuǎn)軸與A2B2支鏈中與定平臺(tái)連接的R副軸線相互平行。A4B4支鏈中U副靠近定平臺(tái)的轉(zhuǎn)軸與A2B2支鏈中與定平臺(tái)連接的R副軸線共線，A4B4支鏈中與動(dòng)平臺(tái)連接的轉(zhuǎn)軸與A2B2支鏈中與動(dòng)平臺(tái)連接的R副軸線平行。定平臺(tái)A1A3A4和動(dòng)平臺(tái)B1B3B4均為等腰三角形，B2、A2分別位于上、下兩個(gè)等腰三角形的斜邊上的中點(diǎn)，且A2A3、A2A4邊長分別為a和b，B2B3邊長為c，A1P1B1、A3P3B3、A4P4B4支鏈的初始桿長分別為r10、r30和r40。

為了方便，在定平臺(tái)A2點(diǎn)建立參考坐標(biāo)系N：A2－XYZ，在動(dòng)平臺(tái)B2點(diǎn)建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系n：B2－xyz。經(jīng)分析，固定坐標(biāo)系的X軸（標(biāo)記為r1）和運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的y軸（標(biāo)記為r2）總是該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的軸線，即該2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在兩條連續(xù)轉(zhuǎn)軸［16］。

圖3 一類四支鏈兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.3 One type of 2R1TPMs with four branches

1.2 討 論

目前現(xiàn)有2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，Tricept五軸混聯(lián)機(jī)器人所采用的3UPS-UP機(jī)構(gòu)［3］和文獻(xiàn)［20］提出的2UPR-UP-UPS機(jī)構(gòu)是兩類主要的含有4條支鏈的2R1T機(jī)構(gòu)，其被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)目分別為18和14。而本文提出的具有四條支鏈的2R1T機(jī)構(gòu)2RPU-UPR-RPR和2UPR-RPU-RPR，其含有的被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)僅為12。

2 四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端極限約束力螺旋系分析

為實(shí)現(xiàn)極少運(yùn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，這里提出極限約束力螺旋系的定義，它是指使機(jī)構(gòu)真實(shí)存在的最多約束力螺旋組合?；跇O限約束力螺旋能夠?qū)崿F(xiàn)含極少運(yùn)動(dòng)副數(shù)目機(jī)器人機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)。下面分析四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端極限約束力螺旋系。

根據(jù)互易螺旋理論［21－22］，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線必須與約束力軸線在同一平面（相交或平行），并且垂直于約束力偶軸線。對于2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，則其末端受到各支鏈?zhǔn)┘拥募s束力螺旋系最大線性無關(guān)組應(yīng)為一個(gè)約束力偶和兩個(gè)約束線矢力（這里只分析當(dāng)約束力螺旋系為純力偶與線矢力的組合的情況），且由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出平臺(tái)受到的約束螺旋系是各支鏈提供給其約束螺旋系的并集，即

式中：nj表示第j支鏈單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)目；k＝3或4。

因而每條支鏈提供的約束力螺旋系至多包含兩個(gè)約束線矢力和一個(gè)約束力偶，即nj≤3。為保證支鏈提供的所有約束力螺旋最大線性無關(guān)組為一個(gè)力偶和兩個(gè)線矢力，所有支鏈提供的力偶方向均應(yīng)一致，由兩個(gè)平行線矢力產(chǎn)生的力偶方向也必須相互平行且與約束力偶同向。此外，所有支鏈提供的約束線矢力均應(yīng)處于同一投影平面內(nèi)。

對于四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，滿足以上要求的約束力螺旋系配置情況很多，比如文獻(xiàn)［20］列出的含3個(gè)線矢力和多個(gè)力偶的情況，本文將研究存在相應(yīng)2R1T機(jī)構(gòu)真實(shí)構(gòu)型的極限約束力螺旋系（即約束力螺旋系數(shù)目達(dá)到上限），此時(shí)所得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副數(shù)目將達(dá)到極限。比如，對于四支鏈2R1T機(jī)構(gòu)，由式（1）可推斷其末端約束力螺旋系至多為線性相關(guān)的8個(gè)線矢力和4個(gè)力偶，但是否真實(shí)存在對應(yīng)的2R1T機(jī)構(gòu)構(gòu)型還需深入研究。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)螺旋系是各支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系的交集，對于2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，則有

由式（2）可判斷每個(gè)支鏈至少含有3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副。事實(shí)上，研究2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)的極限約束力螺旋系可轉(zhuǎn)化為各支鏈最少運(yùn)動(dòng)副數(shù)的求解。這里首先討論當(dāng)其中有兩條支鏈含有3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副時(shí)，這兩條支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系的并集能否得到期望的兩轉(zhuǎn)一移自由度。只有當(dāng)這兩條支鏈形成一個(gè)平面六桿閉環(huán)機(jī)構(gòu)，它們才可能具有平面的3個(gè)自由度，但是為了達(dá)到2R1T機(jī)構(gòu)預(yù)期的運(yùn)動(dòng)形式，這兩條支鏈均不能是平面支鏈，這說明了該類2R1T機(jī)構(gòu)不可能同時(shí)存在兩條以上僅含有3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副的支鏈。因此這里不妨假設(shè)各支鏈最少運(yùn)動(dòng)副數(shù)情況為：其中一條支鏈僅含有3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副，其他支鏈含有4個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副。

含3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副支鏈的基本形式為R1PR3和PU（或UP），如圖4所示。R1PR3支鏈兩R副軸線異面，P副軸線垂直于R1和R3軸線，PU支鏈P副軸線垂直于U副靠近P副的軸線r1。

圖4 含3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副支鏈的基本形式Fig.4 Basic forms of kinematic chains with three single degrees of freedom

那么對于任一條含有4個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副的支鏈，其與上述含3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副支鏈形成單閉環(huán)后必須具有預(yù)期的兩轉(zhuǎn)一移自由度。只有當(dāng)7個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副形成平面機(jī)構(gòu)才最多具有4個(gè)自由度，但是顯然三自由度支鏈和四自由度支鏈均不是平面支鏈，對于三自由度支鏈有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線（P和R1軸線或P和U副的r1軸線）位于一平面（記為平面Ⅰ）內(nèi)，另一轉(zhuǎn)動(dòng)副（R3副）軸線不位于該平面內(nèi)，對于四自由度支鏈至多有3個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線位于一平面內(nèi)（記為平面Ⅱ），且至少有一轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線不位于該平面內(nèi)。那么，只有當(dāng)兩支鏈運(yùn)動(dòng)副軸線形成的平面Ⅰ和平面Ⅱ重合，從而兩支鏈處于該重合平面內(nèi)的5個(gè)運(yùn)動(dòng)副形成一個(gè)平面機(jī)構(gòu)，具有兩個(gè)自由度，且兩支鏈?zhǔn)Ｓ嗟膬赊D(zhuǎn)動(dòng)副軸線重合，得到另外一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，此時(shí)兩支鏈形成的閉環(huán)機(jī)構(gòu)具有最多預(yù)期的3個(gè)輸出自由度。這樣的典型四自由度支鏈包括R4R5R6R7、R4PR6R7支鏈等，如圖5所示，其中R4、R5、R6三運(yùn)動(dòng)副軸線或R4、P、R6三運(yùn)動(dòng)副軸線處于一平面內(nèi)。

圖5 含4個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副支鏈的典型形式Fig.5 Typical forms of kinematic chains with four single Degrees of Freedom （DoF）

其中四自由度支鏈R4PR6R7與三自由度支鏈R1PR3形成的單閉環(huán)機(jī)構(gòu)如圖6所示，則另一條四自由度支鏈也須有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副與R1軸線重合，剩余3個(gè)運(yùn)動(dòng)副處于同一平面內(nèi)，且與R1PR3支鏈中P和R3副形成一平面機(jī)構(gòu)。

因此，以上過程表明了當(dāng)四支鏈2R1T各支鏈最少運(yùn)動(dòng)副數(shù)為以下情況時(shí)：其中一條支鏈僅含有3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副，其余支鏈含有4個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副，可能存在真實(shí)的構(gòu)型。此時(shí)，三自由度支鏈提供的約束力螺旋系為2個(gè)約束力和1個(gè)約束力偶，四自由度支鏈提供的約束力螺旋系為1個(gè)約束力和1個(gè)約束力偶，所以可假設(shè)四支鏈2R1T的極限約束螺旋系為5個(gè)約束力和4個(gè)力偶，其中4個(gè)力偶同向，5個(gè)線矢力需分布在同一投影面內(nèi)，根據(jù)以上分析過程，這樣的5個(gè)線矢力布置情況如表1所示，即3個(gè)線矢力平行，另外2個(gè)線矢力也平行且與前3個(gè)異面，另外，前3個(gè)線矢力形成的平面和后2個(gè)線矢力形成平面相互平行且垂直于力偶方向。

圖6 R4PR6R7－R1PR3單閉環(huán)三自由度機(jī)構(gòu)Fig.6 Single closed-loop 3-DoF mechanism of R4PR6R7－R1PR3

表1 四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端受到的極限約束力螺旋系Table 1 Ultimate constraint wrenches exerted on moving platform of 2R1TPMs with four branches

而本文提出的四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中一條支鏈為三自由度支鏈，另外3條支鏈為四自由度支鏈，而且經(jīng)過分析該機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)期的兩轉(zhuǎn)一移運(yùn)動(dòng)，所以證明了表1所列即為四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端受到的一種極限約束力螺旋系，而本文提出的四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)即為含極少運(yùn)動(dòng)副的四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

基于上述極限約束力螺旋，采用基于螺旋理論的約束綜合法可以綜合出一系列其他新型含極少運(yùn)動(dòng)副四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具體流程詳見圖7。限于篇幅，具體的型綜合過程不再詳述。

圖7 極少運(yùn)動(dòng)副四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合流程Fig.7 Type synthesis process of four-branched 2R1T PMs containing extremely few kinematic joints

3 在五軸混聯(lián)機(jī)器人方面的應(yīng)用

3.1 混聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)造

如圖3（a）所示的2RPU-UPR-RPR四支鏈2R1T機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)對稱性較好，它相對于Tricept機(jī)器人的3UPS-UP四支鏈2R1T機(jī)構(gòu)，關(guān)節(jié)數(shù)目減少了6個(gè)，結(jié)構(gòu)剛度和精度更加容易得到保證。機(jī)構(gòu)2RPU-UPR-RPR一條轉(zhuǎn)軸分布在靠近定平臺(tái)位置（r1），而另一條分布在靠近動(dòng)平臺(tái)位置（r2），動(dòng)平臺(tái)繞r1的轉(zhuǎn)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)水平方向的位置調(diào)整，如圖8所示，繞r2的轉(zhuǎn)動(dòng)可實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)一個(gè)水平方向上的方位調(diào)整，如圖9所示。因此，基于文獻(xiàn)［15］提出的五軸混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)造原則，在動(dòng)平臺(tái)上方添加一個(gè)單自由度搖擺頭實(shí)現(xiàn)另一水平方向的方位調(diào)整，并將并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊安裝在一單自由度移動(dòng)工作臺(tái)實(shí)現(xiàn)另一水平方向位置的調(diào)整，由此構(gòu)造得到的五軸混聯(lián)機(jī)構(gòu)加工機(jī)器人構(gòu)型方案如圖10所示。

圖8 五軸混聯(lián)機(jī)器人r1轉(zhuǎn)軸具體位置Fig.8 Specific position of r1on the five-axis hybrid robot

圖9 五軸混聯(lián)機(jī)器人r2轉(zhuǎn)軸具體位置Fig.9 Specific position of r2on the five-axis hybrid robot

圖10 基于2RPU-UPR-RPR機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的五軸混聯(lián)機(jī)器人Fig.10 A five-axis hybrid robot based on 2RPU-UPR-RPR mechanism

3.2 混聯(lián)機(jī)器人位置正反解模型求解

下面以上述設(shè)計(jì)的五軸混聯(lián)機(jī)器人為例進(jìn)行位置正反解分析，其機(jī)構(gòu)簡圖如圖11所示。

混聯(lián)機(jī)器人的位置模型求解要比單純并聯(lián)機(jī)器人或串聯(lián)機(jī)器人均要復(fù)雜，因?yàn)槠渫瑫r(shí)存在并聯(lián)機(jī)器人位置正解與串聯(lián)機(jī)器人位置反解的難題。由于組成本文所提出混聯(lián)機(jī)器人的2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)2RPU-UPR-RPR存在兩條連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，使得其位置正解得到了大為簡化，下面首先分析該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解。

根據(jù)機(jī)構(gòu)幾何特點(diǎn)［15］，Ai點(diǎn)位置矢量在｛N｝系中可表示為

式中：e4＝b1＝b2＝b3＝0。

Bi點(diǎn)位置矢量在｛n｝系中可表示為

式中：q4＝p1＝p2＝p3＝0。

則Bi點(diǎn)位置矢量在｛N｝中可表示為

式中：NnR為｛n｝系相對于｛N｝系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；NPn0＝ ［x y z］T為｛n｝系原點(diǎn)B2在｛N｝坐標(biāo)系下的位置矢量。

圖11 基于2RPU-UPR-RPR設(shè)計(jì)的五軸混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)Fig.11 Mechanism of the five-axis hybrid robot based on 2RPU-UPR-RPR mechanism

由前面分析可知，2RPU-UPR-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有一個(gè)移動(dòng)自由度和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，而且兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度具有連續(xù)軸線，故而動(dòng)平臺(tái)可以通過以下三次變換得到最終的任意位姿：首先繞X軸旋轉(zhuǎn)θ2；然后沿z軸移動(dòng)d30；最后繞y軸旋轉(zhuǎn)θ4，則描述運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系｛n｝相對參考坐標(biāo)系｛N｝位姿的齊次變換矩陣NnT為

如果已知?jiǎng)悠脚_(tái)位姿矩陣nNT，則動(dòng)平臺(tái)上各鉸鏈點(diǎn)位置矢量可由式（5）求出，則3個(gè)分支桿的長度可以求解得到：

此式即為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解。

由于2RPU-UPR-RPR機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿可通過上述3次連續(xù)變換得到，所以該機(jī)構(gòu)可等效為R、P和R副3個(gè)運(yùn)動(dòng)副組成的串聯(lián)機(jī)構(gòu)，則整個(gè)混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)可等效為P1R1P2R2R3串聯(lián)機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)副中心分別記為P1、R1、P2、R2和R3，如圖12所示，這將大大簡化混聯(lián)機(jī)器人位置建模過程。

圖12 混聯(lián)機(jī)器人的等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.12 Schematic diagram of equivalent serial mechanism of hybrid robot

首先建立混聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，即給定機(jī)器人各關(guān)節(jié)變量，求解機(jī)器人末端桿件的位置和姿態(tài)。根據(jù)圖12中建立的連桿坐標(biāo)系可得五自由度等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)P1R1P2R2R3的D-H連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，如表2所示。

表2 等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)PRPRR的D-H連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量Table 2 D-H parameters and joint variables of equivalent serial mechanism PRPRR

由D-H法［23］可知，相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣為

n自由度串聯(lián)機(jī)器人末端連桿坐標(biāo)系相對于基座坐標(biāo)系的齊次變換矩陣表達(dá)式為

將表2中的關(guān)節(jié)參數(shù)代入式（8）可求得各相鄰坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，然后將求得結(jié)果代入式（9），即可得PRPRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端位姿矩陣表達(dá)式為

式中：d0為初始狀態(tài)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)之間的距離；d1為P1副的輸入位移；H為中心點(diǎn)P1和R2之間的距離；d3為P2副的輸入位移；d30＝d0＋d3，表示動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)之間沿動(dòng)系｛n｝z軸方向的實(shí)際距離；l1為中心點(diǎn)R2和R3之間的距離；l2為中心點(diǎn)R3和機(jī)器人末端O6之間的距離；ci＝cosθi；si＝sinθi。

下面建立混聯(lián)機(jī)器人的位置反解模型。

首先根據(jù)加工工件所需刀具姿態(tài)與位移，可以設(shè)定等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)PRPRR末端連桿在｛0｝系下表示的位置和姿態(tài)矩陣為

根據(jù)上述給定的串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿矩陣，求解串聯(lián)機(jī)構(gòu)各個(gè)關(guān)節(jié)變量輸入值。根據(jù)式（10）和式（11）中對應(yīng)元素相等可得

式中：C＝（px－axl2）／（－pz＋azl2＋H）；k11＝k（c2－s2）；k12＝k21＝k（c2＋s2）；k22＝－k（c2－s2）。

因此，當(dāng)給定加工工件所需的刀具姿態(tài)與位移后，通過式（13）即可求解得到混聯(lián)機(jī)器人等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)變量輸入值，然后將θ2、θ4和d3的值代入并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解模型，即式（7），就可得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)支鏈的輸入值ri（i＝1，3，4），至此，已建立混聯(lián)機(jī)器人完整的位置反解模型。

3.3 算 例

3.3.1 球面加工軌跡的實(shí)現(xiàn)

如圖13所示，假設(shè)擬加工工件的軌跡為一球面，設(shè)球面半徑為R，令刀頭當(dāng)前所加工圓軌跡的半徑為r，則工件球心到加工圓心的距離為m＝，且該球心到機(jī)床坐標(biāo)系｛0｝的x0O0y0平面的距離為h，球心在該坐標(biāo)系x軸坐標(biāo)為x0，在y軸的坐標(biāo)為0，當(dāng)前加工點(diǎn)與圓心連成的直線與y軸的夾角為α。

圖13 工件擬加工軌跡Fig.13 Processing trajectory on workpiece

則當(dāng)前加工點(diǎn)的位置坐標(biāo)為

這里要求加工時(shí)刀具法線要與工件加工點(diǎn)切平面垂直，所以刀具的指向應(yīng)為

因?yàn)榧庸ぜ潭ú粍?dòng)，故在任意時(shí)刻刀具和加工件在的｛0｝系的x、y、z坐標(biāo)相同，則｛6｝系坐標(biāo)原點(diǎn)在｛0｝系下x、y、z坐標(biāo)分別為

將式（15）和式（16）代入式（13）可得

將求得的θ2、θ4和d3代入式（6），可得

代入式（5）和式（7）可求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)3個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的輸入位移為

3.3.2 仿真驗(yàn)證

給定一組具體的混聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)物理尺寸參數(shù)和工件加工軌跡參數(shù)，如下：a＝521.68mm，b＝664.59mm，c＝302.20mm，上下平臺(tái)的兩個(gè)頂點(diǎn)三角形相似，三支分支桿的初始長度r10＝r30＝1 186.94mm，r40＝1 210.79mm，l1＝299.95mm，l2＝433.17mm，R＝200mm，r＝120mm，m＝160mm，h＝600mm，H＝2 090mm。兩平臺(tái)初始距離d0可根據(jù)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)求得為1163.25mm，將具體參數(shù)代入式（17）可得

則將反解計(jì)算結(jié)果代入正解方程，可求解得基于2RPU-UPR-RPR機(jī)構(gòu)混聯(lián)機(jī)器人末端刀具的指向與位置軌跡。圖14所示為刀具方位軌跡，從圖中可以發(fā)現(xiàn)該指向與前面直接根據(jù)加工工件軌跡得到的刀具指向是完全一致的。加工工件位置軌跡是由機(jī)器人機(jī)構(gòu)末端位置決定的，由此得到的工件位置軌跡如圖15所示，從圖中可以看出工件軌跡為一個(gè)圓，且其半徑為120mm，該工件軌跡與前面給定的預(yù)加工工件軌跡是完全一致的。

圖14 刀具方位軌跡Fig.14 Path of tool’s direction

圖15 工件加工軌跡Fig.15 Processing path of workpiec

前面分析過程充分說明了該混聯(lián)機(jī)器人可實(shí)現(xiàn)工件復(fù)雜曲面的聯(lián)動(dòng)加工，同時(shí)也驗(yàn)證了建立的該混聯(lián)機(jī)器人位置模型是正確的。

4 結(jié) 論

1）首次提出了一種極少運(yùn)動(dòng)副四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其含有的被動(dòng)單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)僅為12，與現(xiàn)有同類機(jī)構(gòu)相比均要少。

2）提出了極限約束力螺旋系的概念，基于螺旋理論約束螺旋與運(yùn)動(dòng)螺旋之間的對偶關(guān)系，論證得到了四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一種極限約束力螺旋系，證明了所提出的機(jī)構(gòu)是目前同類機(jī)構(gòu)中單自由度運(yùn)動(dòng)副最少的，有益得補(bǔ)充了并聯(lián)機(jī)構(gòu)學(xué)理論。

3）基于含極少運(yùn)動(dòng)副四支鏈2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)造了一類五軸混聯(lián)機(jī)器人，求解得到了該混聯(lián)機(jī)器人位置反解的顯示解析表達(dá)式，并以球面軌跡為例驗(yàn)證了五軸混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型的可行性以及反解算法的正確性。該混聯(lián)機(jī)器人單自由度運(yùn)動(dòng)副數(shù)目少，具有較大的應(yīng)用前景。