胡自全，何秀鳳

(1.西安市地下鐵道有限責(zé)任公司，陜西 西安 710018；2.河海大學(xué) 衛(wèi)星及空間信息應(yīng)用研究所，江蘇 南京 210098)

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基于自適應(yīng)Kalman濾波的邊坡變形預(yù)測研究

胡自全1,2，何秀鳳2

(1.西安市地下鐵道有限責(zé)任公司，陜西 西安 710018；2.河海大學(xué) 衛(wèi)星及空間信息應(yīng)用研究所，江蘇 南京 210098)

摘要：研究Kalman濾波和自適應(yīng)Kalman濾波算法，結(jié)合邊坡監(jiān)測點(diǎn)的運(yùn)動模型將其應(yīng)用于邊坡變形監(jiān)測動態(tài)數(shù)據(jù)變形預(yù)測。利用小灣水電站二號山梁高邊坡GPS監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。結(jié)果表明，自適應(yīng)Kalman濾波在邊坡三維形變預(yù)測及變形速率估算方面有很好的預(yù)測結(jié)果。

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)Kalman濾波；變形監(jiān)測；邊坡；變形預(yù)測

使用Kalman濾波處理動態(tài)數(shù)據(jù)能夠有效消除隨機(jī)干擾噪聲，取得接近真實(shí)的數(shù)據(jù)信息[1]。變形監(jiān)測過程中，變形體均處于一個(gè)動態(tài)變化的過程[2-3]，獲得的監(jiān)測數(shù)據(jù)，除包含變形過程中各監(jiān)測試塊變形體的變化狀態(tài)外，還有各種干擾噪聲。當(dāng)采用Kalman濾波實(shí)時(shí)處理變形監(jiān)測所獲得實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，能夠得到較好的效果[4-5]。近年來，工程界在多方面開展了關(guān)于Kalman濾波的研究工作，特別是在變形監(jiān)測領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[6-7]。

Kalman濾波方程在應(yīng)用過程中要求函數(shù)模型和隨機(jī)模型可靠，估計(jì)方法合理。但是，變形監(jiān)測過程中變形體一般都是無規(guī)則運(yùn)動，因此，構(gòu)造精確的函數(shù)模型非常困難。Kalman濾波應(yīng)用中一般是基于驗(yàn)前統(tǒng)計(jì)信息來獲取隨機(jī)模型先驗(yàn)信息，在難以精確表征當(dāng)前物理顯示和觀測顯示新的情況下，任何統(tǒng)計(jì)信息都有可能失真[8-10]。在Kalman濾波過程中，由估計(jì)過程自適應(yīng)地調(diào)整、更新先驗(yàn)信息的算法即是自適應(yīng)Kalman濾波[1]。

1Kalman濾波方程

Kalman濾波算法的系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測方程的離散化形式為[3]

(1)

并有

(2)

式中：Xk為k時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量，Φk,k-1為k-1到k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Γk,k-1為k-1到k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)噪聲輸入矩陣，Ζk為k時(shí)刻系統(tǒng)觀測向量，Hk為k時(shí)刻系統(tǒng)的觀測矩陣，Wk-1為k-1時(shí)刻動態(tài)噪聲向量，Vk為k時(shí)刻系統(tǒng)觀測噪聲[3]。根據(jù)最小方差線性遞推估計(jì)，可以推算得到標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波的遞推公式[3]。

狀態(tài)預(yù)測向量為

(3)

其協(xié)方差陣

(4)

新息向量及其協(xié)方差矩陣

(5)

(6)

Kalman濾波增益矩陣

(7)

狀態(tài)估計(jì)向量的協(xié)方差陣

(8)

狀態(tài)估計(jì)向量

(9)

2自適應(yīng)Kalman濾波算法

自適應(yīng)濾波解的極值形式為[1]

(10)

(11)

(12)

求得

(13)

(14)

代入觀測方程

(15)

代入式(14)得

(16)

令新的增益矩陣為

(17)

狀態(tài)參數(shù)自適應(yīng)濾波解

(18)

(19)

可寫成

(20)

3監(jiān)測點(diǎn)運(yùn)動模型

3.1狀態(tài)方程

例如邊坡監(jiān)測點(diǎn)i在時(shí)刻t的位移量為si(t)，變形速率為vi(t)，把變形速率作為一階Markov隨機(jī)過程，可得方程[4]

(21)

其中τ為相關(guān)時(shí)間常數(shù)。設(shè)監(jiān)測點(diǎn)三維形變量及其速率狀態(tài)向量為

(22)

并有

(23)

式(21)可寫為

(24)

將式(24)離散化得

(25)

有

(26)

(27)

3.2觀測方程

考慮邊坡監(jiān)測點(diǎn)i在t時(shí)刻的觀測方程為[3]

(28)

設(shè)

(29)

觀測方程離散化為

(30)

其中

(31)

4試驗(yàn)研究與結(jié)果分析

小灣水電站2#山梁GPS變形監(jiān)測網(wǎng)由2個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)和14個(gè)邊坡監(jiān)測點(diǎn)組成[11]，見圖1?；鶞?zhǔn)點(diǎn)B1位于右岸、B2位于左岸；監(jiān)測點(diǎn)TP-25、TP-22、TP-30、TP-36、TP-29A、TP-35聯(lián)接在一臺GPS多天線控制器上，TP-01、TP-04、TP-09、TP-14、TP-15、

TP-18、TP-29、TP-33接在另一臺GPS多天線控制器[12-13]。2個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)和14個(gè)邊坡監(jiān)測點(diǎn)使用4臺NOVATEL GPS接收機(jī)和4套GPRS無線數(shù)據(jù)傳輸終端。該系統(tǒng)自2004-06建成運(yùn)行，至今獲得了大量的觀測數(shù)據(jù)。

圖1　小灣水電站二號山梁GPS監(jiān)測網(wǎng)示意圖

本文選取TP-29、TP-30、TP-35和TP-36 4個(gè)監(jiān)測點(diǎn)，2004-06-15—2006-09-16共800 d 1600期的觀測數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)見圖2。

圖2　TP-30點(diǎn)原始監(jiān)測數(shù)據(jù)時(shí)間序列圖

應(yīng)用Kalman濾波及自適應(yīng)Kalman濾波，建立監(jiān)測點(diǎn)的運(yùn)動模型的狀態(tài)方程和觀測方程，選取初始值，確定最優(yōu)自適應(yīng)因子，估計(jì)其形變量及形變速率，部分結(jié)果如圖3、圖4所示。并根據(jù)參數(shù)估值的均方誤差(MSE)估計(jì)濾波的精度[1,13-15]，結(jié)果見表1、表2。

從圖3、圖4可以看到，Kalman濾波和自適應(yīng)Kalman濾波三維形變?yōu)V波曲線經(jīng)過短暫的抖動后逐漸趨于平穩(wěn)，最后接近某一穩(wěn)定值。大部分?jǐn)?shù)據(jù)在經(jīng)過15 d即30組數(shù)據(jù)的情況下就達(dá)到了穩(wěn)定，表明模型收斂速率快，趨于平穩(wěn)。其中，自適應(yīng)Kalman濾波的收斂速率快于Kalman濾波，濾波曲線較為平滑，且自適應(yīng)Kalman濾波的三維形變速率濾波曲線的收斂速度和穩(wěn)定性顯然優(yōu)于Kalman濾波。

表1　監(jiān)測點(diǎn)濾波前后變形量中誤差　mm

表2　監(jiān)測點(diǎn)濾波前后變形速率中誤差　mm/d

圖3　TP-30點(diǎn)Kalman濾波結(jié)果

圖4　TP-30點(diǎn)自適應(yīng)Kalman濾波結(jié)果

由表1、表2知，相對于原始值的中誤差，預(yù)報(bào)值和Kalman濾波值的中誤差在三維位移方向和速度方向上都有明顯提高。自適應(yīng)Kalman濾波較Kalman濾波精度更高，尤其在三維速度方向上的精度。也反映出了與圖形直觀分析一致的特性，即自適應(yīng)Kalman濾波方法處理變形監(jiān)測的動態(tài)數(shù)據(jù)的精度和穩(wěn)定性優(yōu)于Kalman濾波方法。

5結(jié)束語

采用合理的理論方法對邊坡變形時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，并預(yù)測監(jiān)測點(diǎn)的形變量及形變速率，是變形監(jiān)測的重要目的之一。在動態(tài)的變形監(jiān)測系統(tǒng)中自適Kalman濾波在控制狀態(tài)方程異常信息隨狀態(tài)參數(shù)估值和均方誤差影響方面均有較好的效果。利用小灣水電站二號山梁高邊坡4個(gè)GPS監(jiān)測點(diǎn)監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)研究表明，自適應(yīng)Kalman濾波較標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波在邊坡三維形變預(yù)測及變形速度估算上都有更高的預(yù)測精度和穩(wěn)定性。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.08.008

收稿日期：2015-04-29

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50579013);國家自然科學(xué)基金委員會和二灘水電開發(fā)有限責(zé)任公司雅礱江水電開發(fā)聯(lián)合研究基金資助項(xiàng)目(50579110)

作者簡介：胡自全(1983-)，男，工程師.

中圖分類號：P228;TU196

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)08-0033-05

Prediction of slope deformation based on adaptive Kalman filtering

HU Ziquan1,2，HE Xiufeng2

(1.Xi’an Metro Co.，Ltd，Xi’an 710018，China；2.Institute of Satellite Navigation and Spatial Information System，Hohai University，Nanjing 210098，China)

Abstract：It presents the Kalman filter and the adaptive Kalman filtering algorithm.Combined with the establishment of monitoring movement of the slope model，this algorithm is applied to the slope monitoring data dynamic deformation prediction.The experiment uses GPS monitoring data on the 2nd ridge slope of Xiaowan Hydropower Station，which shows that the adaptive Kalman filtering in the slope three-dimensional deformation prediction and rate estimation has a good predictive result.

Key words：adaptive Kalman filtering；deformation monitoring；slope；deformation prediction