馬符訊，席瑞杰，徐　南

(1.武漢大學(xué) 衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079；2.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；3.清華大學(xué) 地球系統(tǒng)科學(xué)研究中心，北京 100084)

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K-GM(1，1)模型在巖體變形監(jiān)測中的應(yīng)用

馬符訊1，席瑞杰2，徐南3

(1.武漢大學(xué) 衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079；2.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；3.清華大學(xué) 地球系統(tǒng)科學(xué)研究中心，北京 100084)

摘要：傳統(tǒng)GM(1，1)模型存在著長期預(yù)測效果差、模型精度不高等問題，卡爾曼濾波能夠排除建模過程中隨機干擾因素，濾波值能夠反映更真實的數(shù)據(jù)情況。為了能更好地提高變形監(jiān)測的預(yù)測精度，基于傳統(tǒng)GM(1，1)模型和卡爾曼濾波，提出K-GM(1，1)模型，利用該模型對巖體變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行建模預(yù)測，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測結(jié)果進行對比分析，結(jié)果表明，K-GM(1，1)模型具有較高的預(yù)測精度，可作為變形監(jiān)測的一種新方法。

關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波；GM(1，1)模型；預(yù)測；變形監(jiān)測

1基于卡爾曼濾波的灰色模型

1.1傳統(tǒng)GM(1，1)模型

設(shè)某系統(tǒng)原始觀測序列：X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)}，X(0)一次累加生成X(1)序列：X(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)}，其中

(1)

當(dāng)X(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)}是時間t的連續(xù)可微函數(shù)并滿足一階微分方程：

(2)

式中：參數(shù)a為發(fā)展系數(shù)，表征系統(tǒng)的發(fā)展走勢；參數(shù)b為灰色作用量，表征數(shù)據(jù)變化的關(guān)系。

則GM(1，1)的時間響應(yīng)函數(shù)

(3)

最后通過累減得到預(yù)測值：

(4)

1.2K-GM(1,1)模型

卡爾曼濾波是一種通過對被提取信號有關(guān)的觀測量的算法估計得出所需信號的濾波方法。離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波的動態(tài)方程和量測方程

(5)

(6)

式中：xk,ωk-1分別為k時刻的狀態(tài)變量和動態(tài)噪聲;φk,k-1為k-1時刻到k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；zk,Hk,vk分別為k時刻的觀測向量、量測方程系數(shù)矩陣和量測噪聲。

離散線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題本質(zhì)上就是根據(jù)觀測向量z1,z2,…,zk的數(shù)學(xué)模型，求得第tj時刻的狀態(tài)向量xk最優(yōu)估值的問題，一般分為3種情況：

卡爾曼濾波過程的求解結(jié)果為

(7)

(8)

其中

Jk=

變形監(jiān)測工程中，通常影響因素較多且相對復(fù)

雜，變形時間序列中不僅存在白噪聲，可能還存在著有色噪聲，從而產(chǎn)生建模誤差。本文構(gòu)建的K-GM(1,1)模型，設(shè)定卡爾曼濾波過程的狀態(tài)參數(shù)為監(jiān)測點的位移量及其位移速度，設(shè)定動態(tài)噪聲為監(jiān)測點的位移加速度，故卡爾曼濾波動態(tài)方程為

式中：xk,vk,ak分別為監(jiān)測點的位移量，位移速度和加速度;ωk-1為動態(tài)噪聲;tk-1表示時間。K-GM(1,1)模型處理流程如圖1所示。

圖1　K-GM(1,1)模型處理流程

2工程實例

為保證隧道建成后洞口巖體的安全性，于2014年開始對其進行健康監(jiān)測，監(jiān)測周期為1個月，同時為驗證K-GM(1，1)模型的有效性，本文以某隧道出口洞頂巖體監(jiān)測點2014年前11期的沉降監(jiān)測值為例,如表1 所示，其中前5期的實測值為原始序列，試驗過程為首先利用卡爾曼濾波對其建模數(shù)據(jù)進行處理，剔除隨機擾動誤差的影響，再運用灰色理論對濾波值進行建模，并預(yù)測后6期的變形發(fā)展趨勢，最后計算實測值與預(yù)測結(jié)果的殘差，驗證模型的可靠性。

表1　某巖體監(jiān)測點2014年前11期的沉降監(jiān)測值

2.1傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測

首先選取原始觀測序列的前5期進行建模，再利用傳統(tǒng)的GM(1,1)模型對后6期數(shù)據(jù)進行預(yù)測，通過計算求得原始觀測值和預(yù)測值的殘差，對預(yù)測結(jié)果進行評估。傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測結(jié)果如表2所示。

由表2可以看出，傳統(tǒng)的GM(1,1)模型預(yù)測精度總體良好，但存在隨預(yù)測時間增加，預(yù)測精度下降的情況，傳統(tǒng)的GM(1,1)模型在長期預(yù)測方面模型的預(yù)測精度不能得到很好的保證，不能反映巖體最真實的變形規(guī)律和變形趨勢。

表2　傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測

2.2K-GM(1,1)模型預(yù)測

表3　原始序列的卡爾曼濾波結(jié)果

由表3可以看出，濾波值由第二期開始收斂，協(xié)方差基本也穩(wěn)定在0.001以內(nèi)，同時其變化趨勢為越來越小，逐漸趨近于0。在此基礎(chǔ)上，本文再利用傳統(tǒng)GM(1,1)模型對前5期的卡爾曼濾波值進行建模預(yù)測，后6期的預(yù)測結(jié)果如表4所示。

表4　K-GM(1,1)模型預(yù)測　mm

圖2　K-GM(1,1)模型與傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測值比較

圖2所示為傳統(tǒng)GM(1,1)模型與K-GM(1,1)模型預(yù)測值對比結(jié)果，從圖2中可以看出，K-GM(1,1)模型預(yù)測精度總體良好，優(yōu)于傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)測精度，但隨著預(yù)測時間的增加，該模型也呈現(xiàn)了預(yù)測精度下降的趨勢，這與GM(1,1)的模型特點有關(guān)，卡爾曼濾波的作用只是剔除建模數(shù)據(jù)中的干擾因素，并不能排除預(yù)測過程中的誤差源。K-GM(1,1)模型的預(yù)測值相比傳統(tǒng)GM(1,1)模型更接近真實的變形值。因此，經(jīng)過改進K-GM(1,1)模型可以更好的反映巖體的變形規(guī)律和變形趨勢。

3結(jié)論

本文利用卡爾曼濾波和傳統(tǒng)GM(1,1)模型構(gòu)造出K-GM(1,1)模型，利用該模型對巖體變形數(shù)據(jù)進行分析預(yù)測，并與傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)測結(jié)果進行對比分析，結(jié)論：K-GM(1，1)模型的預(yù)測精度優(yōu)于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型，但依然存在著長期預(yù)測精度低的問題，這與傳統(tǒng)GM(1,1)的模型原理有關(guān)，今后可引入自適應(yīng)動態(tài)調(diào)節(jié)因子，建立動態(tài)GM(1,1)模型解決該問題?？傊疚奶岢龅腒-GM(1,1)模型程序?qū)崿F(xiàn)簡單，預(yù)測精度高，具有更好的預(yù)測效果，故K-GM(1，1)模型在巖體變形預(yù)測中具有較高的應(yīng)用價值。

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[責(zé)任編輯：李銘娜]

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.08.010

收稿日期：2015-05-07；修回日期：2015-06-25

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(41374033)

作者簡介：馬符訊(1992-)，男，碩士研究生.

中圖分類號：F291.1

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)08-0042-03

Application of K-GM(1，1)model to the deformation monitoring of rocks

MA Fuxun1，XI Ruijie2，XU Nan3

(1.Research Center of GNSS,Wuhan University,Wuhan 430079,China；2.School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan 430079,China；3.Center of Earth System Sciences，Tsinghua University,Beijing 100084,China)

Abstract：There are some problems in the tradition GM(1,1) forecast models such as the bad effect in the long term prediction and the low accuracy and so on.Therefore,Kalman filter method has the advantage of eliminating random interference factors in the process of modeling,and the filtered data can reflect the real situation of the project.In order to improve the prediction accuracy of deformation monitoring,this paper proposes to use the K-GM (1,1) model,based on the GM (1,1) model and Kalman filter,and to analyze the rock mass deformation monitoring data.The results indicate that comparing with the GM(1,1) model,the K-GM(1,1) model can achieve a higher prediction accuracy,which can be used as a new method for deformation monitoring.

Key words：Kalman filtering;GM(1，1)；forecast；deformation monitoring