侯雯昕（華東師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)系，上海 200062）

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向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判定方法

侯雯昕
（華東師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)系，上海 200062）

摘 要：向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)理論的基本概念，它與向量空間、子空間等概念有密切關(guān)系，同時(shí)在解析幾何以及常微分方程中有廣泛應(yīng)用.本文主要研究的是向量組線性相關(guān)性的判定方法，包括利用線性相關(guān)性的定義、行列式的值、矩陣的秩及齊次線性方程組的解等判定向量組的線性相關(guān)性，并比較了幾種不同判定方法的適用條件.

關(guān)鍵詞：向量組；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)；行列式；矩陣

向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判定較難理解和掌握，實(shí)際上，向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)是相對(duì)的，只要掌握了線性相關(guān)的判定，線性無(wú)關(guān)的判定也就沒(méi)有問(wèn)題了.因此，本文主要論述了向量組的線性相關(guān)性的幾種判定方法.

1 線性相關(guān)及相性無(wú)關(guān)的概念及性質(zhì)

1.1 定義

設(shè)有n維向量組a1,a2,…,an，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,kn使k1a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱(chēng)向量組a1,a2,…,an線性相關(guān)；如果僅當(dāng)k1,k2,…,kn全為0時(shí)，上式k1a1+k2a2+…+knan=0才成立，則稱(chēng)向量組a1,a2,…,an線性無(wú)關(guān).

1.2 性質(zhì)

由向量組的概念易知向量組的線性相關(guān)性具有以下簡(jiǎn)單性質(zhì)：

（1）含有零向量的向量組線性相關(guān).

（2）若單個(gè)向量a≠0，則向量組是線性無(wú)關(guān)的；相反，則向量組線性相關(guān).

（3）含有n+1個(gè)向量的n維向量組必定線性相關(guān).

（4）向量組中一部分向量線性相關(guān)，則該向量組線性相關(guān)；若向量組線性無(wú)關(guān)，則其任一部分向量組線性無(wú)關(guān).

因此，一個(gè)向量組不是線性相關(guān)就是線性無(wú)關(guān)，為了更好的理解線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)，下面列出它們之間的不同點(diǎn).

（1）定義不同：線性相關(guān)的向量組是,存在不全為零的一組數(shù)k1,k2,…,kn使k1a1+k2a2+…+knan=0成立而線性無(wú)關(guān)的向量組,只有當(dāng)k1=k2=…=kn=0,才有k1a1+k2a2+…+knan=0成立.

（2）線性表示問(wèn)題：線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量能由其余n-1個(gè)向量線性表示；而線性無(wú)關(guān)的向量中任何一個(gè)向量都不能由其余n-1個(gè)向量線性表示.

2 向量組線性相關(guān)性的判定

2.1 利用定義法判定

這是判定向量組的線性相關(guān)的基本方法,即給定向量組A：a1,a2,…,an如果存在不全為零的數(shù)k1,k2, …,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱(chēng)向量組A是線性相關(guān)的.否則，如果不存在不全為零的數(shù)k1, k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立.也就是說(shuō)，只有當(dāng)k1,k2,…,kn全為零，才有k1a1+k2a2+…+knan=0,則稱(chēng)向量組A是線性無(wú)關(guān)的.

例如，證明向量組β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+ α4，β4=α4+α1線性相關(guān)，則需要證明設(shè)存在4個(gè)數(shù)k1,k2,k3,k4，使得k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0.因此需將β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α4，β4=α4+α1代入上式有：

k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+k3（α3+α4）+k4（α4+α1）=0，即

取k1=k3=1,k2=k4=-1，則有k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0，由線性相關(guān)性的定義可知，向量組β1,β2,β3,β4線性相關(guān).

2.2 利用齊次線性方程組的解判定

對(duì)于各分量都給出的向量組a1,a2,…,an，若以A=［a1,a2,…,an］為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組AX=0有非零解則此向量組a1,a2,…,an是線性相關(guān)的；若以A=［a1,a2,…,an］為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組AX=0只有零解，則此向量組a1,a2,…,an是線性無(wú)關(guān)的.例如，判斷x1=（-1,1,1），x2=（-2,1,2），x3=（-1,2,-1）的線性相關(guān)性.需要令k1x1+k2x2+…+knxn=0,即：將三組值代入后解方程組，可得k1=0,k2=0,k3=0，

故x1,x2,x3是線性無(wú)關(guān)的.

2.3 利用矩陣的秩判定

設(shè)向量組A：a1,a2,…,am是由m個(gè)n維列向量所組成的向量組，則向量組A的線性相關(guān)性可由向量組A所構(gòu)成的矩陣A=（a1,a2,…,am）的秩的大小來(lái)進(jìn)行判定.

（1）當(dāng)R（A）=m時(shí)，則向量組A：a1,a2,…,am是線性無(wú)關(guān)的；

（2）當(dāng)R（A）＜m時(shí)，則向量組A：aa1,a2,…,am是線性相關(guān)的.

2.4 利用行列式的值來(lái)判定

（1）若向量組A：a1,a2,…,am是由m個(gè)m維列向量所組成的向量組，且向量組A所構(gòu)成的矩陣A= （a1,a2,…,am），即A為m階方陣，則有：

①當(dāng)|A|=0時(shí)，則向量組A：a1,a2,…,am是線性相關(guān)的；

②當(dāng)|A|=0時(shí)，則向量組A：a1,a2,…,am是線性無(wú)關(guān)的.

（2）若向量組A：a1,a2,…,am的個(gè)數(shù)m與維數(shù)n不同時(shí)，則有：

①當(dāng)m＞n時(shí)，則向量組A：a1,a2,…,am是線性相關(guān)的；

②當(dāng)m＜n時(shí)，轉(zhuǎn)化為上述來(lái)進(jìn)行判定，即選取m個(gè)向量組成的m維向量組，若此m維向量組是線性相關(guān)的，則添加分量后，得到的向量組也是線性相關(guān)的.

2.5 利用反證法判定

有些題目中，直接證明結(jié)論常常比較困難，而從結(jié)論的反面入手卻很容易推出一些與已知條件或已知的定義、定理、公理相悖的結(jié)果，從而說(shuō)明原結(jié)論成立.

例如，向量組A：a1,a2,…,am中任一向量ai不是它前面i-1個(gè)向量的線性組合，且ai≠0，證明向量組A：a1,a2,…,am是線性無(wú)關(guān)的.

可用反證法證明，假設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則存在不全為零的m個(gè)數(shù)k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0.由此可知,km=0,否則由上式可得

即am可由它前面m-1個(gè)向量線性表示,這與題設(shè)矛盾,因此km=0.從而有k1a1+k2a2+…km-1am-1=0.同理可得km-1=km-2=…=k3=k2=0，最后得到k1a1=0因?yàn)閍i≠0,所以k1=0,但這又與k1,k2…km不全為零矛盾.因此，向量組A：a1,a2,…,am線性無(wú)關(guān).

2.6 利用向量組在線性空間中象的線性關(guān)系判定

線性空間V中向量組a1,a2,…,ar線性相關(guān)的充要條件是它們的象σ（a1），σ（a2）…σ（ar）線性相關(guān).因?yàn)橛?k1a1+k2a2+…+krar=0可得k1σ（a1）+k2σ（a1）+…+krσ （ar）=00.進(jìn)而有σ（k1a1+k2a2+…+krar）=0.

2.7 利用方程組法判定

方程組法就是將向量組的線性相關(guān)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的有無(wú)非零解的問(wèn)題.對(duì)于各分量都給出的向量組a1,a2,…,as線性相關(guān)的充要條件是以a1,a2,…,as的列向量為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的有非零解；若齊次線性方程組只有零解，則向量組線性無(wú)關(guān).

3 小結(jié)

本文主要對(duì)向量組線性相關(guān)性的定義以及性質(zhì)進(jìn)行了分析，并且給出了一些判定方法，由于向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中一個(gè)基礎(chǔ)和重點(diǎn)的問(wèn)題，僅限于這些討論是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還有待我們作進(jìn)一步的研究.

參考文獻(xiàn)：

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中圖分類(lèi)號(hào)：O151.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）05-0004-02

收稿日期：2016-03-23