◇　山東　藝璇　北京　童嘉森(特級(jí)教師)

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童嘉森數(shù)學(xué)之窗

關(guān)于一道函數(shù)題的初步探討

◇山東藝璇1北京童嘉森2(特級(jí)教師)

當(dāng)采集一個(gè)信號(hào)后，通過控制系統(tǒng)直接數(shù)字頻率合成，輸出與該頻率相關(guān)的信號(hào)，然而輸入和輸出信號(hào)間的相位差是可控的.從聲場(chǎng)的線性疊加原理可知，頻率相同、同向傳播的兩列聲波會(huì)在空間中產(chǎn)生相加或者相消的干涉現(xiàn)象，干涉后的波峰波谷，完全取決于兩列聲波的相位和幅值的關(guān)系[11-12].

解答完該題后,不妨研究一下這個(gè)函數(shù).由于f(x)是非減函數(shù),并且具有題設(shè)的3條性質(zhì),在此我們嘗試對(duì)函數(shù)f(x)的性質(zhì)作進(jìn)一步探討.

1函數(shù)f(x)的對(duì)稱性

2函數(shù)f(x)部分特殊點(diǎn)的通項(xiàng)公式

……

同時(shí)還有:

……

同時(shí),能夠得出

按照這個(gè)思路繼續(xù)推算下去,我們發(fā)現(xiàn):

……

3函數(shù)f(x)的不連續(xù)性及大致圖象

根據(jù)函數(shù)f(x)部分特殊點(diǎn)的通項(xiàng)公式以及計(jì)算過程可以看出,任意一個(gè)位于區(qū)間[0,1]上的有理數(shù)都可由性質(zhì)②、③和非減函數(shù)的特性求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 而對(duì)于無理數(shù)來說,雖然部分無理數(shù)能通過比較相鄰2個(gè)有理數(shù)的大小,來求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,但存在部分無理數(shù),無法根據(jù)題設(shè)性質(zhì)求得函數(shù)值．因此,函數(shù)f(x)是不連續(xù)的. 對(duì)于這一結(jié)論,我們可以通過反證法證明.

假設(shè)對(duì)于任意無理數(shù)x0∈[0,1],都能由題設(shè)條件求得唯一確定的函數(shù)值f(x0)與之對(duì)應(yīng)．因?yàn)闊o理數(shù)無法借助性質(zhì)②、③求值,那么必然存在與x0接近的2個(gè)有理數(shù)x1、x2(x1< x0

但是我們?yōu)榱四軌虺醪搅私夂瘮?shù)f(x)的上述性質(zhì),不妨作出其大致的圖象(圖1)．

圖1

(作者單位