況雨春，吳龍梅，屠俊文，吳英強，董宗正

1.西南石油大學(xué)機電工程學(xué)院，四川成都610500

2.成都九鼎科技（集團）有限公司，四川成都610100

3.中國石油技術(shù)開發(fā)公司，北京西城100009

4.中國石油長慶油田公司油田開發(fā)處，陜西西安751500

復(fù)雜螺旋面包絡(luò)銑刀位軌跡仿真方法

況雨春1*，吳龍梅2，屠俊文3，吳英強4，董宗正1

1.西南石油大學(xué)機電工程學(xué)院，四川成都610500

2.成都九鼎科技（集團）有限公司，四川成都610100

3.中國石油技術(shù)開發(fā)公司，北京西城100009

4.中國石油長慶油田公司油田開發(fā)處，陜西西安751500

針對復(fù)雜螺旋曲面加工誤差問題，開展了對其空間包絡(luò)銑刀位軌跡算法的研究。研究中采用計算機仿真的數(shù)值計算方法，將加工過程中刀具-工件的動態(tài)嚙合關(guān)系通過時間離散和空間離散轉(zhuǎn)換成一個空間幾何問題，通過建立刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的空間三維模型，并推導(dǎo)實現(xiàn)刀具-工件嚙合關(guān)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，并將刀具與工件兩曲面的最小有向距離的求解轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€二維問題，最終建立了刀位軌跡仿真算法，獲得了編制數(shù)控代碼的參數(shù)信息。試樣加工結(jié)果表明，利用該方法得到刀位軌跡參數(shù)進而編制的數(shù)控加工程序，能夠加工出滿足精度要求的螺旋面。同時也分析了加工廓形誤差分布及其影響因素。

螺旋曲面；數(shù)控加工；刀位軌跡；數(shù)值仿真；最小有向距離

引言

螺桿機械螺旋面銑削加工原理主要有成形銑和包絡(luò)銑。前者不僅加工效率低，而且對于不同尺寸、型號的螺桿要配備不同的刀具以及使用過程中磨損導(dǎo)致的誤差等因素，僅適用于單件生產(chǎn)及精度要求不高的場合；后者將包絡(luò)銑削技術(shù)與數(shù)控技術(shù)結(jié)合，采用盤銑刀包絡(luò)銑削螺桿，比成形銑削效率高、柔性好、成本低，是目前加工復(fù)雜螺旋曲面采用最多的方法之一［1-5］。包絡(luò)銑削包括截面包絡(luò)銑削和空間包絡(luò)銑削兩種刀位軌跡插補原理，截面包絡(luò)銑削是將刀具與工件的空間嚙合關(guān)系簡化為工件截面內(nèi)的平面問題，這會導(dǎo)致工件加工過程中出現(xiàn)干涉現(xiàn)象，只適合于刀尖圓弧半徑小、加工小螺旋角螺桿的情況；空間包絡(luò)銑削的刀位軌跡按照工件與刀具的實際空間嚙合情況進行計算，可以判斷干涉情況，并加以消除，加工精度高，從20世紀90年代中期以后已經(jīng)發(fā)展成為國際上主要的包絡(luò)銑削理論［6- 8］。

計算刀位軌跡數(shù)控代碼的數(shù)學(xué)模型及算法是空間包絡(luò)銑削的關(guān)鍵，其主要原理為：以工件螺旋面及刀具圓環(huán)面方程為基礎(chǔ)，基于切削點法向量重合的原理建立刀具-工件嚙合軌跡模型；以嚙合點及工件與刀具的相互幾何關(guān)系為基礎(chǔ)，建立包含刀具中心坐標(biāo)的非線性微分方程組，從而得到刀位軌跡數(shù)學(xué)模型；最后通過數(shù)值方法的求解以及誤差控制的插補算法最后得到數(shù)控代碼［1］。該方法數(shù)學(xué)理論較為復(fù)雜，編程實現(xiàn)有一定難度，對于非連續(xù)螺旋面截形方程在求解過程中需要做特殊處理。本文基于計算機仿真的思想，提出了一種數(shù)學(xué)原理簡單、易于編程實現(xiàn)的刀位軌跡計算方法，通過對加工過程進行時間離散化，以及工件和刀具的三維模型進行空間離散化來求解刀位軌跡，而無需進行曲線擬合和復(fù)雜的數(shù)值求解?；谠摲椒ㄉ傻臄?shù)控代碼加工精度高，同時也能適用于多種復(fù)雜螺旋面的空間包絡(luò)銑刀位軌跡的計算。

1 基本原理

假設(shè)已知螺旋面截形點坐標(biāo)及圓盤銑刀基本尺寸參數(shù)，采用時間離散化和空間離散化的數(shù)值仿真思想，將連續(xù)的切削行為離散化成離散的時間點上兩個空間曲面的嚙合關(guān)系，并通過算法直接求解各時刻所對應(yīng)的刀位點，而不需要推導(dǎo)描述嚙合軌跡及刀位軌跡方程。

（1）時間離散化：將刀具對螺旋面進行空間包絡(luò)的連續(xù)切削過程離散化為多個時刻發(fā)生的嚙合行為的集合，依序求解出在每個時刻上刀具的刀位點集。

（2）空間離散化：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，用垂直于刀具中心軸的等間距平面將刀具和工件的空間曲面離散化為一一對應(yīng)的空間曲線對。沿進刀方向，各對應(yīng)曲線對間均存在一個最小距離，所有對應(yīng)曲線對間最小距離的最小值即為兩曲面間的最小有向距離，其對應(yīng)的點即為刀具沿進刀方向進給時與目標(biāo)螺旋面的嚙合點。

由此，可以反推得到刀具的刀位軌跡點集，并依據(jù)確定的插補原理，可以按照數(shù)值迭代算法得到規(guī)定誤差限范圍內(nèi)的刀位軌跡插補點集，并最終得到數(shù)控加工代碼。通過求解最小有向距離來得到刀位軌跡是數(shù)值算法的核心，并且已經(jīng)有一些研究成果［9-11］，本文提出了一種簡單的非迭代尋優(yōu)算法。

2 刀位軌跡數(shù)值仿真方法

2.1 目標(biāo)螺旋面及刀具三維模型

2.1.1 螺旋面三維模型的建立

設(shè)螺旋面坐標(biāo)系為ox y z，端面截形為

式中：r 端面截形的矢徑；

u端面截形參變數(shù)；

i，j坐標(biāo)系ox y z中x，y方向的單位向量。

在坐標(biāo)系ox y z中，端面截形繞z軸旋轉(zhuǎn)的同時又沿z軸正方向移動，即為螺旋運動，得到空間螺旋曲面［12-14］。設(shè)端面廓形沿z軸正方向作導(dǎo)程為L的螺旋運動（以左旋為例），得到在ox y z坐標(biāo)系下一個導(dǎo)程內(nèi)的空間螺旋曲面，其表達式為

式中：x，y，z-空間螺旋曲面在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分量值，mm；

θ-螺旋角度參變量，rad；

p 螺旋參數(shù)，mm/rad。

基于上述模型在數(shù)值計算軟件中生成的螺旋面三維模型如圖1所示（模型軸向為z軸，端面為xo y坐標(biāo)平面）。

圖1 螺旋面三維模型Fig.1 The3Dmodelof helical surface

2.1.2 刀具三維模型的建立

在包絡(luò)銑中，所用的刀具為圓盤銑刀。這種刀具是在盤銑刀體上，安裝刀尖半徑為r的標(biāo)準(zhǔn)機夾刀片，設(shè)盤銑刀半徑為R0，盤銑刀截面示意圖如圖2a所示。在切削加工過程中，刀盤作主切削運動，以高速度旋轉(zhuǎn)形成回轉(zhuǎn)面，參與切削工件的刀尖圓弧部分繞其自身軸線旋轉(zhuǎn)形成回轉(zhuǎn)面，其截面如圖2b所示［1，15］。

圖2 盤銑刀截面示意圖Fig.2 Sketchmap of disc-typem illing cutter and cutting corner arc crosssection

建立刀具坐標(biāo)系OXYZ，圓環(huán)截面廓形（圓母線）的極坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型按式（3）建立，將其旋轉(zhuǎn)360°得到刀具三維模型，如圖3所示（模型豎直方向為Z軸方向，水平面為XOY坐標(biāo)平面），再通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)。

式中：R 圓環(huán)截面廓形上各點的極徑，mm；

Z 圓環(huán)截面廓形上各點的高度坐標(biāo)值，mm；

r 刀尖半徑，mm。

圖3 刀具三維模型Fig.3 The 3Dmodelof cutting tool

2.2 刀具-工件切削狀態(tài)幾何仿真模型

數(shù)值仿真計算時，需要將工件與刀具曲面用離散點坐標(biāo)表示，其各點的坐標(biāo)可表示成如下矩陣

工件坐標(biāo)矩陣

對于每一個離散時間間隔，將刀具與工件同時進行的運動分解為兩者的先后運動，即工件先繞ox y z坐標(biāo)系z軸轉(zhuǎn)動后，刀具再沿OXYZ坐標(biāo)系X方向向工件移動，工件繞z軸轉(zhuǎn)動，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可由旋轉(zhuǎn)變換矩陣式（6）實現(xiàn)。

式中：t3工件相對于起始位置繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度，rad。

數(shù)值計算時必須統(tǒng)一坐標(biāo)系，本文為了計算方便，以刀具的坐標(biāo)系為主坐標(biāo)系，在工件繞z軸轉(zhuǎn)動后，運用式（7）和式（8）將工件曲面離散點轉(zhuǎn)換到刀具坐標(biāo)系中，如圖4所示。其中，式（7）為沿x軸的平移矩陣，式（8）為繞x軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣［16- 18］。

式中：a 在x軸方向的平移量，mm；

B-工件繞x軸旋轉(zhuǎn)角度，其值為工件中徑螺旋角的余角，rad。

圖4 刀具與工件計算示意圖Fig.4 The com puting graphic of cutter and workpiece

因此，工件的仿真模型［x′、y′、z′］由式（9）可得，刀具的離散點坐標(biāo)矩陣不變，仍為［X、Y、Z］。2.3最小有向距離的數(shù)值算法

刀具曲面與工件螺旋面間最小有向距離的求解算法是本研究的核心，本文采用一種創(chuàng)新的三維模型空間離散化方法進行數(shù)值求解。最小有向距離原理已在文獻［9-11］中闡述，這里就不作介紹。

如圖4所示，假設(shè)刀具模型的軸向高度為2h，采用從?h到h垂直于Z軸的一系列等間距平面將刀具與工件曲面離散化，各垂直面的Z坐標(biāo)值記為Zh，在各平面上刀具與工件的廓形為兩條曲線點集。設(shè)一共有p個等間距平面，第k（k=1，2，3，…，p）個平面上刀具曲線點集記為Fk（X，Y），工件曲線點集記為fk（x′，y′），用工件曲線點集fk（x′，y′）各點間在Y軸上的步長統(tǒng)一刀具曲線點集Fk（X，Y）各點間在Y軸上的步長，如圖5所示，則該平面上兩曲線的X方向的最小距離Lk為

圖5 平面上刀具與工件曲線點集Fig.5 Point setson the curveof cutter and workpiece

兩曲面在X方向上的最小距離D為

D所對應(yīng)的曲面上的點即為兩曲面的嚙合點。兩曲面在X方向的最小距離求解過程如圖6所示。

圖6 求解流程圖Fig.6 Flow chartof solution algorithm

2.4 刀位軌跡的求解

實際加工中，刀具與工件的相對位置如圖7所示，刀具的坐標(biāo)系為OXYZ，工件的坐標(biāo)系為ox y z，刀具相對工件安裝角為e，此角度為螺旋曲面中徑處的螺旋角。加工過程中，工件繞z軸旋轉(zhuǎn)，刀具沿X軸進給，刀具坐標(biāo)系的X軸與工件坐標(biāo)系的x軸同向。在刀具包絡(luò)工件一周的加工過程中，刀具的刀位點只在X軸方向變化，設(shè)在任意先后相鄰兩個時刻上刀位點在X軸上的坐標(biāo)值為Xi、Xi+1，坐標(biāo)值變化量為d，則

所以，要求解刀位軌跡可以先通過求解在各個時刻刀位點的X坐標(biāo)變化值d，再利用遞推的方法得到各個時刻上的刀位點。

如2.2所述，將刀具與工件的2軸聯(lián)動分解為工件繞z軸轉(zhuǎn)動與刀具沿X方向向工件移動兩個順序運動，直到刀具與加工工件目標(biāo)螺旋曲面接觸為止，接觸點就為嚙合點，刀具在X方向的移動距離就為刀具曲面與工件曲面在X方向的最小有向距離，最小距離為D。在每一個離散時刻，假設(shè)刀位點初始位置不變，即刀位點初始坐標(biāo)值已知，記為（X1，Y1，Z1）。設(shè)在任意先后相鄰兩個時刻上刀具曲面與工件曲面在X方向的最小有向距離為Di、Di+1，則刀位點坐標(biāo)值變化量d為

圖7 刀具與工件的相對位置圖Fig.7 Position relationship between the cutter and workpiece

綜上所述，第i+1（i=1、2、…、n?1）個時刻刀位軌跡點坐標(biāo)為

以刀具包絡(luò)工件的中截面廓形誤差來控制各插補點間的插補步長。在工件中截面上，根據(jù)上面計算出的刀位軌跡，將刀具在工件中截面上的截面廓形繞工件z軸逆時針方向按照阿基米德螺旋線生成原理運動，如圖8所示。通過在每一個時刻刀具截面廓形與工件截面廓形的最小法向距離與誤差控制值的比較，插補迭代計算出編制數(shù)控程序的插補點集（X、C），最后自動生成數(shù)控加工程序［19- 20］。

圖8 中截面上包絡(luò)過程圖Fig.8 Theenvelope p rocess in them idd le crosssection

3 應(yīng)用實例

基于上述理論，開發(fā)了螺桿加工的仿真程序，并對某型螺桿鉆具芯軸的數(shù)控加工代碼進行了計算。該鉆具理論截形數(shù)據(jù)為

極角極徑

0 104.253 0

0.500 0 104.247 0

1.000 0 104.209 4

……

其他參數(shù)包括：導(dǎo)程1 000mm，左旋。刀具參數(shù)為：刀盤半徑140mm，刀尖角350，刀尖圓弧半徑1.2mm。程序插補精度（誤差控制值）為0.05mm。采用本文的仿真算法生成的數(shù)控代碼為

N100 X-0.013C-0.600 F 1800

N110X-0.080C-0.900 F 1776

N120 X-0.131C-0.800 F 1752

……

仿真得到的截面誤差與截形對比見圖9、圖10。圖9中的誤差基本上都控制在0.05mm內(nèi)，只有少部分的誤差超出了誤差控制值，原因有兩個方面：（1）由于刀具是空間包絡(luò)工件，形成空間嚙合軌跡，在截面上存在理論誤差；（2）由于理論廓形存在不同曲線廓形的交點，該點處二階導(dǎo)不連續(xù)，即在截面上存在尖點，該點附近與刀具插補曲線存在較大誤差，如圖9中在極角22°左右處的誤差值。

圖9 仿真截形誤差分布圖Fig.9 Error distribution of the simulated curve

圖10 仿真截形與理論截形對比圖Fig.10 Comparison between the simulated and theoretical curve

用生成的數(shù)控程序加工出的螺桿樣品如圖11所示，其截形誤差分布如圖12，圖13所示。為得到準(zhǔn)確合理的加工截面分析數(shù)據(jù)，運用三坐標(biāo)儀測量圖11中螺桿的多個截面，以平均值作為誤差分析數(shù)據(jù)。圖12中的螺桿截面誤差是理論誤差、加工誤差、測量誤差3個方面的綜合。經(jīng)實驗測試，其工作性能良好，能很好地滿足對螺桿鉆具工作效率的要求。

圖11 螺桿實物Fig.11 The actual screw

圖12 加工截面誤差分布圖Fig.12 Com parison between the processed and theoreticalcurve

圖13 加工截形與理論截形對比圖Fig.13 Com parison between the processed and theoreticalcurve

4 結(jié)論

（1）提出的數(shù)值仿真算法對于復(fù)雜螺旋曲面的數(shù)控加工刀位軌跡的求解是一種原理簡單、高效精確的有效算法。

（2）運用數(shù)值仿真的思想，將時間、空間離散化，以及運動分解，使仿真計算程序簡單易實現(xiàn)，容易得到復(fù)雜螺旋曲面的數(shù)控加工自動編程系統(tǒng)。

（3）該方法對截形方程沒有特殊要求，對于一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)曲線或多段曲線組成的截形均可在廓形點確定的情況下進行數(shù)值仿真得到刀位軌跡，并且還可以根據(jù)本文的方法和原理，通過編程實現(xiàn)對刀具安裝角、刀尖圓角半徑、刀尖角等參數(shù)的靈活選擇。

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編輯：牛靜靜

編輯部網(wǎng)址：http：//zk.swpuxb.com

Tool Path Simulation of EnvelopeM illing of Com p lex Helical Surface

KUANG Yuchun1*，WU Longmei2，TU Junwen3，WU Yingqiang4，DONG Zongzheng1
1.SchoolofMechatronic Engineering，SouthwestPetroleum University，Chengdu，Sichuan 610500，China
2.Chengdu Jiuding Technology（group）Co.Ltd.，Chengdu，Sichuan 610100，China
3.China Petroleum Technology and DevelopmentCorporation，Xicheng，Beijing 100009，China
4.Departmentof Oilfield Development，Changqing Oilfield Company，PetroChina，Xi′an，Shaanxi 751500，China

In order to reduce themachining errorof complex helicalsurface，thispaperstudied thealgorithm abouttoolpath of envelopem illing by transforming the dynamicmeshing relationship into the spacegeometry problemsbetweenmilling-cutter andworkpiece through timediscretizationand spatialdiscretization inmachining processbased onnumericalsimulationmethod. Webuild three-dimensionalmodelofmilling-cutterandworkpiecesurfaceof revolution，deduce thecoordinate-transformation matrix ofmeshing relationship betweenmilling-cutterandworkpiece，simplify theminimaldirected distancebetweenmillingcutterand workpiece into a two-dimensionalproblem，setup the simulation algorithm of tool-path ofm illing-cutterand finally get the parameter information of NC codes.Themachining process programmed on the obtained parameters proved to be able to produce the helical surfacew ith required precision.Error distribution of the profile and its influencing factors are studied too.

helicalsurface；NCmachining；toolpath；numericalsimulation；theminimaldirected distance

況雨春，1971年生，男，漢族，四川達州人，教授，博士，主要從事油氣井鉆頭、井下工具、桿柱力學(xué)研究。E-mail：swpikyc@126.com

吳龍梅，1988年生，女，漢族，四川遂寧人，碩士研究生，主要從事計算機仿真及其應(yīng)用研究。E-mail：wulongmei1988@126.com

屠俊文，1962年生，男，漢族，天津塘沽人，工程師，主要從事石油機械設(shè)備技術(shù)服務(wù)及管理工作。E-mail：tujunwen@gmail.com

吳英強，1982年生，男，漢族，山東廣饒人，工程師，主要從事油氣田開發(fā)工程及產(chǎn)能建設(shè)工作。E-mail：wuyq1_cq@petrochina.com.cn

董宗正，1986年生，男，漢族，湖北隨州人，助理實驗師，碩士，主要從事油氣井鉆頭、井下工具研究。E-mail：deong_swpu@126.com

10.11885/j.issn.1674-5086.2014.01.03.01

1674-5086（2016）03- 0170-08

TE921；TG543；TH164

A

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2014- 01-03網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016- 05-27

況雨春，E-mail：swpikyc@126.com

國家科技重大專項（2016ZX05038005）。