張　嚴　杜義賢，2　杜大翔　田啟華

(1. 三峽大學 機械與動力學院， 湖北 宜昌　443002； 2. 水電機械設(shè)備設(shè)計與維護湖北省重點實驗室， 湖北 宜昌　443002)

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極限彈性性能的材料微結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計

張嚴1杜義賢1，2杜大翔1田啟華1

(1. 三峽大學 機械與動力學院， 湖北 宜昌443002； 2. 水電機械設(shè)備設(shè)計與維護湖北省重點實驗室， 湖北 宜昌443002)

摘要：基于應(yīng)變能等效的能量法，求解材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性系數(shù)矩陣，以等效彈性系數(shù)矩陣主對角線上元素的某項或某幾項的加權(quán)組合最大為目標，以材料體積率為約束，構(gòu)建具有極限彈性性能材料微結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化模型，采用SIMP插值結(jié)合優(yōu)化準則法求解該優(yōu)化模型，推導(dǎo)了優(yōu)化求解過程中的敏度表達式，實現(xiàn)了具有極限彈性性能的材料微結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型設(shè)計．數(shù)值算例驗證拓撲優(yōu)化模型和算法的有效性．

關(guān)鍵詞：能量法；材料微結(jié)構(gòu)；極限彈性性能；拓撲優(yōu)化；SIMP插值

高科技的發(fā)展對材料性能提出了越來越高的要求，如零或負的膨脹系數(shù)、極端熱傳導(dǎo)系數(shù)、負泊松比等特殊的性能．材料的宏觀性能依賴于材料微觀結(jié)構(gòu)的性能，而材料微觀結(jié)構(gòu)的性能取決于微觀結(jié)構(gòu)的尺度、構(gòu)型及材料組份比，因此，對具有特殊宏觀性能的材料可以通過對其微觀結(jié)構(gòu)的設(shè)計來實現(xiàn)[1]．國外學者如Sigmund等[2]率先提出材料微結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化理論，對各向同性材料微結(jié)構(gòu)單胞采用拓撲優(yōu)化逆向設(shè)計技術(shù)實現(xiàn)了工程中所需材料特定宏觀性能的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計，Neves等[3]基于均勻化方法獲得了周期性線彈性微結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓撲構(gòu)型，James等[4]通過對具有最大剛度和流體滲透性的微結(jié)構(gòu)進行設(shè)計，實現(xiàn)了材料多功能優(yōu)化，Huang等[5]基于雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法實現(xiàn)了具有最大剪切模量和最大體積模量的微結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化．國內(nèi)學者如劉遠東等[6]基于多尺度均勻化方法開展了周期性復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)的多目標拓撲優(yōu)化設(shè)計，王寶來等[7]針對輕質(zhì)材料利用拓撲優(yōu)化技術(shù)實現(xiàn)了最剛微結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計，王憲杰等[8]利用雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法實現(xiàn)了基于宏觀性能的微觀多孔材料拓撲優(yōu)化設(shè)計，汪雷等[9]基于均勻化理論和拓撲優(yōu)化技術(shù)實現(xiàn)了具有最優(yōu)導(dǎo)熱性能的復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計，張衛(wèi)紅等[10]基于能量法實現(xiàn)了材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性性能的預(yù)測，采用對偶凸規(guī)劃方法結(jié)合周長約束策略進行了微結(jié)構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計．拓撲優(yōu)化的目的就是確定具有特定性能微觀結(jié)構(gòu)的材料分布，充分發(fā)掘材料潛力，從設(shè)計的角度提高材料性能．

基于此，本文采用應(yīng)變能等效的能量法實現(xiàn)材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性系數(shù)矩陣的求解，然后以等效彈性系數(shù)矩陣主對角線上元素的某一項或者某幾項的加權(quán)組合為目標，以材料體積率為約束，建立材料微結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化模型．采用SIMP插值及優(yōu)化準則法求解該優(yōu)化模型，以敏度過濾抑制數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，實現(xiàn)具有極限彈性性能的最優(yōu)微結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計．

1材料微結(jié)構(gòu)的等效性能預(yù)測

均勻化方法具有嚴格的數(shù)學理論推導(dǎo)，以連續(xù)介質(zhì)理論為基礎(chǔ)，基于擾動理論將物理場按表征微觀結(jié)構(gòu)尺度的小參數(shù)漸進展開，從而得到材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性性能，但其數(shù)學推導(dǎo)繁瑣，計算復(fù)雜．基于應(yīng)變能等效的能量法與均勻化方法相比，其本質(zhì)相同，但其計算效率高，推導(dǎo)簡潔，編程實現(xiàn)簡便[10]，因此本文將通過應(yīng)變能等效的能量法求解材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性性能．

圖1　微結(jié)構(gòu)等效示意圖

(1)

式中，DH即為微結(jié)構(gòu)的等效彈性系數(shù)矩陣．

對于二維正交各向異性材料，式(1)可進一步表示為

(2)

定義微結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為

(3)

在均勻邊界載荷條件下，材料微結(jié)構(gòu)和均質(zhì)等效體的彈性應(yīng)變能應(yīng)是相等的，由此可得出微結(jié)構(gòu)的單位體積應(yīng)變能

(4)

表1　給定工況條件下微結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能

由表1可得材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性系數(shù)矩陣DH的表達式為

(5)

2材料微結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化模型

基于SIMP插值模型，以單元的相對密度為設(shè)計變量，結(jié)構(gòu)整體的體積率為約束，材料微結(jié)構(gòu)的某一項或某幾項極值力學特性為目標，建立如下優(yōu)化數(shù)學模型：

(6)

式中，ωl為加權(quán)系數(shù)(ωl∈[0，1])；Dll為等效彈性系數(shù)矩陣DH的主分量(其中l(wèi)l=11、ll=22、ll=33分別對應(yīng)為D1111、D2222、D1212)；V(ρ)為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的體積；f為體積系數(shù)；V0為設(shè)計域體積；為防止剛度陣奇異，取最小密度值ρmin=0.001．

3靈敏度分析

有限元平衡方程為

(7)

式中，F(xiàn)、U分別為微結(jié)構(gòu)的結(jié)點力向量與結(jié)點位移向量．

見表1，在相應(yīng)邊界條件下(上標n表示邊界條件)的材料微結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為

(8)

由式(7)、(8)可得微結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對設(shè)計變量ρi的導(dǎo)數(shù)為

(9)

其中

(10)

由式(5)得

(11)

按照上述靈敏度的求解方法，結(jié)合有限元分析，采用優(yōu)化準則求解算法即可對上述優(yōu)化模型進行優(yōu)化求解，優(yōu)化流程如圖2所示，其具體步驟如下：

Step1：定義材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計域，將材料離散到單元；

Step2：材料微結(jié)構(gòu)有限元靜力分析；

Step3：基于能量法求解材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性系數(shù)矩陣；

Step4：目標函數(shù)的計算及敏度分析；

Step5：采用優(yōu)化準則法對設(shè)計變量進行更新；

Step6：根據(jù)收斂條件判斷目標函數(shù)是否收斂，如果不滿足收斂條件，則重復(fù)Step2～Step5，如果滿足收斂條件，輸出結(jié)果．

圖2　材料微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計流程圖

4數(shù)值算例及分析

表2　不同優(yōu)化目標下微結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓撲構(gòu)型

由表2可知：

5結(jié)語

本文基于應(yīng)變能等效的能量法求解材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性矩陣，以等效彈性矩陣主對角線上元素的某項或者某幾項加權(quán)組合最大為目標建立優(yōu)化模型對微結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化設(shè)計．算例分析表明，采用SIMP插值和優(yōu)化準則法有效求解了該拓撲優(yōu)化問題，利用敏度過濾消除了數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，并得到了具有最優(yōu)水平方向抗拉強度、豎直方向抗拉強度、抗剪切強度和雙向抗拉強度等極限彈性性能的微結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型．

參考文獻：

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[責任編輯張莉]

收稿日期：2016-01-21

基金項目：湖北省杰出青年基金資助項目(No.2013CFA022)；湖北省科技支撐計劃對外科技合作資助項目(No.2015BHE026)

通信作者：杜義賢(1978-)，男，副教授，博士，研究方向為CAD/CAM技術(shù)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化與分析．E-mail：duyixian@aliyun.com

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.02.016

中圖分類號：TH122：TB34

文獻標識碼：A

文章編號：1672-948X(2016)02-0071-04

Topology Optimization for Material Microstructures with Extreme Elastic Properties

Zhang Yan1Du Yixian1,2Du Daxiang1Tian Qihua1

(1. College of Mechanical & Power Engineering, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China； 2. Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design & Maintenance, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China)

AbstractBased on the strain energy equivalent energy method, the equivalent elastic coefficient matrix of the materials microstructure is to solve. With the goal of maximizing the one or several of the weighted combination of the leading diagonal elments in the equivalent elastic coefficient matrix, to the material's volume rate as the constraint, the topology optimization model for the material microstructures with extreme elastic properties is constructed. The SIMP interpolation and optimality criteria method are used to solve the optimization model; and then the sensitivity expression in the process of optimization solution is derived. Finally, the topological configuration of material microstructures with extreme elastic properties is achieved. Some numerical example verifies the validity of the topology optimization model and algorithm.

Keywordsstrain energy-based method;material microstructure;extreme elastic properties;topology optimization;SIMP interpolation