◇　江西　錢雯婧

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數(shù)字黑洞“6”，你知道嗎？

◇江西錢雯婧

一般情況“數(shù)字黑洞”——黑洞數(shù)又稱陷阱數(shù),是一類具有奇特轉(zhuǎn)換特性的整數(shù)．任何一個數(shù)字不全相同的整數(shù),經(jīng)有限次“重排求差”操作,總會得到某一個或一些數(shù),這些數(shù)即為黑洞數(shù)．“重排求差”操作即組成該數(shù)的數(shù)字重排后所得的最大數(shù)減去重排后所得的最小數(shù)．但本文探討的數(shù)字黑洞數(shù)和上面的不相同．

1　數(shù)字黑洞“6”猜想的由來

大家在小時候都聽說過完美數(shù),什么是完美數(shù)呢?如：28就是一個完美數(shù),28的因數(shù)有1、2、4、7、14、28,將比28小的所有因數(shù)相加1+2+4+7+14,得數(shù)剛好是28．一個數(shù)除了它本身以外的所有因數(shù)相加的和如果等于這個數(shù)本身,那么這個數(shù)就叫做完美數(shù)．于是我就萌發(fā)了這樣一個想法:是否其他的數(shù)也能類似這樣拆分、組合而得到一個具體的數(shù)呢?通過不斷嘗試得出猜想:任何一個大于6的數(shù)按照某種規(guī)則拆分和組合,有限次之后都會變成6．(這一規(guī)則下面會敘述．)

2　數(shù)字黑洞“6”的問題描述

設m是大于6的正整數(shù),a、b是m的因數(shù),而且m=a×b,令c=a+b．

1) 如果m是質(zhì)數(shù),則只有因數(shù)1、m滿足m=1×m,令c=m+1,也就是說m增加1變成合數(shù)c,然后轉(zhuǎn)到下面第2)步;如果m是合數(shù),則直接從第2)步開始轉(zhuǎn)換.

2) 將這個合數(shù)寫成2個因數(shù)相乘的形式(1和本身2個因數(shù)除外). 如:30=2×15, 30=3×10,30=5×6.

3) 然后將2個因素相加得到一個新的數(shù).如2+15=17, 3+10=13, 5+6=11.

4) 上面第3)步組合得到的數(shù)如果小于6,則結(jié)論錯誤,如果是6,則得到數(shù)字黑洞“6”的結(jié)果,如果大于6，再從第1)步重新開始轉(zhuǎn)換操作．

于是發(fā)現(xiàn)一個神奇的結(jié)論:任何一個大于6的數(shù)按照上面的轉(zhuǎn)換規(guī)則,經(jīng)過有限次的拆分和組合操作之后,最后相加的數(shù)字和一定是6．

以30為例,具體變換過程如下:

30=2×1530=3×1030=5×62+15=173+10=135+6=1117+1=1813+1=1411+1=1218=2×918=3×614=2×712=2×612=3×42+9=113+6=92+7=92+6=83+4=711+1=129=3×39=3×38=2×47+1=812=2×612=3×43+3=63+3=62+4=68=2×42+6=83+4=7得到結(jié)論得到結(jié)論得到結(jié)論2+4=68=2×47+1=8得到結(jié)論2+4=68=2×4得到結(jié)論2+4=6得到結(jié)論

3　用數(shù)學歸納法證明數(shù)字黑洞“6”的結(jié)論

3.1數(shù)學上的定性分析(有限次轉(zhuǎn)換操作的可能性)

本文提到的數(shù),可以非常大,沒有規(guī)定上限．本文中提出的經(jīng)過有限次的轉(zhuǎn)換是否可行呢?

設m是大于6的正整數(shù),a、b是m的因數(shù),而且m=a×b,令c=a+b.

易證c

3.2使用數(shù)學歸納法進行證明

先進行數(shù)學上的定量分析(在有限范圍內(nèi)進行枚舉證明問題的正確性).

1) 對于大于6小于等于20的數(shù)枚舉證明如下:

7+1=8, 8=2×4, 2+4=6，

8=2×4, 2+4=6，

……(由于版面原因, 此處略)

20=2×10, 2+10=12, 12=2×6, 2+6=8,

8=2×4, 2+4=6;

12=3×4,3+4=7,7+1=8,8=2×4,2+4=6;

20=4×5, 4+5=9, 9=3×3, 3+3=6.

上面的枚舉說明當6

2) 對于大于20小于100的數(shù).

a) 我們也可以像上面一樣逐個地枚舉出來(由于篇幅的限制,表格中只列舉了21、91時的情況)．

21=3×7, 3+7=10, 10=2×5, 2+5=7,

7+1=8, 8=2×4, 2+4=6;

91=3×17, 3+17=20, 20=2×10, 2+10=12, 12=2×6, 2+6=8, 8=2×4, 2+4=6;

b) 從上面的數(shù)學定性分析可以知道大于20小于100的數(shù)按照本文中提到的規(guī)則經(jīng)過數(shù)次的拆分和組合轉(zhuǎn)換,一定會變成大于6而小于等于20的數(shù).從上面的數(shù)學歸納證明1)可以知道大于6小于等于20的數(shù)全部符合規(guī)律．

所以可以得出當20

3) 假設當n≤k時結(jié)論成立,下面只需要證明n=k+1時結(jié)論成立即可．

a) 如果n是質(zhì)數(shù),c=n+1;c變成了合數(shù),令a、b是它的2個因數(shù)(1和n本身除外),c=a×b,令c=a+b;

b) 如果n是合數(shù),令a、b是它的2個因數(shù)(1和n本身除外),n=a×b,c=a+b;

c) 由于a和b是n的大于1小于它本身的因數(shù),所以c=a+b

我們已經(jīng)假設當n≤k時,結(jié)論是成立的,所以可以得出當n=k+1時,結(jié)論也是成立的．

由數(shù)學歸納法可知,任何一個大于6的數(shù)按照上面的轉(zhuǎn)換規(guī)則,經(jīng)過有限次的拆分和組合操作之后,最后相加的數(shù)字和一定是6．至此數(shù)字黑洞“6”的猜想得到了證明．

4　利用計算機編程在更大范圍對上面的結(jié)論進行枚舉補充證明

對于數(shù)字黑洞“6”的猜想,在沒有想到數(shù)學理論證明之前,對于小一點的數(shù),通過逐個去嘗試,給出了直接證明.對于大一些的數(shù)該怎么辦呢?直接嘗試過于煩瑣,容易出差錯,這個問題是否可以使用計算機幫助驗證呢?設計一個計算機程序,從鍵盤輸入一個任意大于6的數(shù),按照本文的轉(zhuǎn)換規(guī)則,其結(jié)果都等于6,即陷入這個數(shù)字黑洞6里.是不是所有的數(shù)字都這樣呢？

下面的程序?qū)?00萬內(nèi)的數(shù)進行了逐一證明(如果想證明更大的數(shù),只需要修改程序第2行的參數(shù)就可以),程序的運行結(jié)果表明大于6小于等于100萬的數(shù)都符合本文的規(guī)則．從而進一步證明了數(shù)字黑洞“6”猜想的正確性．

程序如下:

program yam;

const maxn=1000000;var a:array[1..maxn] of integer; b:array[1..maxn] of integer;

seq:array[1..maxn] of longint;n,i,j,k,s,t,head,tail:longint;

begin

assign(output,′de6.txt′); rewrite(output);

readln(n); fillchar(a,sizeof(a),0);

for i:=2 to n do

if a[i]=0 then for j:=2 to n div I do a[i*j]:=1; fillchar(b,sizeof(b),0); b[6]:=1;

for i:=7 to n do if b[i]=1 then writeln(i,′: same′,i-1)

else

begin

write(i,′:′); if a[i]=0 then k:=i+1 else k:=i; b[k]:=1;

fillchar(seq,sizeof(seq),0); seq[1]:=k;

head:=1; tail:=1;

while head<=tail do

begin

t:=seq[head]; for j:=2 to trunc(sqrt(t)) do

if t mod j=0 then begin s:=j+t div j; write(j,′+′,t div j,′=′,s,′;′); if a[s]=0 then inc(s);

if (b[s]=0) and (s<>6) then begin inc(tail); seq[tail]:=s;end; end;

inc(head);

end;

b[i]:=1; writeln;

end;

close(output);

end.

上面的程序?qū)?00萬內(nèi)的數(shù)進行了逐一證明,如果不考慮計算機位數(shù)的局限性,從理論上講,更大的數(shù)只要適當修改程序也能證明,可見又一次證明了數(shù)字黑洞“6”猜想的正確性．

5　結(jié)論分析

本文敘述的神奇的數(shù)字黑洞“6”結(jié)論是指:任何一個大于6的數(shù)按照本文的轉(zhuǎn)換規(guī)則,經(jīng)過有限次的拆分和組合操作之后,最后相加的數(shù)字和一定是6．

從小時候的數(shù)字游戲、猜數(shù)游戲、完美數(shù)的欣賞,到數(shù)學黑洞的猜想,從枚舉中證明想法的正確性,到使用數(shù)學的思維方式進行的定性分析和定量分析,進行完整性的歸納法證明,從對小范圍的數(shù)使用手工的方法進行枚舉證明,到使用計算機編程的方法,在非常大的范圍對猜想進行逐一證明,我們可以肯定地說本文提出的結(jié)論是正確的．

廣袤的數(shù)字宇宙中可能還有很多類似于這樣的數(shù)字黑洞,以不同的形式、不同的維數(shù)存在著,等待我們?nèi)ネ诰颍@個數(shù)字黑洞“6”讓我從另一個角度去欣賞美麗而又變幻莫測的數(shù)學世界．

江西省新余市第四中學)