丁湘燕，　王春耀，　黃春陽(yáng)，　羅建清

(新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院　烏魯木齊，830047)

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基于四元數(shù)的單軸對(duì)稱水果定向控制力矩分析*

丁湘燕，王春耀，黃春陽(yáng)，羅建清

(新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院烏魯木齊，830047)

摘要研究單軸對(duì)稱水果在傳輸過(guò)程的定向機(jī)理，旨在為定向裝置結(jié)構(gòu)優(yōu)化和參數(shù)設(shè)計(jì)提供必要的依據(jù)。首先，針對(duì)杏子在定向裝置內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，借助四元數(shù)轉(zhuǎn)換不同坐標(biāo)系間角速度，并將歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程轉(zhuǎn)換成姿態(tài)差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，成功構(gòu)造控制力矩矩陣，利用Lyapunov函數(shù)證明其能確保姿態(tài)差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程達(dá)到穩(wěn)定；然后，通過(guò)建立Simulink仿真求解，與理論分析結(jié)果吻合，設(shè)置的控制力矩合理；最后，通過(guò)正交試驗(yàn)，結(jié)果表明試驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果基本吻合，最終得出當(dāng)控制力矩為150 N·mm時(shí)是杏子的最佳切割參數(shù)。

關(guān)鍵詞單軸對(duì)稱； 四元數(shù)； 控制力矩； 滑模面

引言

在鮮果切分去核加工中，為了有效切分去核，首先要對(duì)水果進(jìn)行定向處理。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)水果定向研究主要側(cè)重于輸送、檢測(cè)、切分等裝置研發(fā)，很少有對(duì)其定向機(jī)理的研究[1-6]，且多是對(duì)定向穩(wěn)定性分析，而對(duì)控制力矩的研究甚少[7-8]。文獻(xiàn)[2-6]借助工業(yè)相機(jī)全程監(jiān)測(cè)蘋(píng)果沿特定斜面軌道整個(gè)純滾動(dòng)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)蘋(píng)果以果梗與果萼連成的軸線為自旋軸旋轉(zhuǎn)逐漸定向[4-6]。單軸對(duì)稱水果因其自身物理特性在輸送過(guò)程中實(shí)現(xiàn)自我定向[7-8]。對(duì)其施加合適的約束力矩能有效地加快定向過(guò)程，以實(shí)現(xiàn)快速切分、加工。以杏子為例，視其為剛體，杏子在定向輸送過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)是非線性的，而求解此類非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)，往往難以得到精確解，只能進(jìn)行近似求解[9-10]。因此，為了研究此非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，借助四元數(shù)，以實(shí)現(xiàn)角速度在不同坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換，將杏子歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程轉(zhuǎn)化成姿態(tài)差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解，同時(shí)構(gòu)造控制力矩矩陣對(duì)杏子姿態(tài)進(jìn)行控制，使其在特定軌道內(nèi)實(shí)現(xiàn)定向輸送。運(yùn)用Simulink對(duì)姿態(tài)差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行仿真求解，分析后得到角速度差、角速度和控制力矩，并分析仿真結(jié)果。最后通過(guò)德國(guó)動(dòng)應(yīng)變測(cè)量系統(tǒng)以及正交試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證控制系統(tǒng)的正確性。

1四元數(shù)的轉(zhuǎn)換和杏子姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

1.1四元數(shù)的轉(zhuǎn)換

(1)

(2)

其中：e=[e1e2e3]T為歐拉軸；φ為歐拉角；q=[q1q2q3]T∈R3為四元數(shù)列向量；q0∈R為四元數(shù)標(biāo)量部分。

符號(hào)?表示四元數(shù)乘法[12-13]，其定義如下

向量a=[a1a2a3]T的符號(hào)a×定義如下所示的斜對(duì)稱矩陣

(3)

1.2杏子姿態(tài)和差動(dòng)力學(xué)方程

在杏子傳輸過(guò)程中：ω=[ω1ω2ω3]T為在杏子本體坐標(biāo)系B中的角速度；J∈R3×3為在本體坐標(biāo)系中的慣性矩，在文中視作常量；U∈R3為控制力矩向量；I3為3×3的單位矩陣；D∈R3為外加干擾向量。則杏子運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[8,14-16]如下

(4)

(5)

(6)

從坐標(biāo)系D到坐標(biāo)系B相應(yīng)的坐標(biāo)變換[15-16]為

已有研究表明[15-16],其滿足RTR=1,‖R‖=1,det(R)=1,及

(7)

對(duì)式(6)求一階導(dǎo)，并將式(7)代入其中得到

(8)

將式(8)代入式(4),得到杏子姿態(tài)差動(dòng)力學(xué)方程[14]如下

(9)

(10)

2滑模面和控制力矩的設(shè)計(jì)

2.1滑模面的設(shè)計(jì)

(11)

其中：S=[S1S2S3]T；J為杏子姿態(tài)運(yùn)動(dòng)中的慣性矩矩陣，且為正；c為一個(gè)確定的正常數(shù)矩陣。

Li等[17]已證明，由式(11)可知，若有S=0，即

(12)

則可以證明

(13)

綜合以上及式(9)和式(10)所表述的姿態(tài)差動(dòng)力學(xué)方程，若滑模面S能趨于零，則傳輸過(guò)程中杏子運(yùn)動(dòng)最終能達(dá)到穩(wěn)定的姿態(tài)。

2.2控制力矩的設(shè)計(jì)

為使杏子姿態(tài)差動(dòng)力學(xué)方程從滑模面之外快速有效地向滑模面收斂，且保持在滑模面上，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，考慮到式(9)和式(10)，獲得以下控制器

(14)

其中

(15)

d=J-1D

(16)

在杏子定向輸送過(guò)程中，外加干擾主要由側(cè)向皮帶和底部輸送帶振動(dòng)引起。此干擾隨機(jī)性較大，難以測(cè)量，但其值有界，故作以下假設(shè)

(17)

其中：β為一個(gè)正常數(shù)；‖·‖1為1-范數(shù)導(dǎo)出矩陣。

設(shè)計(jì)杏子控制輸入力矩如下

(18)

其中：p如式(15)所示；K為一個(gè)確定的正增益矩陣；S由式(11)確定,sgn(S)=[sgn(S1)sgn(S2)×sgn(S3)]T。

定義sgn符號(hào)，sgn(·)為

結(jié)合式(9)，(10)杏子姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程和式(18)控制力矩，為證明系統(tǒng)能達(dá)到如式(11)所示的滑模面S=0，利用Lyapunov方程來(lái)判定，設(shè)

(19)

對(duì)V求一階導(dǎo)，同時(shí)代入式(11)，(14)及(18)，可得

STd-STKS-β‖S‖1≤‖S‖1‖d‖1-STKS-

β‖S‖1≤β‖S‖1-STKS-β‖S‖1=

-STKS≤0

(20)

3Matlab仿真求解

借助于Matlab中的Simulink模塊，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。

取杏子平均慣性矩矩陣如下

設(shè)干擾向量為

對(duì)杏子在定向輸送通道中的整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真求解，設(shè)置仿真時(shí)間為10 s，圖像在仿真時(shí)間1 s后達(dá)到穩(wěn)定，為方便觀察只繪出仿真時(shí)長(zhǎng)1.4 s的圖形，仿真結(jié)果如圖(1～3)所示，其中，圖3(b)是圖3(a)穩(wěn)定后的局部放大圖。

圖1　角速度差Fig.1　Angular velocity error

圖2　角速度Fig.2　Angular velocities

圖3　控制力矩Fig.3　Control torques

4試驗(yàn)結(jié)果與分析

杏子定向裝置簡(jiǎn)圖如圖4所示，由夾持帶、底部輸送帶、夾持裝置彈簧片等組成試驗(yàn)裝置，并將整個(gè)通道分為5個(gè)區(qū)域。杏子定向正交試驗(yàn)將使用此裝置。夾持帶間寬度由寬漸漸變窄到不變，杏子以隨機(jī)姿態(tài)進(jìn)入輸送通道，底部輸送帶與杏子間摩擦力矩使杏子在定向輸送通道中旋轉(zhuǎn)，夾持帶保持杏子平行旋轉(zhuǎn)并為其旋轉(zhuǎn)提供轉(zhuǎn)軸，并將已定向的杏子定向地輸送到切分部分進(jìn)行切分。

圖4　杏果定向裝置簡(jiǎn)圖Fig.4　Directional device diagram of apricots

為對(duì)控制力矩理論分析及仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，做了9組正交試驗(yàn)，試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖5所示。設(shè)計(jì)定向切分試驗(yàn)裝置正交試驗(yàn)，其設(shè)計(jì)因素水平如表1所示。

圖5　試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.5　The experimental scene

因素水平入口通道寬度D/mm杏子短徑I/mm相對(duì)速度差ΔV/(m·min-1)12532～344023034～355533535～3770

利用高速攝像儀對(duì)杏果運(yùn)動(dòng)狀態(tài)實(shí)時(shí)記錄，杏果的定向過(guò)程如圖6所示，對(duì)整個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理后得如表2所示。表中：D1～D3，I1～I(xiàn)3，ΔV1～ΔV3分別表示表1中對(duì)應(yīng)的D，I，ΔV的第1～3的水平的值，如D3表示入口通道寬度為35 mm。

在正交試驗(yàn)的同時(shí)，為獲得夾持裝置彈簧片上(見(jiàn)圖4)的外載荷，采用德國(guó)動(dòng)應(yīng)變測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行采樣。

圖6　定向過(guò)程Fig.6　The orientation process

試驗(yàn)號(hào)因 素試驗(yàn)結(jié)果通道寬度D/mm杏子尺寸I/mm相對(duì)速度差ΔV/(m·min-1)空白列定向成功率/%定向穩(wěn)定區(qū)域11(D1)1(I1)1(ΔV1)192.3第3區(qū)域21(D1)2(I2)2(ΔV2)289.2第2區(qū)域31(D1)3(I3)3(ΔV3)388.1第2區(qū)域42(D2)1(I1)2(ΔV2)3100.0第3區(qū)域52(D2)2(I2)3(ΔV3)194.4第3區(qū)域62(D2)3(I3)1(ΔV1)293.3第2區(qū)域73(D3)1(I1)3(ΔV3)293.9第2區(qū)域83(D3)2(I2)1(ΔV1)393.9第3區(qū)域93(D3)3(I3)2(ΔV2)195.8第3區(qū)域

應(yīng)變片黏貼在彈簧片上，首先對(duì)彈簧片進(jìn)行靜態(tài)標(biāo)定，測(cè)定載荷及對(duì)應(yīng)的應(yīng)變繪制成圖并進(jìn)行線性擬合(圖7)：外加載荷與應(yīng)變成線性關(guān)系，其表達(dá)式為：y=0.078 5x+0.337 3。通過(guò)此公式，可以由應(yīng)變得到相應(yīng)的載荷值，其值整理后如表3所示。

圖7　載荷與應(yīng)變擬合曲線Fig.7　The curve fitting of load and strain

組號(hào)應(yīng)變均值εst/με荷載值P/N動(dòng)載因數(shù)k動(dòng)荷載值F/N試驗(yàn)力矩U/(N·mm)1-400.0-31.13.1-48.5-127.62-405.0-31.43.7-58.7-172.53-421.5-32.83.5-56.8-182.04-395.5-30.74.6-70.0-184.45-396.5-30.84.9-75.4-221.86-388.0-30.14.8-72.0-230.67-367.5-28.52.8-40.5-106.68-379.0-29.43.7-54.6-160.49-369.0-28.63.1-44.2-141.7

由表3得到了杏子在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中受到的外加力矩，結(jié)合各組定向成功率分析后，過(guò)大或過(guò)小力矩會(huì)造成定向成功率不穩(wěn)定。如：第3組與第4組定向成功率與控制力矩對(duì)比，第1組與第7組定向成功率與控制力矩對(duì)比。過(guò)大力矩會(huì)損傷杏子，過(guò)小力矩，杏子定向時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。綜合分析，當(dāng)外加力矩為150 N·mm左右時(shí)，定向成功率相對(duì)穩(wěn)定于95%左右。又通過(guò)與仿真數(shù)據(jù)對(duì)比分析，得到了試驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)基本吻合，即控制入口通道寬度，彈簧加持片的松緊，使控制力矩為150.0 N·mm時(shí)，可以得到杏子的最佳切割參數(shù)。

5結(jié)論

1) 借助四元數(shù)轉(zhuǎn)換不同坐標(biāo)系間角速度，并將歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程轉(zhuǎn)換成姿態(tài)差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，成功構(gòu)造控制力矩矩陣，利用Lyapunov函數(shù)證明其能確保姿態(tài)差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程達(dá)到穩(wěn)定。

2) 建立Simulink仿真求解，分析結(jié)果，角速度差漸漸趨于穩(wěn)定，在零附近震蕩，角速度隨之趨于穩(wěn)定，杏子最終以最大慣性矩主軸旋轉(zhuǎn)，達(dá)到穩(wěn)定定向狀態(tài)，這與理論分析結(jié)果吻合，故控制力矩合理的。

3) 結(jié)合正交試驗(yàn)結(jié)果，得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果基本吻合，因此控制入口通道寬度，彈簧加持片的松緊，使控制力矩為150.0 N·mm時(shí)，此為杏子的最佳切割參數(shù)。

綜上所述，應(yīng)用四元數(shù)對(duì)杏子定向過(guò)程中控制力矩的研究是有效可行的，為杏子切分去核設(shè)備的設(shè)計(jì)、改進(jìn)提供了理論依據(jù)。

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E-mail:ddingxiangyan@yeah.net

E-mail:wangchun_yao@126.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.006

收稿日期：2015-05-27；修回日期：2015-07-23

中圖分類號(hào)TH113

第一作者簡(jiǎn)介：丁湘燕，女，1989年11月生，碩士生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。曾發(fā)表《KMT動(dòng)應(yīng)變測(cè)量系統(tǒng)在水果定向中的應(yīng)用》(《農(nóng)機(jī)化研究》2015年第37卷第6期)等論文。

通信作者簡(jiǎn)介：王春耀，男，1956年6月生，教授。主要研究方向?yàn)榱W(xué)及機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51165042)