李　葉 ，　耿志遠(yuǎn)，　李　鶴 ，　魏小鵬，　聞邦椿

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院　沈陽(yáng)，110819) (2.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所　沈陽(yáng)，110016)

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非線性振動(dòng)系統(tǒng)非共振振動(dòng)自同步特性*

李葉1，耿志遠(yuǎn)2，李鶴1，魏小鵬1，聞邦椿1

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院沈陽(yáng)，110819) (2.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所沈陽(yáng)，110016)

摘要從理論計(jì)算、數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證三個(gè)方面研究一類平面單質(zhì)體非線性振動(dòng)系統(tǒng)在非共振工作時(shí)的振動(dòng)同步特性。首先，以反向回轉(zhuǎn)雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮其彈性元件的非線性因素，采用拉格朗日法建立其動(dòng)力學(xué)模型；其次，基于Hamilton原理求出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自同步的條件，利用一次近似判別法求出系統(tǒng)穩(wěn)定同步運(yùn)行的條件；然后，基于Matlab/Simulink軟件，采用4階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，對(duì)理論推導(dǎo)的自同步條件及穩(wěn)定性條件進(jìn)行計(jì)算；最后，對(duì)一單質(zhì)體振動(dòng)樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試。仿真結(jié)果表明，該非線性振動(dòng)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的0相位自同步運(yùn)動(dòng)。通過(guò)理論計(jì)算結(jié)果、仿真結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相互對(duì)比，驗(yàn)證該非線性振動(dòng)系統(tǒng)同步特性理論的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞非線性； 非共振； 振動(dòng)系統(tǒng)； 振動(dòng)同步； 同步穩(wěn)定性

引言

近年來(lái)，許多國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)自同步振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的機(jī)電耦合特性進(jìn)行了大量的研究，得到了許多關(guān)鍵性的成果。文獻(xiàn)[1-3]建立了電機(jī)系統(tǒng)和振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型，從機(jī)電耦合的角度定量再現(xiàn)了系統(tǒng)的機(jī)電耦合同步機(jī)理。侯勇俊等[4]采用Matlab/Simulink對(duì)三電機(jī)驅(qū)動(dòng)自同步振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電耦合機(jī)理進(jìn)行了數(shù)值仿真。由于振動(dòng)系統(tǒng)中多電機(jī)驅(qū)動(dòng)源的振動(dòng)同步常常與系統(tǒng)的非線性特性聯(lián)系在一起，很多學(xué)者開始從非線性特性分析角度研究系統(tǒng)的同步性能。劉極峰等[5]通過(guò)振動(dòng)同步性試驗(yàn)研究了非線性空間雙質(zhì)體振動(dòng)烘干機(jī)在振動(dòng)阻尼條件下實(shí)現(xiàn)振動(dòng)同步應(yīng)滿足的條件。郭虎倫[6]研究了非線性因素條件下相位差角與振幅的關(guān)系，討論了相位差角的變化對(duì)于同步效率的影響，進(jìn)一步分析了系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象。陳會(huì)征[7]依據(jù)振動(dòng)篩分設(shè)備的發(fā)展特點(diǎn)，在振動(dòng)篩及自同步系統(tǒng)的研究基礎(chǔ)上，將非線性共振篩結(jié)構(gòu)與自同步原理結(jié)合，研究了超大型高效節(jié)能篩多點(diǎn)激勵(lì)的穩(wěn)定性。李小號(hào)[8]應(yīng)用平均法對(duì)含有分段線性彈性元件的非線性振動(dòng)系統(tǒng)的銳共振振動(dòng)同步與控制同步進(jìn)行了研究。Balthazar等[9]通過(guò)數(shù)值仿真的方法研究了安裝在非線性架上的多個(gè)非理想激振器的自同步問(wèn)題。

基于前人的研究，筆者以一類非線性振動(dòng)系統(tǒng)為對(duì)象，基于拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程；運(yùn)用Hamilton原理推導(dǎo)出該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自同步的條件；采用非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性一次近似判別法求出振動(dòng)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的漸進(jìn)穩(wěn)定條件。以某單質(zhì)體振動(dòng)同步樣機(jī)為例，基于其實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真。最后，對(duì)該振動(dòng)樣機(jī)進(jìn)行自同步實(shí)驗(yàn)。將理論計(jì)算、仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證自同步理論的合理性。

1非線性振動(dòng)系統(tǒng)自同步理論計(jì)算

1.1非線性振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

圖1為由兩反向旋轉(zhuǎn)的電機(jī)驅(qū)動(dòng)的非線性振動(dòng)系統(tǒng)的平面力學(xué)模型，由振動(dòng)質(zhì)體及兩偏心轉(zhuǎn)子組成。振動(dòng)質(zhì)體在水平和豎直方向分別通過(guò)彈簧A和B與固定支架相聯(lián)。考慮彈簧的硬特性非線性，即剛度隨變形增加而增大，其特性曲線如圖2所示，其彈性力表達(dá)式為

F=kx+k′x3

(1)

其中：F為彈性力；k，k′均為彈簧剛度系數(shù)，可由實(shí)驗(yàn)曲線求出；x為彈簧壓縮量。

圖1　非線性振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1　The mechanical model of nonlinear vibration system

圖2　彈簧彈性特性曲線Fig.2　The stiffness property curve of spring

兩偏心轉(zhuǎn)子安裝在振動(dòng)質(zhì)體上方左右兩側(cè)，分別由感應(yīng)電機(jī)1,2驅(qū)動(dòng)。旋轉(zhuǎn)中心o1和o2關(guān)于質(zhì)體質(zhì)心所在豎直軸對(duì)稱。電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)，偏心塊產(chǎn)生激振力，帶動(dòng)質(zhì)體發(fā)生水平、豎直方向的振動(dòng)以及擺動(dòng)。

選擇質(zhì)體運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)x，y，ψ及兩轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)相位φ1和φ2為廣義坐標(biāo)，求出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和耗散能函數(shù)，代入拉格朗日方程得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式

(2)

根據(jù)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的機(jī)械特性[10]，電磁轉(zhuǎn)矩Te與轉(zhuǎn)速n的關(guān)系，即電機(jī)的輸出電磁轉(zhuǎn)矩?cái)?shù)學(xué)模型為

(3)

1.2兩偏心轉(zhuǎn)子的自同步條件

設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)兩偏心轉(zhuǎn)子的平均相位為φ，且φ=ωt，ω為兩電機(jī)的平均角速度；設(shè)偏心轉(zhuǎn)子1超前于偏心轉(zhuǎn)子2的相位為2α，則偏心轉(zhuǎn)子1和2的相位分別表示為

(4)

(5)

對(duì)于式(5)，由漸進(jìn)法可求得振動(dòng)系統(tǒng)非共振狀態(tài)下各向的一次近似穩(wěn)態(tài)解為

(6)

其中：各向振動(dòng)幅值及滯后角為

(7)

其中：kex，key和keψ為各向等效剛度系數(shù)，即

拉格朗日函數(shù)為

(9)

在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，哈密頓作用量可表示為

(10)

(11)

其中

(12)

根據(jù)Hamilton原理，即系統(tǒng)哈密頓作用量的變分與作用在系統(tǒng)上的非有勢(shì)力所作用的虛功在一個(gè)周期內(nèi)的積分和為零，表示為

(13)

其中：qi為廣義坐標(biāo)；Fi為廣義力。

(14)

將式(11),(12),(14)代入到式(13)中，可求得

sin2α=TD/TC

(15)

(16)

可得雙機(jī)驅(qū)動(dòng)反向旋轉(zhuǎn)平面單質(zhì)體非線性振動(dòng)系統(tǒng)自同步實(shí)現(xiàn)的條件，即兩電機(jī)的頻率俘獲力矩的絕對(duì)值大于或等于兩電機(jī)剩余電磁轉(zhuǎn)矩差的絕對(duì)值。

當(dāng)|TD/TC|≤1，2α滿足以下兩個(gè)區(qū)間：a. 當(dāng)0≤TD/TC≤1時(shí)，相位差2α在[0,π]區(qū)間; b. 當(dāng)-1≤TD/TC<0時(shí)，相位差2α在[-π,0)區(qū)間。

1.3兩偏心轉(zhuǎn)子的自同步穩(wěn)定性條件

設(shè)fd1=fd2，則式(2)后兩式，即兩偏心塊的運(yùn)動(dòng)方程可化為

(17)

(18)

其中

(19)

根據(jù)式(18)求出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)方程[8]為

(20)

由式(20)得，當(dāng)

(21)

時(shí)，可求系統(tǒng)平衡點(diǎn)(arcsinΔTe/T′, 0)。由該平衡點(diǎn)及式(18)可知，當(dāng)系統(tǒng)在該點(diǎn)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)可出現(xiàn)零角速度差的同步運(yùn)轉(zhuǎn)。對(duì)式(18)平衡點(diǎn)處進(jìn)行相平面奇點(diǎn)分析，取式(18)的特征方程為

(22)

解得其特征根為

li=

其中：i=1,2。

由非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一次近似判別法，當(dāng)所有特征根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，則只需

T′cose1>0

(23)

時(shí)，系統(tǒng)在相平面上具有漸進(jìn)穩(wěn)定焦點(diǎn)，即(arcsinΔTe/T′,0)，則式(23)為系統(tǒng)振動(dòng)同步運(yùn)行在平衡點(diǎn)處的漸進(jìn)穩(wěn)定條件。

2數(shù)值仿真

基于振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程式(2)以及電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩模型式(3)，采用Matlab/Simulink對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，采用的計(jì)算方法為4階龍格庫(kù)塔法，步長(zhǎng)為0.01 s，仿真時(shí)長(zhǎng)為60 s。振動(dòng)系統(tǒng)及電機(jī)的主要參數(shù)如表1所示。圖3為振動(dòng)系統(tǒng)各參數(shù)仿真結(jié)果。

由圖3看出，在整個(gè)啟動(dòng)過(guò)程中兩電機(jī)一直處于同步狀態(tài)。兩激振電機(jī)最終以990.6 r/min的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)了速度同步；整個(gè)過(guò)程中兩電機(jī)的相位差恒為0，實(shí)現(xiàn)了相位同步。振動(dòng)系統(tǒng)僅有豎直方向位移的變化，在系統(tǒng)啟動(dòng)5 s后表現(xiàn)為振幅約為2.605 mm的周期運(yùn)動(dòng)，其水平方向和扭擺均產(chǎn)生微小振動(dòng)，與豎直方向位移相比可忽略為0。

表1電機(jī)及振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

Tab.1The parameters of motors and vibration system

參數(shù)/單位數(shù)值異步電機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0/(kg·m2)0.062電機(jī)過(guò)載倍數(shù)KT2電機(jī)額定功率PN/kW0.040電機(jī)額定轉(zhuǎn)速nN/(r·min-1)900電機(jī)電網(wǎng)轉(zhuǎn)速ns/(r·min-1)1000電機(jī)軸摩擦阻力矩系數(shù)fdi/(N·(rad·s-1)-1)0.010振動(dòng)系統(tǒng)總質(zhì)量M/kg38.640偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)量m/kg3.880振動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J/(kg·m2)1.288偏心轉(zhuǎn)子等效偏心距r/m0.013水平方向剛度系數(shù)kx/(N·m-1)24000豎直方向剛度系數(shù)ky/(N·m-1)40000水平方向非線性剛度系數(shù)k'x/(N·m-3)4844311豎直方向非線性剛度系數(shù)k'y/(N·m-3)8073852水平和豎直方向阻尼系數(shù)fx,fy/(N·(m·s-1)-1)200彈簧A可動(dòng)點(diǎn)與y軸的距離lyA/m0.225彈簧A可動(dòng)點(diǎn)與質(zhì)體質(zhì)心水平線的距離lxA/m0.005轉(zhuǎn)子中心至質(zhì)體質(zhì)心距離l0/m0.172轉(zhuǎn)子與質(zhì)心連線與x向夾角β/(°)30

圖3　系統(tǒng)的各參數(shù)仿真結(jié)果Fig.3　The simulation results of each parameter of system

將計(jì)算的電機(jī)轉(zhuǎn)速代入到式(7)、(12)、(15)和(19)中，計(jì)算結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，由于兩電機(jī)參數(shù)相同，整個(gè)過(guò)程中電機(jī)的剩余電磁轉(zhuǎn)矩差TD始終為0，頻率俘獲力矩TC約為-0.68 N·m；相位差角2α為0；水平振動(dòng)、豎直振動(dòng)以及擺動(dòng)的振幅ax，ay，aψ分別為0，2.826，0 mm。系統(tǒng)的穩(wěn)定性系數(shù)T′為0.679 N·m，則T′cos2α>0，滿足穩(wěn)定性條件。圖4(g)為系統(tǒng)的相軌跡，可以看出系統(tǒng)在零相位差、零角度差處具有穩(wěn)定焦點(diǎn)。綜上可知，計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，證明了自同步理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

振動(dòng)自同步實(shí)驗(yàn)樣機(jī)如圖5所示。樣機(jī)包括兩臺(tái)MVE100/1型號(hào)三相異步振動(dòng)電機(jī)(即激振器)、振動(dòng)質(zhì)體以及ROSTA-AB15型號(hào)彈性振動(dòng)支撐，其彈性特性為非線性硬特性。實(shí)驗(yàn)中信號(hào)的采集和分析均用B&K振動(dòng)測(cè)試分析系統(tǒng)，如圖6所示。當(dāng)兩電機(jī)實(shí)現(xiàn)自同步后，所得振動(dòng)系統(tǒng)各參數(shù)結(jié)果如圖7所示。

由圖7看出，同步時(shí)兩電機(jī)轉(zhuǎn)速達(dá)到990 r/min，達(dá)到了速度同步；偏心塊的相位差角度穩(wěn)定在約為0.023°，達(dá)到了相位同步；振動(dòng)系統(tǒng)x方向、y方向以及ψ方向的振動(dòng)在系統(tǒng)啟動(dòng)一段時(shí)間后都表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)。其中，x方向和ψ方向的振動(dòng)幅度分別約為0.1 mm和0.004 rad，在實(shí)際工程中數(shù)值很小，均可忽略不計(jì)；y方向的振幅約為3 mm。

圖4　系統(tǒng)各參數(shù)理論計(jì)算結(jié)果Fig.4　The theoretic calculated results of each parameter

圖5　自同步振動(dòng)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.5　Self-synchronization vibration test prot-otype

圖6　B&K振動(dòng)測(cè)試分析系統(tǒng)Fig.6　B&K vibration tes-ting and analyzing system

圖7　系統(tǒng)各參數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7　Experimental results of each parameter of system

綜上可見，實(shí)驗(yàn)樣機(jī)在實(shí)現(xiàn)自同步時(shí)各實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算、數(shù)值仿真結(jié)果存在很小誤差，這主要是由于振動(dòng)機(jī)自身及外界因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有一定影響，在工程中可以忽略不計(jì)。因此，在一定程度上驗(yàn)證了仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性和有效性。

4結(jié)論

2) 當(dāng)T′cose1>0時(shí)，系統(tǒng)在相平面上具有漸進(jìn)穩(wěn)定焦點(diǎn)，且該點(diǎn)即為非線性振動(dòng)系統(tǒng)平衡點(diǎn)(arcsinΔTe/T′,0)。

3) 采用Matlab/Simulink軟件，運(yùn)用4階龍格庫(kù)塔法對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真。由仿真結(jié)果可以看出，振動(dòng)系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)可以實(shí)現(xiàn)0相位的自同步運(yùn)動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)完全對(duì)稱，兩偏心轉(zhuǎn)子反向回轉(zhuǎn)時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)只產(chǎn)生豎直方向的振動(dòng)。將仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比可以看出，各參數(shù)值基本一致，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。

4) 對(duì)一單質(zhì)體非線性振動(dòng)樣機(jī)進(jìn)行了自同步實(shí)驗(yàn)。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比可以看出，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自同步時(shí)各參數(shù)數(shù)值誤差較小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果合理，在一定程度上驗(yàn)證了理論計(jì)算與數(shù)值仿真的準(zhǔn)確性和有效性。

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E-mail：neuyezi_2007@126.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.014

收稿日期：2014-03-05；修回日期：2014-07-17

中圖分類號(hào)TH113.1

第一作者簡(jiǎn)介：李葉，女，1988年8月生，博士生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，非線性振動(dòng)。曾發(fā)表《平面單質(zhì)體非線性振動(dòng)系統(tǒng)的自同步運(yùn)動(dòng)》(《東北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版》2014年第35卷第6期)等論文

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375080)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(N130803301)；遼寧省科技創(chuàng)新重大專項(xiàng)計(jì)劃(201506003)；遼寧重大裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心資助項(xiàng)目