李凱平　石　崇　王如賓　蔡征龍

(1．河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京　210098； 2．河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所， 南京　210098)

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地震誘發(fā)滑坡風(fēng)險概率模型及其應(yīng)用

李凱平1，2石崇1，2王如賓1，2蔡征龍1，2

(1．河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京210098； 2．河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所， 南京210098)

摘要：邊坡在地震作用下的滑坡概率是工程師非常關(guān)注的問題．針對該問題，利用簡化Bishop法，考慮巖土體參數(shù)不確定性和隨機(jī)地震發(fā)生概率，建立了兩種隨機(jī)性耦合的全概率分析方法．該方法首先采用邊坡可靠度理論計算邊坡的失效概率．其次，通過地震烈度的極值Ⅲ型概率分布求解隨機(jī)地震發(fā)生概率．最終通過Matlab軟件進(jìn)行程序?qū)崿F(xiàn)，可估計多種條件下邊坡的滑坡概率．典型模型驗證結(jié)果表明，該方法有一定的合理性．

關(guān)鍵詞：地震；滑坡概率；全概率；簡化Bishop法

0引言

在礦山、水利水電、公路以及鐵路等領(lǐng)域存在大量的邊坡工程．而滑坡是自然界和巖土工程中最常見的地質(zhì)災(zāi)害，往往給人類的生命和財產(chǎn)造成頻繁而巨大的損失．在誘發(fā)滑坡的眾多因素中地震是其中一個重要因素，研究邊坡在地震作用下的滑坡概率具有非常重要的意義．

目前地震工況下邊坡穩(wěn)定性已經(jīng)存在大量的研究，但這些方法大多數(shù)是基于確定性巖土體參數(shù)或確定性地震烈度進(jìn)行計算，或者為考慮參數(shù)隨機(jī)的邊坡穩(wěn)定性方法．賈偉[1]在基于確定性地震和降雨工況因素下，在定量分析基礎(chǔ)上，考慮了巖土體參數(shù)對邊坡穩(wěn)定的影響，從非確定性分析的角度進(jìn)行了邊坡穩(wěn)定的可靠度指標(biāo)的計算以及巖土體參數(shù)對邊坡穩(wěn)定的敏感性分析；李元雄[2]在不考慮坡面形態(tài)和巖土體參數(shù)的影響下，基于蒙特卡羅法，并結(jié)合穩(wěn)定性計算的剩余推力法和Sarma法，研究了隨機(jī)地震作用下邊坡的可靠性．在邊坡地震穩(wěn)定概率分析中，閆俊維，王曙光等[3]基于可靠度原理，結(jié)合最優(yōu)化方法和傳遞系數(shù)法來求解邊坡可靠度指標(biāo)最小值的優(yōu)化問題；陳菊香，卓建平等[4]基于Morgenstern-Price條分法和Monte-Carlo數(shù)值模擬法，將地震系數(shù)視為隨機(jī)變量，運(yùn)用可靠度理論分析了地震系數(shù)的分布特征對土坡穩(wěn)定性的影響和最危險滑面的變化規(guī)律．

在此基礎(chǔ)上，本文利用簡化Bishop法，考慮巖土體參數(shù)不確定性和隨機(jī)地震發(fā)生概率，建立兩種隨機(jī)性耦合的全概率方法．首先，采用邊坡可靠度理論，將響應(yīng)面法和驗算點法相結(jié)合來計算邊坡的失效概率．其次，通過地震烈度的極值Ⅲ型概率分布求解隨機(jī)地震發(fā)生概率，并采用Matlab軟件進(jìn)行程序?qū)崿F(xiàn)．

1地震滑坡失效概率分析

地震是誘發(fā)滑坡體的顯著變形及失穩(wěn)的主要因素[5-6]．通過分析區(qū)域內(nèi)地震發(fā)生概率，以及此地震作用下滑坡發(fā)生的可能性，即將誘發(fā)因素的概率值與滑坡穩(wěn)定性求解過程結(jié)合，以達(dá)到完整意義上的滑坡穩(wěn)定性的失效概率計算．

若假設(shè)地震烈度指標(biāo)為A，滑坡事件為B，地震條件下滑坡的發(fā)生為條件概率計算．即：

(1)

式中，P(AB)為地震與滑坡事件同時出現(xiàn)的概率，即A和B的聯(lián)合概率；P(A)為地震烈度發(fā)生的概率；P(B|A)為施加一定地震慣性力在滑坡體上，考慮巖土體強(qiáng)度參數(shù)的隨機(jī)分布，計算滑坡的失效概率．

1.1滑坡失效概率計算模型

由于邊坡系統(tǒng)是一個復(fù)雜的體系，隨機(jī)變量之間的關(guān)系表現(xiàn)為高度非線性且通常不易于用顯式表達(dá)．因此采用響應(yīng)面法和驗算點法相結(jié)合來進(jìn)行邊坡體系的可靠度分析[7-9]．其基本思想是：1)將已選定的隨機(jī)變量(c和tanφ)進(jìn)行處理，若隨機(jī)變量的分布形式為正態(tài)分布則不需進(jìn)行正態(tài)化，若隨機(jī)變量的分布形式為非正態(tài)分布，則需先將其進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化；2)利用響應(yīng)面法求得近似響應(yīng)面函數(shù)，再利用求得的響應(yīng)面函數(shù)和驗算點法求得邊坡體系的失效概率．

對于考慮n個隨機(jī)變量x1，x2，…，xn的情況，響應(yīng)面法解析式的形式通常取不含交叉項的二次多項式[10]，即：

(2)

式中，A，Bi和Ci(i=1，2，…，n)均為待定系數(shù)，總計2n+1個待定系數(shù)．

運(yùn)用響應(yīng)面法重構(gòu)一個解析表達(dá)式來近似求其極限狀態(tài)曲面，其重構(gòu)方法的步驟可歸納為：

3)利用式(2)和步驟(2)求得2n+1個函數(shù)值，解出待定系數(shù)A，Bi，Ci(i=1，2，…，n)，得到二次多項式近似的功能函數(shù)，從而確定邊坡的極限狀態(tài)方程；

4)利用驗算點法求解可靠度指標(biāo)β(k)和相應(yīng)的迭代點x*(k)，其中上標(biāo)k表示第k步迭代；

5)判斷收斂條件，即：|β(k)-β(k-1)|<ε是否滿足(ε為可靠度指標(biāo)的誤差限)．若不滿足誤差要求，則按下式求得到新的展開點以代替X(0)．然后重復(fù)步驟2)～4)，直至滿足上述收斂條件．

(3)

利用響應(yīng)面法和驗算點法求解出邊坡可靠度β后，即可利用公式Pf=1-Φ(β)求出滑坡的失效概率．

1.2函數(shù)響應(yīng)確定

1.2.1基于簡化Bishop法的邊坡極限狀態(tài)方程

在利用響應(yīng)面法進(jìn)行滑坡失效概率計算時，用到的函數(shù)響應(yīng)即為安全系數(shù)．這里采用簡化Bishop法來求解邊坡安全系數(shù)，簡化Bishop法[11]是邊坡穩(wěn)定分析極限平衡法的一種，它假定滑動面為圓弧面，考慮了土條側(cè)面的作用力．對于圓弧滑動面，大量實際邊坡穩(wěn)定分析計算表明，簡化Bishop法計算結(jié)果與滿足所有平衡條件的嚴(yán)格的極限平衡法的計算結(jié)果近乎一致，但是簡化Bishop的計算過程要比嚴(yán)格的極限平衡法簡單得多．

圖1　簡化Bishop法受力分析圖

簡化Bishop法的安全系數(shù)Fs的計算公式為：

(4)

式中，Wi為土條自重；ci和φi分別為土條的粘聚力和內(nèi)摩擦角；bi為土條的寬度；R為滑動圓弧的半徑；Qi為作用在土條重心處的水平向地震慣性力，方向指向坡外[12]；Vi為作用在土條重心處的豎向地震慣性力，方向豎直向下；MQi為水平向地震慣性力Qi對滑動圓心的矩．

邊坡的功能函數(shù)為：

(5)

相應(yīng)的極限狀態(tài)方程為：

(6)

在大量的土性參數(shù)中，抗剪強(qiáng)度參數(shù)和重度會較大程度地影響邊坡的穩(wěn)定性，而容重的變異性相對于抗剪強(qiáng)度參數(shù)粘聚力和內(nèi)摩擦角較?。虼嗽诳紤]不確定性因素時，主要考慮抗剪強(qiáng)度參數(shù)的影響，故在進(jìn)行邊坡可靠度分析計算時，選取的隨機(jī)變量主要是粘聚力和內(nèi)摩擦角，并考慮土性參數(shù)變異性的影響．

1.2.2簡化Bishop法積分表達(dá)式

簡化Bishop法在邊坡安全系數(shù)的迭代計算過程中需要對每一條塊求和，計算比較復(fù)雜．而且求解時初值選得不好可能會導(dǎo)致求出的解不收斂．采用積分法[13-14]替代條分法計算邊坡安全系數(shù)，不僅可以簡化計算，還可以提高計算精度．

圖2　邊坡穩(wěn)定分析坐標(biāo)系及微分土條作用力分析

坡面ED為單一直線斜坡，坡高為h，坡度為i=1∶m，巖土體參數(shù)均已知，原點取在坡腳處．如圖2所示．

邊坡的邊界方程為：

(7)

滑動圓弧方程為：

(8)

經(jīng)過推導(dǎo)計算可得：

(9)

式中：ma=cosα+sinαtanφ/Fs.

2地震誘發(fā)因素的概率計算

地震作用是一個隨機(jī)發(fā)生的過程，并且各種烈度等級的地震都是有可能發(fā)生的，因此分析在確定性地震荷載作用下某一邊坡穩(wěn)定性是不完整的．所以在對邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行分析時，還要考慮邊坡遭受隨機(jī)地震荷載等不確定因素．

用地震危險性分析方法得到的某場地不同超越概率水平的地震烈度值，是確定地震作用概率分布的基本數(shù)據(jù)．地震烈度的概率分布主要有極值Ⅰ型，極值Ⅱ型和極值Ⅲ型分布[15]．這3種概率分布的差別主要在于原分布尾部的變化規(guī)律．如果原分布的尾部是指數(shù)型，則最大值收斂于極值Ⅰ型；如果原分布的尾部是多項式形式，則最大值分布趨向于極值Ⅱ型；如果原分布的尾部有界，則最大值分布趨向于極值Ⅲ型．因為地震震級和烈度均存在上界，所以認(rèn)為極值Ⅲ型分布更符合地震烈度概率分布的實際情況．

極大值的極值Ⅲ型分布可表達(dá)為：

(10)

式中，ω為地震烈度的上限值，取12度；ε為眾值烈度，取超越概率為63%的地震烈度為眾值烈度；K為形狀參數(shù)，其值采用分位值法計算確定，具體計算時采用50年內(nèi)與超越概率為10%的烈度相對應(yīng)的K值．

已知T年內(nèi)地震烈度的概率分布為極值Ⅲ型，則在任意t年內(nèi)的概率分布為：

(11)

則地震烈度的發(fā)生概率可用下式計算：

(12)

3算例應(yīng)用分析

3.1計算模型及參數(shù)

本次計算實例采用1987年由澳大利亞計算機(jī)應(yīng)用協(xié)會(ACADS)委托Monash大學(xué)B.Donald教授和P.Giam博士給出的用來調(diào)查澳大利亞本土范圍內(nèi)邊坡所用到的分析邊坡穩(wěn)定性程序的考核題．所涉及邊坡是一個非均勻介質(zhì)邊坡，該坡體分為3個不同的土層，其幾何尺寸如圖3所示，材料參數(shù)取值參考見表1，地震烈度的概率分布服從極值Ⅲ型分布且坡址處50年不同超越概率水平的地震烈度值見表2，分別考慮水平地震系數(shù)為0.05、0.10和0.20三種情形(即考慮地震烈度為6度、7度和8度3種情形)．各發(fā)生地震烈度對應(yīng)的最危險滑面形狀如圖4所示．

圖3　算例邊坡幾何尺寸

土層編號容重γ/(kN·m-3)粘聚力c/(kN·m-2)內(nèi)摩擦角φ/°土層119.50.038.0土層219.55.323.0土層319.57.220.0

表2　坡址50年不同超越概率水平的地震烈度值

圖4　各發(fā)生地震烈度對應(yīng)的最危險滑面形狀

巖土力學(xué)參數(shù)具有變異性，不同性質(zhì)的材料的變異系數(shù)也會有所差異．考慮巖土不同隨機(jī)變量的變異系數(shù)的取值范圍，對于本文采用的非均質(zhì)算例，所有土類的粘聚力的變異系數(shù)范圍是20%～50%，內(nèi)摩擦角的正切值的變異系數(shù)范圍為5%～15%．不妨取粘聚力的變異系數(shù)δc均為0.4，內(nèi)摩擦角的正切的變異系數(shù)δtanφ均為0.1．計算分析就粘聚力和內(nèi)摩擦角正切值服從正態(tài)分布及對數(shù)正態(tài)分布以及兩者在不同的分布組合情況下的可靠度進(jìn)行計算分析．

3.2不考慮地震概率的邊坡失效概率P(B|A)的計算

利用Matlab編制將響應(yīng)面法和驗算點法相結(jié)合求解邊坡可靠度的程序，考慮：1)粘聚力和內(nèi)摩擦角正切均服從正態(tài)分布；2)粘聚力服從正態(tài)分布，內(nèi)摩擦角正切服從對數(shù)正態(tài)分布；3)粘聚力服從對數(shù)正態(tài)分布，內(nèi)摩擦角正切服從正態(tài)分布；4)粘聚力和內(nèi)摩擦角正切均服從對數(shù)正態(tài)分布4種情形，并利用公式Pf=1-Φ(β)即可求解出不考慮地震概率的邊坡失效概率P(B|A)．其計算結(jié)果見圖5及表3．

圖5　不考慮地震概率的不同水平地震系數(shù)下邊坡失效概率P(B|A)

參數(shù)分布類型水平地震系數(shù)安全系數(shù)可靠度P(B|A)/%粘聚力和內(nèi)摩擦角正切均服從正態(tài)分布0.051.2502.4280.760.11.1221.3638.60.20.935-0.72176.5粘聚力服從正態(tài)分布,內(nèi)摩擦角正切服從對數(shù)正態(tài)分布0.051.2412.3420.950.11.1141.3468.920.20.928-0.78978.52粘聚力服從對數(shù)正態(tài)分布,內(nèi)摩擦角正切服從正態(tài)分布0.051.2382.2951.10.11.1101.22211.080.20.925-0.87080.78粘聚力和內(nèi)摩擦角正切均服從對數(shù)正態(tài)分布0.051.2332.1591.580.11.1061.09313.790.20.922-0.98883.80

從以上結(jié)果可以看出：土性參數(shù)粘聚力和內(nèi)摩擦角正切同取正態(tài)分布比同取對數(shù)正態(tài)分布的失效概率要略小，且粘聚力和內(nèi)摩擦角正切分別取不同分布時，其失效概率介于兩者之間．

3.3地震發(fā)生概率P(A)的計算

本算例地震烈度的上限ω取12度．取設(shè)計基準(zhǔn)期為50年，超越概率為10%的烈度相當(dāng)于地震烈度區(qū)劃圖規(guī)定的基本烈度，即Ib取7.5度，超越概率為63%的地震烈度為眾值烈度，即ε取6.2度．采用分位值法求得基本烈度對應(yīng)的形狀系數(shù) 為8.8674．

取I為6度，將各參數(shù)代入地震烈度的概率分布函數(shù)中，求得：

(13)

取I為7度，將各參數(shù)代入地震烈度的概率分布函數(shù)中，求得：

(14)

從而可以求得在50年設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)，地震烈度I=6度發(fā)生的概率為：

(15)

同理，可求出在50年設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)，地震烈度為7、8度發(fā)生的概率，具體結(jié)果見表4．

表4　各級地震烈度發(fā)生概率

3.4考慮地震概率的邊坡失效概率P(AB)的計算

利用公式P(AB)=P(A)P(B|A)，結(jié)合4.2和4.3節(jié)計算出的P(B|A)和P(A)，便可算出考慮地震概率的不同水平地震系數(shù)下邊坡失效概率P(AB)．其詳細(xì)計算結(jié)果見表5和圖6．

表5　算例邊坡失效概率計算結(jié)果匯總

圖6　考慮地震概率的不同水平地震系數(shù)下邊坡失效概率P(AB)

4結(jié)論

本文結(jié)合響應(yīng)面法和簡化Bishop法，同時考慮地震發(fā)生概率，通過全概率公式建立地震作用下的滑坡概率模型．得到主要結(jié)論如下：

1) 建立地震誘發(fā)滑坡的風(fēng)險概率模型，應(yīng)該通過建立全概率公式綜合考慮巖土體參數(shù)的不確定性和地震隨機(jī)性的影響．

2)對于一般邊坡的圓弧滑動面，采用積分法替代條分法計算邊坡安全系數(shù)，不僅有效地避免了條分法中土條數(shù)目劃分不同所帶來的計算誤差，而且大大提高了計算效率．

3)針對邊坡在地震作用下的滑坡概率問題，結(jié)合簡化Bishop法和可靠度原理中的響應(yīng)面法和驗算點法，并考慮巖土體參數(shù)的變異性，編制了計算邊坡可靠度指標(biāo)的Matlab程序，從而快速有效地計算出邊坡的失效概率．

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[責(zé)任編輯王康平]

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.03.006

收稿日期：2016-01-25

基金項目：“十二五”國家科技支撐計劃(2013BAB06B01)；江蘇省基礎(chǔ)研究計劃(自然科學(xué)基金)(BK20130846)

通信作者：李凱平(1992-)，男，碩士研究生，主要從事巖石高邊坡方面的研究工作．E-mail：lkp1140661425@163.com

中圖分類號：TU435

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1672-948X(2016)03-0023-05

Risk Probability Models of Earthquake-induced Landslides and Its Application

Li Kaiping1,2Shi Chong1,2Wang Rubin1,2Cai Zhenglong1,2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics & Embankment Engineering, Hohai Univ., Nanjing 210098, China; 2. Geotechnical Research Institute, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

AbstractLandslide probability of slope under earthquake is a matter of great concern to engineers. To solve the problem, by using simplified Bishop method, considering the uncertainty of soil parameters and the probability of random earthquake, a total probability analysis method is established for two kinds of random coupling. Firstly, the failure probability of the slope is calculated by the slope reliability theory. Secondly, the probability of random earthquake occurrence is solved by the extreme Ⅲ probabilistic seismic intensity distribution. Finally, the program is realized through Matlab software and the landslide probability can be estimated under a variety of conditions. Typical model validation results show that the method has a certain rationality.

Keywordsearthquake;landslide probability;total probability;simplified Bishop method