徐振亮　李艷煥　閆利　晏磊. 北京大學(xué)空間信息集成與3S工程應(yīng)用北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 0087; . 遼寧工程技術(shù)大學(xué)審計(jì)處, 阜新 3009; 3. 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院, 武漢 430079; ? 通信作者, E-mail: lyan@sgg.whu.edu.cn

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共線方程線性化的矩陣模型

徐振亮1李艷煥2閆利3，?晏磊1
1. 北京大學(xué)空間信息集成與3S工程應(yīng)用北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100871; 2. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)審計(jì)處, 阜新 123009; 3. 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院, 武漢 430079; ? 通信作者, E-mail: lyan@sgg.whu.edu.cn

借鑒計(jì)算機(jī)視覺投影方程的矩陣表達(dá)形式, 將解析形式下的共線方程構(gòu)造為矩陣方程表達(dá), 再以投影矩陣元素作為復(fù)合函數(shù)并基于矩陣分析方法, 實(shí)現(xiàn)共線方程對(duì)各變量的統(tǒng)一求導(dǎo)。首先, 與傳統(tǒng)解析法線性化相比, 矩陣分析過程工整, 形式簡(jiǎn)潔, 易于理解, 便于應(yīng)用線性庫進(jìn)行數(shù)值解算; 其次, 對(duì)于不同構(gòu)造形式下的旋轉(zhuǎn)矩陣, 該方法都具有較好的適應(yīng)性; 最后, 構(gòu)建的共線方程的矩陣形式對(duì)于攝影測(cè)量借鑒計(jì)算機(jī)視覺方法也有重要啟示意義。

共線方程; 投影方程; 投影矩陣; 齊次坐標(biāo)

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 第52卷 第3期 2016年5月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No.3(May 2016) doi: 10.13209/j.0479-8023.2016.056

攝影測(cè)量學(xué)中, 將同名的物點(diǎn)與像點(diǎn)滿足的函數(shù)關(guān)系描述為共線方程。在不考慮影像畸變情況下, 共線方程常表達(dá)為歐式坐標(biāo)下的解析形式[1]:

式中, [x, y]T為像點(diǎn)坐標(biāo), f為主距, [X, Y, Z]T為物方點(diǎn)坐標(biāo), [XS, YS, ZS]T為攝站坐標(biāo), a1～c3為由外方位角元素構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣元素。

共線方程貫穿于攝影測(cè)量學(xué)整個(gè)學(xué)科體系, 數(shù)據(jù)處理時(shí)一般先對(duì)其進(jìn)行線性化處理。由于解析形式下的共線方程式為非線性函數(shù), 且旋轉(zhuǎn)矩陣元素與外方位角元素之間存在非常復(fù)雜的三角函數(shù)關(guān)系, 所以在求導(dǎo)過程中即使利用多次變換技巧, 像點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)外方位角元素求導(dǎo)后的解析結(jié)果也極其復(fù)雜。在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域, 同名的物點(diǎn)與像點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系稱為投影方程, 投影方程與共線方程僅個(gè)別參數(shù)定義有所差異[2]。投影方程一般描述為矩陣形式,通過矩陣分析方法獲得相應(yīng)問題結(jié)論, 方程形式非常簡(jiǎn)潔。因此, 可將共線方程也表達(dá)為矩陣形式,利用矩陣分析理論獲得其線性化解。

1　齊次坐標(biāo)描述的共線方程

在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域, 習(xí)慣用齊次坐標(biāo)下的矩陣形式表示投影方程[3–6]:

或

式中, K為由主距構(gòu)成的對(duì)角矩陣; R為像空間坐標(biāo)系到像空間輔助坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣; Xs為圖像投影中心在像空間輔助坐標(biāo)系中的歐氏坐標(biāo)。

結(jié)合式(1)和(3)可以得到

因此, 式(1)~(3)和(5)在表達(dá)共線方程式時(shí)是一致的。

2　共線條件方程線性化的矩陣模型

以歐拉角描述的影像外方位元素(Xs, Ys, Zs, φ, ω, κ)為例, 將式(1)線性化處理, 得到像點(diǎn)坐標(biāo)誤差方程式:

式(6)可用矩陣表達(dá)為

這里, 采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法(鏈?zhǔn)椒▌t)推導(dǎo)像點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)外方位元素的導(dǎo)數(shù), 即

事實(shí)上, 在數(shù)值解算中, 只要弄清楚 JM和 Je,就可以得到系數(shù)矩陣A, 這也是矩陣方法的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)。

由式(5)易得

為了求解Je,對(duì)投影矩陣兩?邊對(duì)外方位元素求導(dǎo)可得

對(duì)于φ - ω - κ 轉(zhuǎn)角系統(tǒng), 旋轉(zhuǎn)矩陣

至此, 基于矩陣分析方法的共線方程線性化系數(shù)推導(dǎo)完畢。需要指出的是, 該方法對(duì)由不同姿態(tài)元素構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣都有很好的適用性, 如反對(duì)稱矩陣法、四元數(shù)及軸角[7]等, 差異之處僅在于投影矩陣對(duì)姿態(tài)元素變量的求導(dǎo)上, 即式(11)~ (13)。

由式(14)易知, 對(duì)于物方點(diǎn)及外方位線元素的求導(dǎo)結(jié)果與解析方法一致, 而對(duì)于外方位角元素,因篇幅有限, 本文僅證明與解析法[1]的一致性。

3 矩陣分析法結(jié)論證明

求導(dǎo)結(jié)果與解析方法[1]的求導(dǎo)結(jié)果完全一致。

4　結(jié)論與貢獻(xiàn)

共線方程線性化是攝影測(cè)量數(shù)據(jù)處理的前提,基于解析方法建立的共線方程線性化過程及結(jié)果形式非常復(fù)雜, 不易掌握。利用矩陣分析方法能有效降低推導(dǎo)的復(fù)雜性, 求導(dǎo)過程清晰明了, 為攝影測(cè)量這一基本關(guān)系式處理提供全新的分析方法。本文主要結(jié)論和貢獻(xiàn)如下。

1) 借鑒計(jì)算機(jī)視覺中“共線方程”的矩陣形式,構(gòu)造出攝影測(cè)量中共線方程的矩陣表達(dá)形式, 為利用矩陣分析方法奠定理論基礎(chǔ), 也為計(jì)算機(jī)視覺與攝影測(cè)量學(xué)科之間建立重要聯(lián)系。

2) 詳細(xì)推導(dǎo)建立共線方程線性化的矩陣分析方法, 并且對(duì)推導(dǎo)結(jié)果給予驗(yàn)證。

3) 矩陣分析方法建立的共線方程線性化過程對(duì)于其他形式構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣都有較好的適用性,如四元數(shù)、反對(duì)稱矩陣及軸角方法等, 都可將共線方程線性化問題歸結(jié)為旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)角元素的求導(dǎo),思路清晰, 也利于數(shù)值解算。

[1] 王之卓. 攝影測(cè)量原理. 北京: 測(cè)繪出版社, 1980

[2] 張祖勛. 數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量與計(jì)算機(jī)視覺. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào): 信息科學(xué)版, 2004, 29(12): 1035–1039

[3] 馬頌德, 張正友. 計(jì)算機(jī)視覺——理論與算法. 北京: 科學(xué)出版社, 1998

[4] Hartley B R, Zisserman A. Multiple view geometry in computer vision. Cambridge: Cambridge University Press, 2003

[5] Szeliski R. Computer vision: algorithms and applications. Heidelberg: Springer-Verlag, 2011

[6] Forsyth D A, Ponce J. Computer vision: a modern approach. 2nd. New Jersey: Prentice Hall, 2012

[7] 徐振亮. 軸角描述的車載序列街景影像空中三角測(cè)量與三維重建方法研究[D]. 武漢: 武漢大學(xué), 2014

Collinear Equation Linearized Matrix Model

XU Zhenliang1LI Yanhuan2YAN Li3，?YAN Lei1
1. Spatial Information Integration & Applications Beijing Key Laboratory, Peking University, Beijing 100871; 2. Audit Office, Liaoning Technical University, Fuxin 123009; 3. School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079; ? Corresponding author, E-mail: lyan@sgg.whu.edu.cn

Using the matrix expression form of computer vision projection equation, the collinear equation is constructed into matrix equation. With the projection matrix element as a composite function, this paper realizes the unification derivation of each variable of the collinear equation based on the matrix analysis method. Compared with the traditional analytical method of linearization, the form of matrix analysis process is quite succinct and easy to understand, which can be used to the numerical solution of linear library application. For the various construction form of the rotation matrix, this method has better adaptability. The constructed matrix of collinear equation has important enlightenment significance for using computer vision method.

collinear equation; projection equation; projection matrix; homogeneous coordinates

TP751; P234

國(guó)家自然科學(xué)基金(11174017, 41271456)和北京市共建項(xiàng)目(SYS1000010402)資助

2014-12-20; 修回日期: 2015-05-14; 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-05-17