李嘉琪　王曙光　寧杰遠(yuǎn). 北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院北京 0087；2. 中國(guó)地震局地震預(yù)測(cè)研究所北京 00036；? 通信作者E-mail：sgwang@cea-ies.ac.cn

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應(yīng)用迭代疊加法分離震源譜的理論探討

李嘉琪1王曙光2，?寧杰遠(yuǎn)1
1. 北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院北京 100871；2. 中國(guó)地震局地震預(yù)測(cè)研究所北京 100036；? 通信作者E-mail：sgwang@cea-ies.ac.cn

推導(dǎo)了通過(guò)迭代疊加法計(jì)算震源譜的解析表達(dá)式。結(jié)果表明分離出的震源譜與臺(tái)站項(xiàng)無(wú)關(guān)但是包含與事件-臺(tái)站位置分布非均勻性有關(guān)的路徑項(xiàng)影響這種影響將關(guān)系到擬合震源譜求取應(yīng)力降的正確性。通過(guò)基于實(shí)例的數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步證實(shí)了這一理論推斷。最后對(duì)如何正確地應(yīng)用迭代疊加法計(jì)算應(yīng)力降進(jìn)行了討論給出可行的正確獲取地震應(yīng)力降的研究方案為更準(zhǔn)確地利用地震臺(tái)網(wǎng)資料獲取震源信息提供了基礎(chǔ)。

震源譜；應(yīng)力降；地震臺(tái)陣；衰減；迭代；疊加

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 第52卷 第3期 2016年5月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis PekinensisVol. 52No.3（May 2016）doi：10.13209/j.0479-8023.2016.042

地震臺(tái)站記錄的地震波形包含震源區(qū)、傳播路徑和臺(tái)站響應(yīng)信息。從記錄的地震波形中分離出地震的震源譜進(jìn)而定量地分析震源區(qū)性質(zhì)對(duì)于判斷地震危險(xiǎn)性具有十分重要的意義是地震學(xué)與地球內(nèi)部物理學(xué)中重要的研究課題。

在震源模型中遠(yuǎn)場(chǎng)記錄的震源譜可以近似地用頻譜的低頻水平（low frequency level）和拐角頻率（corner frequency）表達(dá)［1］。由于地震矩可以用破裂尺度和應(yīng)力降表達(dá)［2-3］因此遠(yuǎn)場(chǎng)記錄的震源譜可用于求取應(yīng)力降?；谝恍┘僭O(shè)，對(duì)單臺(tái)記錄的地震波形可以直接求取應(yīng)力降［4-7］。隨著高質(zhì)量地震數(shù)據(jù)的獲取以及寬頻帶地震學(xué)的快速發(fā)展，人們更多地應(yīng)用多臺(tái)站-多事件記錄疊加求取區(qū)域甚至全球的應(yīng)力降。

根據(jù)地震波的傳播和衰減特征Atkinson 等［8］采用分段式模型，從臺(tái)站記錄的位移譜中分離出路徑項(xiàng)。Moya 等［9］假設(shè)路徑項(xiàng)已知采取遺傳算法，從位移譜中同時(shí)反演出震源參數(shù)和臺(tái)站項(xiàng)。一些研究者利用類(lèi)似方法求取不同地區(qū)的地震應(yīng)力降［10-12］。近年來(lái)Shearer等［13］提出先獨(dú)立分離出震源譜再引入震源模型求取應(yīng)力降的分步求解方法。這種方法對(duì)所有臺(tái)站記錄的同一地震位移譜進(jìn)行疊加以得到更準(zhǔn)確的震源項(xiàng)；對(duì)同一臺(tái)站記錄的所有地震的位移譜進(jìn)行疊加以得到更準(zhǔn)確的臺(tái)站項(xiàng)；對(duì)路徑長(zhǎng)度基本上相同的位移譜進(jìn)行疊加，以得到更準(zhǔn)確的路徑項(xiàng)。通過(guò)對(duì)多個(gè)臺(tái)站觀測(cè)的多個(gè)事件記錄的迭代疊加最終得到穩(wěn)定的震源項(xiàng)、路徑項(xiàng)和臺(tái)站項(xiàng)。該方法可以獨(dú)立得到不受臺(tái)站項(xiàng)、路徑項(xiàng)和震源項(xiàng)模型影響的震源譜并且在實(shí)際計(jì)算中收斂速度快因而廣泛應(yīng)用于地震應(yīng)力降的研究中［13-16］。

研究人員對(duì) Shearer 等［13］的分離方法的應(yīng)用條件進(jìn)行了多種測(cè)試［15-18］。對(duì)帕克菲爾德地區(qū)地震事件的輸入/輸出一致性檢驗(yàn)［15］表明拐角頻率在高頻區(qū)間（大于 20 Hz）存在輸入/輸出不一致的現(xiàn)象應(yīng)力降也普遍存在輸入/輸出不一致的情況。同時(shí)臺(tái)陣中相近臺(tái)站得到的震源譜曲線也存在一定的差異。因此在進(jìn)一步的應(yīng)用中他們根據(jù)測(cè)試結(jié)果選取輸入/輸出一致性較強(qiáng)的頻率區(qū)間進(jìn)行計(jì)算［15-16］并對(duì)應(yīng)力降進(jìn)行平滑處理更多地關(guān)注應(yīng)力降的趨勢(shì)性變化［17-18］。同時(shí)迭代疊加分離的應(yīng)力降統(tǒng)計(jì)分析表明在臺(tái)站數(shù)量較少且分布不均勻的情況下得到的應(yīng)力降數(shù)值偏大［13］。為了確定這種方法的適用條件并更好地在實(shí)際工作中應(yīng)用它，有必要研究該方法的嚴(yán)格適用條件及合理使用方案。

本文通過(guò)推導(dǎo)迭代疊加法確定震源譜的解析表達(dá)式探討該方法是否可以應(yīng)用于更普遍的觀測(cè)條件。首先通過(guò)三臺(tái)站-三事件的例子展示震源譜迭代分離的具體過(guò)程。進(jìn)一步地得到任意臺(tái)站-事件條件下震源譜的普遍表達(dá)式并討論其中各項(xiàng)取值對(duì)應(yīng)力降計(jì)算的影響。在此基礎(chǔ)上對(duì)如何正確地基于迭代疊加法計(jì)算應(yīng)力降進(jìn)行討論。

1　多臺(tái)站-多事件震源譜迭代分離方法

臺(tái)站記錄的地震波主要包含震源、傳播路徑、臺(tái)站以及噪聲等信息。Shearer 研究組［13，19-21］提出一種基于臺(tái)站迭代疊加求取震源項(xiàng)的方法Yang等［14］將這種方法應(yīng)用于應(yīng)變降的研究中。

在頻率域?qū)Φ卣鸩ǖ奈灰谱V取對(duì)數(shù)臺(tái)站 j 對(duì)事件i記錄到的位移譜dij可以表示為

其中ei為震源項(xiàng)tk（ij）為路徑項(xiàng)sj為臺(tái)站項(xiàng)rij是殘差項(xiàng)。為了體現(xiàn)路徑長(zhǎng)度的影響不同長(zhǎng)度的路徑項(xiàng)用下角標(biāo)k標(biāo)識(shí)。

為了提高計(jì)算精度Shearer等［13］和Yang等［14］假設(shè)每個(gè)地震與相鄰地震震源性質(zhì)相似從而將所關(guān)注的地震與周?chē)卣鸱譃橐唤M。下面的分析類(lèi)似一組地震與所有臺(tái)站記錄進(jìn)行分離的情形具體做法主要參照 Yang 等［14］的工作計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單介紹如下。

在對(duì)觀測(cè)位移譜的迭代分離中假設(shè)震源項(xiàng)、路徑項(xiàng)和殘差項(xiàng)的第一步均為零，

假設(shè)m個(gè)地震事件n個(gè)地震臺(tái)站k個(gè)路徑離散步長(zhǎng)情況下對(duì)任意臺(tái)站 j記錄到的所有位移譜dij進(jìn)行疊加得到第一步的臺(tái)站項(xiàng)：

第二步的迭代按照相同項(xiàng)疊加求取平均的方法進(jìn)行。第p步的各項(xiàng)表示為

通過(guò)以上步驟得到的震源項(xiàng)為相對(duì)值即各事件震源項(xiàng)與所有震源項(xiàng)平均值的差。得到所有震源項(xiàng)的平均值后可以進(jìn)一步計(jì)算各個(gè)事件震源項(xiàng)的絕對(duì)值。

2　迭代疊加法分離震源譜的解析表達(dá)式

參照 Yang 等［14］的計(jì)算流程首先針對(duì)三臺(tái)站-三事件的簡(jiǎn)單情形給出每一步迭代過(guò)程的震源項(xiàng)、路徑項(xiàng)、臺(tái)站項(xiàng)和殘差項(xiàng)的表達(dá)式接著給出震源項(xiàng)的普遍表達(dá)式。

以三臺(tái)站-三事件的情況為例說(shuō)明。設(shè)震源項(xiàng)、路徑項(xiàng)和臺(tái)站項(xiàng)為已知：震源項(xiàng)為E1E2E3；臺(tái)站項(xiàng)表示為S1S2S3；路徑項(xiàng)按震中距大小分為兩組震中距較大的分為一組在第一個(gè)下角標(biāo)中標(biāo)注2加以區(qū)分具體形式為 T2（12）T2（13）和 T2（22），其余為一組在第一個(gè)下角標(biāo)標(biāo)注1加以區(qū)分；殘差項(xiàng)相應(yīng)地表示為Rij其中下角標(biāo)ij（= 123）分別對(duì)應(yīng)于地震和臺(tái)站。

各個(gè)臺(tái)站的記錄按照第 1節(jié)的方法表達(dá)如第一個(gè)和第二個(gè)臺(tái)站記錄到的第一個(gè)事件可以表示為

按照第 1節(jié)介紹的迭代方法第一步迭代的臺(tái)站項(xiàng)可以表示為

由于假設(shè)震源項(xiàng)、路徑項(xiàng)和殘差項(xiàng)的第一步均為零所以第一步迭代得到的臺(tái)站項(xiàng)（如第一個(gè)臺(tái)站的臺(tái)站項(xiàng)s11）不僅包含臺(tái)站項(xiàng)的本身的真實(shí)值S1，還包括所有震源項(xiàng)的平均值、記錄的所有路徑項(xiàng)的平均值以及所有相關(guān)殘差項(xiàng)的平均值

迭代得到的第二步震源項(xiàng)為

第二步迭代得到的震源項(xiàng)形式上表現(xiàn)為三項(xiàng)之和：一個(gè)事件的震源項(xiàng)與所有震源項(xiàng)平均的偏離值、該事件所涉及的路徑項(xiàng)的平均值與所有路徑項(xiàng)平均值的偏離值以及這個(gè)事件涉及的殘差項(xiàng)平均值與所有事件殘差項(xiàng)平均值的偏離值。

相應(yīng)地可以得出迭代得到的第二步路徑項(xiàng)。路徑項(xiàng)按照震中距分組假設(shè)同一震中距區(qū)間內(nèi)路徑項(xiàng)相同。

第一組的路徑項(xiàng)為

整理后得

第二組的路徑項(xiàng)為

相應(yīng)步長(zhǎng)區(qū)間內(nèi)的各個(gè)路徑項(xiàng)均更新為該區(qū)間內(nèi)路徑項(xiàng)的平均值：

路徑項(xiàng)包含各種步長(zhǎng)的路徑內(nèi)容以及相應(yīng)的殘差項(xiàng)內(nèi)容。由于前面對(duì)臺(tái)站項(xiàng)和震源項(xiàng)的迭代計(jì)算中包含對(duì)不同路徑長(zhǎng)度的路徑項(xiàng)取平均，所以這一步迭代得到的路徑項(xiàng)與具體的臺(tái)站和事件分布直接相關(guān)。也就是說(shuō)，不同的震中距分布第二步迭代得到的路徑項(xiàng)完全不同。并且，第一組路徑項(xiàng)包含第二組路徑項(xiàng)的信息（同樣第二組路徑項(xiàng)也包含第一組路徑項(xiàng)的信息）。

第二步的臺(tái)站項(xiàng)為

由于上一步迭代路徑項(xiàng)形式的復(fù)雜性，第二步迭代得到的臺(tái)站項(xiàng)與上一步相比，除明確表達(dá)的震源項(xiàng)的平均、相關(guān)路徑項(xiàng)和殘差項(xiàng)的平均以及臺(tái)站項(xiàng)自身還包括與臺(tái)站、事件分布有關(guān)的路徑以及殘差的影響。

第二步迭代得到的殘差項(xiàng)表示為

第三步的迭代結(jié)果為

式（20）～（24）說(shuō)明第三步迭代得到的震源項(xiàng)與第二步相同，即震源項(xiàng)的迭代在第三步得到收斂，這與Yang等［14］利用實(shí)際資料計(jì)算的收斂情況一致。

因此，從理論上講第二步迭代得到的震源項(xiàng)就是迭代疊加法最終分離得到的震源項(xiàng)：

為了表達(dá)簡(jiǎn)潔我們用下角標(biāo)上加橫杠的方式表達(dá)對(duì)于該下角標(biāo)的遍歷求和并做求取平均的計(jì)算。臺(tái)站和事件確定后，路徑長(zhǎng)度唯一確定，這種情況下，我們將tk（ij）簡(jiǎn)單地表示為tij。對(duì)于三臺(tái)站-三事件的簡(jiǎn)單例子，可以表示為其中g(shù)k2和 hj2分別為與臺(tái)站和事件分布相關(guān)的函數(shù)，表征其在迭代第二步中對(duì)離散步長(zhǎng)以 k標(biāo)識(shí)的路徑項(xiàng)以及第j個(gè)臺(tái)站項(xiàng)的影響。

通過(guò)以上分析可以得到迭代過(guò)程中只有函數(shù)gk2和 hj2與臺(tái)站和地震事件的相對(duì)位置有關(guān)。因此，以上的震源項(xiàng)（式（27））和殘差項(xiàng)（式（30））與臺(tái)站和地震事件的數(shù)量以及相對(duì)位置無(wú)關(guān)為任意臺(tái)站地震事件數(shù)量和分布條件下的普遍表達(dá)式?？紤]到式（21）～（24）實(shí)際上也適用于任意臺(tái)站和事件數(shù)量的情況，所以對(duì)任意的 m 個(gè)地震、n 個(gè)臺(tái)站，迭代疊加法分離的震源譜的普遍表達(dá)式為也就是

3 震源譜分離表達(dá)式的測(cè)試

3.1 震源譜分離的測(cè)試算法

為了測(cè)試前面得到的震源譜分離的普遍表達(dá)式，并探討其在區(qū)域地震研究中的應(yīng)用，參照 Yang等［14］的計(jì)算程序我們編制了數(shù)值計(jì)算程序，計(jì)算過(guò)程包括3個(gè)部分：正演計(jì)算、反演計(jì)算和還原計(jì)算。程序的正演計(jì)算方法是從已發(fā)表文獻(xiàn)中讀取相關(guān)的臺(tái)站項(xiàng)、路徑項(xiàng)和震源項(xiàng)模型及參數(shù)，作為已知輸入合成位移譜。程序的反演計(jì)算方法是，按照第 2 節(jié)的迭代疊加過(guò)程，對(duì)正演合成的位移譜進(jìn)行操作，得到單個(gè)事件的震源譜分離結(jié)果（實(shí)際上得到的反演結(jié)果是震源、路徑和殘差三項(xiàng)偏離值的和（式（32）），而不只是震源項(xiàng)信息）。進(jìn)一步地，我們對(duì)震源譜分離結(jié)果進(jìn)行擬合，還原得到單個(gè)事件的震源參數(shù)，并與正演計(jì)算中輸入的參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，以此測(cè)試震源譜分離表達(dá)式的正確性。

正演計(jì)算中位移譜通過(guò)震源項(xiàng)、路徑項(xiàng)和臺(tái)站項(xiàng)的模型參數(shù)疊加計(jì)算得到。選取正演計(jì)算的頻率范圍為 1～50 Hz路徑項(xiàng)離散距離的步長(zhǎng)設(shè)為100 km。從文獻(xiàn)中選取的震源項(xiàng)［13］、路徑項(xiàng)［22］和臺(tái)站項(xiàng)［23］模型及所使用的參數(shù)如表1所示。按照式（1）的表述應(yīng)用表1中的模型和參數(shù)計(jì)算得到臺(tái)站項(xiàng)、路徑項(xiàng)和震源項(xiàng)并合成得到位移譜。由于一般情況下觀測(cè)記錄的極低頻數(shù)值和高頻數(shù)值存在很大誤差類(lèi)似于實(shí)際工作的處理方式，因此在得到正演結(jié)果后，進(jìn)一步的擬合計(jì)算只利用頻率范圍為2～40 Hz的數(shù)據(jù)。

還原計(jì)算參照 Shearer等［13］的方法震源譜模型采用的形式［3］其中 u（f ）為震源譜的分離結(jié)果?0是震源譜的低頻水平fc是拐角頻率。還原震源項(xiàng)時(shí)需要首先得到震源模型參數(shù)：低頻水平和拐角頻率。具體方法是采用震源譜分離結(jié)果在低頻范圍內(nèi)前5個(gè)頻率采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幅度平均值作為相對(duì)低頻水平值應(yīng)用理論模型對(duì)震源譜分離結(jié)果進(jìn)行擬合得到每個(gè)地震事件的拐角頻率（通過(guò)震源譜分離結(jié)果與理論預(yù)測(cè)結(jié)果相減，將只代表包含拐角頻率部分 ln［1+（f / fc）n］的震源譜之和表達(dá)出來(lái)；通過(guò)震源譜分離結(jié)果與震源譜相加，把震源譜絕對(duì)值表達(dá)出來(lái)；由此判斷與理論預(yù)測(cè)結(jié)果的擬合殘差通過(guò)全局搜索得到拐角頻率和相對(duì)震源譜）。應(yīng)用擬合的拐角頻率和輸入模型中的低頻水平值（因?yàn)槲覀兏P(guān)心與應(yīng)力降有關(guān)的拐角頻率能否正確計(jì)算所以用輸入模型中的真實(shí)低頻水平值和擬合得到的拐角頻率作為震源譜參數(shù)計(jì)算還原震源譜）計(jì)算得到還原的震源譜。將還原的震源譜與輸入模型中的震源譜進(jìn)行對(duì)比可以測(cè)試臺(tái)站項(xiàng)和路徑項(xiàng)對(duì)于震源譜分離的影響。

3.2 震源譜分離結(jié)果與臺(tái)站項(xiàng)無(wú)關(guān)

我們首先檢驗(yàn)不同臺(tái)站項(xiàng)對(duì)分離震源譜的影響。臺(tái)站項(xiàng)輸入模型選用第四紀(jì)、第三紀(jì)和中生代3種典型沉積地層上方臺(tái)站的頻率響應(yīng)［23］。臺(tái)站項(xiàng)的選取參照文獻(xiàn)［23］。因?yàn)?Bonilla等［23］的臺(tái)站項(xiàng)數(shù)值只在 0.5～24 Hz范圍內(nèi)所以具體的選取方式為：在 0.5～24 Hz范圍內(nèi)完全采用 Bonilla等［23］的臺(tái)站項(xiàng)數(shù)值；在 24～50 Hz范圍內(nèi)采取相同的數(shù)值（即0.5～24 Hz范圍內(nèi)的最小值）。假設(shè)4個(gè)事件，3個(gè)臺(tái)站事件位置（東經(jīng)和北緯）分別為（125.035.0），（126.033.0）（126.033.5）和（125.034.0）。臺(tái)站位置分別為（125.036.0）（124.933.1）和（123.9，32.0）。為了突出臺(tái)站項(xiàng)的影響，輸入的震源模型中，事件的矩震級(jí)都取 3.0拐角頻率分別為 4.4，9.516.3和19.8 Hz。我們進(jìn)行了4組對(duì)比測(cè)試，前3組為 3個(gè)臺(tái)站選取相同的臺(tái)站項(xiàng)，分別為第四紀(jì)、第三紀(jì)和中生代；第4組為3個(gè)臺(tái)站分別選取3種不同的臺(tái)站項(xiàng)。正演計(jì)算、反演計(jì)算和還原計(jì)算的結(jié)果如圖1所示。

測(cè)試結(jié)果表明震源譜的迭代疊加分離計(jì)算與臺(tái)站項(xiàng)無(wú)關(guān)。對(duì)3個(gè)臺(tái)站項(xiàng)選用3種不同類(lèi)型臺(tái)站響應(yīng)的組合（圖1（a））進(jìn)行正演計(jì)算得到位移譜，并進(jìn)一步得到震源譜分離結(jié)果（圖1（b）中藍(lán)色曲線）后，與應(yīng)用解析表達(dá)式（式（32））直接計(jì)算得到的震源譜分離預(yù)測(cè)結(jié)果（圖1（b）中灰色虛線）完全相同充分說(shuō)明臺(tái)站項(xiàng)不影響應(yīng)用迭代疊加法分離震源譜。這一結(jié)果的意義在于在應(yīng)用迭代疊加法分離震源譜的計(jì)算過(guò)程中，不用考慮臺(tái)站響應(yīng)的差異。

還原的震源譜（圖 1（b）中紅色點(diǎn)線）與輸入的震源譜（圖 1（b）中黑色實(shí)線）存在差異，說(shuō)明傳統(tǒng)的求取震源譜的方法［13-14］會(huì)受到其他因素的影響這與根據(jù)式（32）得到的推論相同。

3.3 路徑項(xiàng)對(duì)震源譜分離結(jié)果的影響

為了顯示路徑項(xiàng)的影響我們?cè)谙旅娴挠?jì)算測(cè)試中假定臺(tái)站位置均勻分布設(shè)計(jì)事件位置分別為均勻分布、線性分布和個(gè)別事件零星分布3種情況。由于臺(tái)站與事件的互易性這種測(cè)試也對(duì)應(yīng)于事件位置分布均勻、臺(tái)站位置分布非均勻的情況。為了突出不同拐角頻率下臺(tái)站項(xiàng)對(duì)震源譜迭代疊加分離計(jì)算的影響假設(shè)4個(gè)地震事件矩震級(jí)均為3.0對(duì)應(yīng)震源模型的拐角頻率輸入值分別為 12.0，13.815.1和16.3Hz。圖2顯示臺(tái)站和事件的幾何分布、震源譜分離結(jié)果與擬合結(jié)果的對(duì)比以及震源譜輸入模型與擬合結(jié)果的對(duì)比。

對(duì)于事件位置均勻、線性和零星分布3種情況（圖2（a））得到3組完全不同的震源譜分離結(jié)果（圖2（b）中藍(lán)色實(shí)線）表明路徑項(xiàng)對(duì)于震源譜分離結(jié)果有影響。圖 2（c）顯示非均勻的事件分布使反演得到的震源譜與輸入模型之間產(chǎn)生了一定的偏離。因此臺(tái)站和事件分布不均勻時(shí)迭代疊加法不能給出震源譜的正確結(jié)果。相應(yīng)地?cái)M合的拐角頻率與輸入模型之間也有差別（表2）。

4　路徑項(xiàng)對(duì)求取拐角頻率和應(yīng)力降的影響及消除

震源項(xiàng)分離的普遍表達(dá)式包含路徑項(xiàng)和殘差項(xiàng)的影響。當(dāng)?shù)卣鹗录团_(tái)站數(shù)量足夠多且分布均勻時(shí)震源項(xiàng)表達(dá)式（式（32））中包含的路徑項(xiàng)接近零。這個(gè)條件在 Shearer等［13］對(duì)南加州的應(yīng)力降研究以及 Allmann 等［16］對(duì)全球的應(yīng)力降研究中是成立的也就是在這種情況下分離得到的震源項(xiàng)只包括該地震事件震源項(xiàng)與所有地震事件震源項(xiàng)平均值的偏離。下面具體地討論路徑項(xiàng)在不同地震事件和臺(tái)站分布情況下對(duì)求取拐角頻率和應(yīng)力降的可能影響。

參照Shearer等［13］選取的震源模型，拐角頻率fc表達(dá)為應(yīng)力降的函數(shù)［1］：其中，β是剪切波速度，M0是地震矩，Δσ是應(yīng)力降，利用得到的拐角頻率以及表1和2中給出的計(jì)算參數(shù)，可以進(jìn)一步計(jì)算應(yīng)力降。

計(jì)算結(jié)果表明當(dāng)臺(tái)站和事件分布不均勻時(shí)，通過(guò)擬合迭代疊加法結(jié)果得到的應(yīng)力降與輸入的應(yīng)力降差異明顯。需要說(shuō)明的是擬合迭代疊加法給出的震源譜時(shí)與拐角頻率相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力降格點(diǎn)搜索步長(zhǎng)為2MPa搜索范圍為10～60MPa。也就是說(shuō)如果擬合得到的應(yīng)力降是10和60MPa意味著擬合不收斂。例如在臺(tái)站和事件線性分布和零星分布情況下對(duì)于模型輸入的應(yīng)力降為 2030，4050 MPa的擬合結(jié)果分別為60541016 MPa 和60606010 MPa就屬于這種情況。

在針對(duì)區(qū)域地震的應(yīng)力降研究中有時(shí)難以保證臺(tái)站和事件均勻分布。地震事件沿?cái)鄬泳€性分布或者個(gè)別地震事件零星分布的情況是存在的。尤其在應(yīng)用流動(dòng)地震臺(tái)研究余震時(shí)地震臺(tái)數(shù)量有限主震斷層兩端的地震事件分別偏離整個(gè)流動(dòng)臺(tái)陣。在這種條件下應(yīng)用迭代疊加法分離震源譜會(huì)面臨這種臺(tái)站路徑分布不均勻產(chǎn)生的影響路徑項(xiàng)對(duì)應(yīng)力降的擬合有很大的影響。這時(shí)可以將反演得到的分離震源譜減去路徑項(xiàng)進(jìn)而類(lèi)似地應(yīng)用迭代疊加方法計(jì)算拐角頻率和應(yīng)力降。

假定路徑項(xiàng)先驗(yàn)已知從分離得到的震源譜中按照分離震源項(xiàng)的普遍表達(dá)式中對(duì)于路徑項(xiàng)的表述

表2　輸入震源譜和分離震源譜對(duì)應(yīng)的拐角頻率和應(yīng)力降Table 2 Corner frequency and stress drop given by input and separated source spectra

減去路徑項(xiàng)的影響。3種臺(tái)站-事件分布情況下，去除路徑項(xiàng)影響后得到相同的路徑修正擬合值：223242和52 MPa對(duì)應(yīng)于203040和50 MPa的初始模型輸入值擬合得到的應(yīng)力降誤差范圍為4%～10%。盡管擬合值數(shù)值并不大但存在普遍偏大的情況。這主要是因?yàn)榍笕〉牡皖l水平值是震源譜前5個(gè)低頻采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幅值的平均值。當(dāng)?shù)卣鹋_(tái)站不是寬頻帶地震臺(tái)站或者地震事件的拐角頻率較小時(shí)與輸入的數(shù)值相比求取的低頻水平值偏小擬合的拐角頻率將偏大由此導(dǎo)致擬合的應(yīng)力降偏大。在利用實(shí)際數(shù)據(jù)反演應(yīng)力降時(shí)應(yīng)在選用儀器、利用資料和采納方法時(shí)予以精選或在結(jié)果解釋時(shí)予以校正。

5　結(jié)論和討論

臺(tái)站記錄的地震位移譜包含代表源區(qū)特征的震源項(xiàng)、代表傳播路徑衰減特征的路徑項(xiàng)和代表臺(tái)站附近區(qū)域特征的臺(tái)站項(xiàng)。本文基于對(duì)多臺(tái)站-多事件位移譜迭代疊加分離求取震源項(xiàng)過(guò)程的解析表達(dá)式分析得到分離震源項(xiàng)的普遍表達(dá)式。最終分離得到的單個(gè)事件震源譜為三項(xiàng)偏離值的和：該事件震源項(xiàng)與所有事件震源項(xiàng)平均的偏離值、事件與所有臺(tái)站間路徑項(xiàng)平均值和所有事件同類(lèi)項(xiàng)平均值的偏離值以及與路徑項(xiàng)偏離形式一致的與殘差項(xiàng)相關(guān)的偏離值。結(jié)果表明分離的震源譜與臺(tái)站項(xiàng)無(wú)關(guān)但是會(huì)受到與多事件-多臺(tái)站位置分布非均勻性相關(guān)的路徑項(xiàng)影響。

為了在臺(tái)站和事件分布不均勻情況下利用快速收斂的迭代疊加法得到震源譜擬合應(yīng)力降本文提出利用獨(dú)立得到的路徑項(xiàng)減震源譜分離結(jié)果可以得到類(lèi)似臺(tái)站和事件分布均勻情況下的震源譜分離結(jié)果從而進(jìn)一步計(jì)算應(yīng)力降以滿足臺(tái)站和事件分布不均勻情況下應(yīng)力降反演的需求。不過(guò)，應(yīng)當(dāng)盡量選取信噪比較高的臺(tái)站記錄以避免臺(tái)站和事件分布不均勻情況下殘差項(xiàng)的影響。

同時(shí)，本文通過(guò)表達(dá)式分析得出震源項(xiàng)與臺(tái)站項(xiàng)無(wú)關(guān)的結(jié)果增加了研究地震應(yīng)力降可用資料的范圍如受沉積層影響的流動(dòng)地震臺(tái)觀測(cè)記錄，以及不能完全去除不同類(lèi)型地震儀的儀器響應(yīng)影響的固定地震臺(tái)觀測(cè)記錄。

另外，本文的研究結(jié)果有助于流動(dòng)地震臺(tái)站建設(shè)。為避免臺(tái)站和事件分布不均勻情況下路徑項(xiàng)對(duì)應(yīng)用迭代疊加法反演震源譜的不利影響需要在地震活動(dòng)區(qū)周?chē)鶆虻夭荚O(shè)地震臺(tái)陣或借助固定地震臺(tái)網(wǎng)設(shè)計(jì)流動(dòng)地震臺(tái)陣。要求流動(dòng)地震臺(tái)站和固定地震臺(tái)站的分布整體上是均勻的比如環(huán)形甚至不完整的環(huán)形（環(huán)形的內(nèi)外徑設(shè)計(jì)要兼顧地震的震級(jí)）地震臺(tái)陣也能滿足計(jì)算要求。這時(shí)，由于不同地震的路徑項(xiàng)非常接近路徑項(xiàng)的影響就自動(dòng)消除了。不僅如此由于各個(gè)臺(tái)站的噪音水平基本上維持恒定（盡可能兼顧時(shí)間段或加一個(gè)噪聲水平限定）因此形式上完全相同的殘差項(xiàng)的影響也會(huì)在很大程度上消除。當(dāng)?shù)卣鹋_(tái)陣滿足以上要求時(shí)可以利用快速的迭代疊加法計(jì)算應(yīng)力降。隨著中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)的建設(shè)中國(guó)固定臺(tái)網(wǎng)已能滿足本文提出的要求。如果需要研究更小震級(jí)地震的應(yīng)力降可以布設(shè)更密集的臨時(shí)地震臺(tái)陣。如果僅從反演地震應(yīng)力降的角度出發(fā)只需要臨時(shí)地震臺(tái)陣和固定地震臺(tái)網(wǎng)構(gòu)成不完整的環(huán)形條帶。

致謝 在論文完成過(guò)程中與陳棋福研究員、楊文正博士進(jìn)行了有益的討論在此表示感謝。

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Theoretical Investigation on Earthquake Source Spectra Isolation by Iteratively Stacking Separation

LI Jiaqi1WANG Shuguang2，?NING Jieyuan1
1. School of Earth and Space SciencesPeking UniversityBeijing 100871；2. Institute of Earthquake ScienceChina Earthquake AdministrationBeijing 100036；? corresponding authorE-mail：sgwang@cea-ies.ac.cn

The correctness of the earthquake source spectra derived from array data with an iteratively stacking method is checked by analyzing the expressions of iterative stacking in each step. The expression of the finally derived source spectra term shows that it has nothing of the station termbut will be affected by the path term dependent on the source-receiver configurationwhich is further confirmed by numerical simulations with iteratively stacking method. Considering stress drop might be wrongly estimated when stations or events are unevenly distributedthe paper provides a strategy to derive the correct stress drop in typical conditions of stationevent configurations. It will be helpful to correctly acquire seismic source information from seismic data.

source spectrum；stress drop；seismic array；attenuation；iteration；stacking

P315

中國(guó)地震局地震預(yù)測(cè)研究所基本科研業(yè)務(wù)專項(xiàng)（02092438）和中國(guó)地震局地震行業(yè)專項(xiàng)（201408013）資助

2015-02-03；修回日期：2015-11-10；網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-05-19