徐君紅（浙江省杭州市建德市梅城嚴州中學(xué)梅城校區(qū)）

淺談高中數(shù)學(xué)的等價轉(zhuǎn)換

徐君紅
（浙江省杭州市建德市梅城嚴州中學(xué)梅城校區(qū)）

等價轉(zhuǎn)換是高中數(shù)學(xué)的重要解題思想，其通常是根據(jù)數(shù)學(xué)知識間的相互聯(lián)系，把未知解的問題轉(zhuǎn)換到學(xué)生的已有知識范圍內(nèi)，變?yōu)榭山獾膯栴}，通過不斷轉(zhuǎn)換，把那些學(xué)生不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡單的問題，從而簡化解題思路與過程，提高解題效率。在歷年的高考題中，利用等價轉(zhuǎn)換的思想進行解題也是重要的考點，因此要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺轉(zhuǎn)換意識，強化學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)變能力，提高學(xué)生的思維能力與技能、技巧。主要說明等價轉(zhuǎn)換在高中數(shù)學(xué)中的靈活運用。

高中數(shù)學(xué)；等價轉(zhuǎn)換；思維

高中數(shù)學(xué)的知識點繁多，數(shù)學(xué)問題復(fù)雜多變，如果學(xué)生只是注重數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，注重解題的結(jié)果，而忽視了對數(shù)學(xué)問題的解題技巧與方法的分析探索，他們很難學(xué)好高中數(shù)學(xué)。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，最常見的學(xué)習(xí)方式就是采用“題海戰(zhàn)術(shù)”，學(xué)生通過多做題來鞏固知識點，這種方法對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生比較適用，能夠在一段時間內(nèi)提高他們的數(shù)學(xué)成績，但是對于那些學(xué)習(xí)成績中等或是優(yōu)秀的學(xué)生卻沒什么太大的幫助，大量的數(shù)學(xué)題反而會促使他們盡量采用最短的時間來完成每一道題，這就減少了學(xué)生在做題時思考的時間，有些學(xué)生在做題時幾乎沒有思考分析，只是按照慣性思維來解題，而使得解題過程煩瑣復(fù)雜，造成學(xué)習(xí)效果不理想，同時也限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展。這就要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不能一味地注重知識的學(xué)習(xí)，還要能夠掌握數(shù)學(xué)問題的解題技巧與方法，并逐漸形成數(shù)學(xué)思維，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。而等價轉(zhuǎn)換作為數(shù)學(xué)問題的一種重要解題思路，不僅能讓學(xué)生將所學(xué)的知識進行靈活運用，鞏固數(shù)學(xué)知識，還能夠鍛煉學(xué)生的思維敏捷性，有效地提高學(xué)生的思維能力。下面我就通過一些例子來分析等價轉(zhuǎn)換在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活應(yīng)用。

一、掌握轉(zhuǎn)換思想，提高轉(zhuǎn)換的自覺性

高中數(shù)學(xué)問題中的轉(zhuǎn)化思想都是師生在長期的數(shù)學(xué)教與學(xué)的實踐過程中，在知識與方法的不斷運用中總結(jié)出來的。如在立體幾何中將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來求解等。通過對題目中的式子進行等價轉(zhuǎn)換，可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，從而簡化解題過程。因此，教師在課堂教學(xué)時要積極引導(dǎo)學(xué)生進行轉(zhuǎn)換，使學(xué)生掌握等價轉(zhuǎn)換的思想，提高轉(zhuǎn)換的自覺性。

（1）求sin x－cos x的值。

【分析】由于該題已知條件較少，教師在進行例題講解時，就要引導(dǎo)學(xué)生將三角函數(shù)部分的其他公式進行運用。通過對題目與所求問題式子進行觀察，我們發(fā)現(xiàn)可以對該題中的原式進行平方，就可以得到我們熟悉的三角函數(shù)關(guān)系式，即sin2x+cos2x=1。然后通過自變量的取值范圍，得到所求式子的值。

小結(jié)：三角函數(shù)的求值問題是幾年來高考的重要考點之一，為了讓學(xué)生熟練掌握并將其運用，教師在進行課堂教學(xué)時就要讓學(xué)生積極動腦思考，并進行總結(jié)。由于三角函數(shù)部分的公式較多，對于這些公式，學(xué)生不能只知其一，不知其二。所謂“授人以魚，不如授人以漁”，教師要將公式的推導(dǎo)過程向?qū)W生演示，或是讓學(xué)生根據(jù)已知的公式自己進行推導(dǎo)，一方面可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的印象，并將其進行鞏固，另一方面，在推導(dǎo)過程中學(xué)生能逐漸提高邏輯性思維能力，并且若是學(xué)生沒有記住這些公式，在需要用的時候，他們也可以自行推導(dǎo)，而不會覺得解題毫無頭緒。

【分析】很多學(xué)生在初看到這道題時，覺得很簡單，只是直觀地認為該題考查的主要知識就是tanθ與sinθ、cosθ之間的關(guān)系，即tanθ=，便匆匆得出答案A。但在我們仔細分析過后，發(fā)現(xiàn)答案A是錯解，正解應(yīng)為答案C。三角函數(shù)問題還有一個重要的已知條件，即sin2θ+cos2θ=1，而很多學(xué)生做錯就是因為忽略了這個隱藏的條件，而解不出m的值。

小結(jié)：由上題可知，教師在教學(xué)時不僅要讓學(xué)生記住做題的思路，還要讓他們能夠?qū)⒐届`活進行運用。

結(jié)合我的教學(xué)經(jīng)驗，我覺得高中數(shù)學(xué)教師，尤其是高三數(shù)學(xué)教師，最好將數(shù)學(xué)的各部分知識以專題的形式進行講解，以便于學(xué)生對每部分知識的整體掌握，并且由于數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性，我們在講解一道例題時，涉及的知識點會有很多，逐漸讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進行綜合運用，使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)換的思想，提高轉(zhuǎn)換的自覺性。另外，數(shù)學(xué)問題的靈活多變，使得每道題的解法不一，學(xué)生就可以開拓思路進行解題，并在不斷思考中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力。

二、注重轉(zhuǎn)化研究，實行轉(zhuǎn)換的多樣性

高中數(shù)學(xué)問題的靈活多變與各知識點間的相互聯(lián)系，使得利用等價轉(zhuǎn)換思想進行解題也具有相應(yīng)的靈活性與多樣性。利用等價轉(zhuǎn)換解決高中數(shù)學(xué)問題，沒有統(tǒng)一固定的一個解決模式，學(xué)生可以根據(jù)自己對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的掌握與運用情況，選擇適合自己的轉(zhuǎn)換方法，從而使學(xué)生的解題效率大大提高。教師在進行課堂教學(xué)時，可以將一道題利用多種不同的轉(zhuǎn)換思想來講解，既將數(shù)學(xué)知識建立了聯(lián)系，綜合運用，又開拓了學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維，使他們能夠從不同的角度、不同的方面出發(fā)，去解決問題，并在這個過程中逐漸提升自己的能力。

例3.設(shè)x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范圍。

【分析1】該題要直接求值比較復(fù)雜，但是通過變量替代，就能將復(fù)雜的問題簡化。通過設(shè)k＝x2＋y2，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為“關(guān)于x的方程有實數(shù)解時，求參數(shù)k范圍”的問題，該題就變得簡單多了。在做題時要尤其注意其中的隱含條件，即x取值范圍的確定。

【分析2】分析原題中的方程式，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過變形后的方程式可以表示橢圓的方程。因此，我們就可以采用數(shù)形結(jié)合法，將該問題轉(zhuǎn)換為解析幾何問題來求解。

【解法2】由3x2＋2y2＝6x得（x－1）2＋＝1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點在坐標(biāo)原點。x2＋y2的范圍就是橢圓上的點到坐標(biāo)原點的距離的平方。由圖可知最小值是0，距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設(shè)圓方程為x2＋y2＝k，代入橢圓中消y得x2－6x＋2k＝0。由判別式Δ＝36－8k＝0得k＝4，所以x2＋y2的范圍是：0≤x2＋y2≤4。

【分析3】該題中含有兩個未知數(shù)，而且最高次項為二次，且所求的式子與已知條件變量前的系數(shù)都不相同，若是采用純代數(shù)的方法，該題的解題過程可能會有些繁瑣，那么我們就可以將已知條件進行變形，然后采用三角代換的方法來解題。即將已知條件與所求式子都進行轉(zhuǎn)化，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題來解決。

所以x2＋y2的范圍是：0≤x2＋y2≤4。

小結(jié)：利用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進行代換，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決問題?？梢源蟠蠛喕忸}的過程，并容易幫助學(xué)生理清思路，使學(xué)生將三角函數(shù)的知識與方程知識進行有機融合，有助于學(xué)生整體掌握數(shù)學(xué)知識，并開拓學(xué)生的思路，通過對各種轉(zhuǎn)換思想的講解與運用，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識融會貫通，使其能夠?qū)W會從不同的方面去思考并解決問題，從而提高學(xué)生的思維能力，提高數(shù)學(xué)分析與學(xué)習(xí)的能力，促進學(xué)生自身的發(fā)展與進步。

【分析】分析所求值的式子，估計兩條途徑：一是將函數(shù)名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角。這兩種解題思路可以有如下三種解法。

（基本過程：切化弦→通分→化同名→拆項→差化積→化同名→差化積）

（基本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積）

（基本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）

小結(jié)：由于等價轉(zhuǎn)換時采用的思路相同，即將函數(shù)名化為同名，但是不同的轉(zhuǎn)換過程與步驟，使得轉(zhuǎn)換時采用的公式不同，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)換過程的多樣性。

三角函數(shù)部分是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一，其具有眾多的公式，其中常用的有兩角和與差、和差化積、積化和差、和差化積、萬能公式等。利用三角函數(shù)的等價轉(zhuǎn)換解題的關(guān)鍵是通過適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q，將代數(shù)表達轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達，進而把代數(shù)式的證明或解答轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的證明或解答，從而起到理順?biāo)悸?、簡化題目的作用。三角函數(shù)除了公式多之外，還有另外一個特點，就是三角函數(shù)值可以與實數(shù)值相聯(lián)系，充分利用他們之間的等價關(guān)系，可以給我們解題帶來方便，尤其是在遇到一些難以求值的三角函數(shù)時，利用特殊的三角函數(shù)值進行巧妙代換，能夠大大地簡化我們的解題過程。

以上兩道例題都利用了數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系，以及轉(zhuǎn)換思想的多樣性，通過將題目進行不同的轉(zhuǎn)化，開拓了不同的解題思路與方法。教師在教學(xué)時一定要著重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，使其將轉(zhuǎn)換思想靈活運用，提高學(xué)習(xí)能力。

三、遵循轉(zhuǎn)換的原則性，做到解題的簡捷性

在利用等價轉(zhuǎn)換思想解高中數(shù)學(xué)題時，我們要注意轉(zhuǎn)換的原則性，即將我們感覺陌生、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為熟悉、簡單的問題來處理，然后通過對數(shù)學(xué)知識的整體掌握和靈活運用，做到解題的簡捷性。下面我舉兩個例子來簡單說明一下。

分析：本題主要考查三角公式的記憶及熟練運用三角公式計算求值。通過對上題解法二的分析，采用的特值代入方法，學(xué)生能夠很容易就想到將該題中一些數(shù)與特殊三角函數(shù)相聯(lián)系，從而能夠快速地解答此題。其解題過程如下：

小結(jié)：三角函數(shù)問題的解題方法不能拘泥于一種，學(xué)生在學(xué)習(xí)時要注意靈活運用。我們在求三角函數(shù)的問題時，有如下三個原則，我將其簡稱為“三看”，即一看角，盡量把角向特殊角或可計算的角轉(zhuǎn)化；二看名稱，盡量把一道等式化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切通過公式都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切；三看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的某些公式，如果滿足則可以直接使用，如果不滿足則需要轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，再進行使用。

運用三角函數(shù)的特殊值代入的等價轉(zhuǎn)換，能將復(fù)雜的問題簡單化，并有助于明確解題思路，簡化解題過程。要想讓學(xué)生將其熟練運用，教師在進行數(shù)學(xué)題目的講解時，就要注意將各部分的知識點串聯(lián)起來，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識在腦中形成整體的框架，并能夠根據(jù)題目的不同變化，選取合適的解題思路與方法，從而提高解題效率，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并更好地發(fā)散思維，進行研究探索。

例6.若x、y、z∈R+，且x＋y＋z＝1，求的最小值。

【分析】由已知x＋y＋z＝1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式x＋y＋z，或者運用均值不等式后變成含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求式進行合理變形，即通過等價轉(zhuǎn)化，簡化所求式子，從而明確解題思路，簡化解題過程。

【注】對所求式進行等價變換，該解題過程為：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，則不難由平均值不等式而進行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在變形中保持其值不變。

小結(jié)：在我們求代數(shù)式的最值時有多種方法，如利用函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合等方法，以及運用不等式的定理公式。通過對題目的觀察與分析，采用合適的解題方法，可以有效地簡化解題過程，通過等價轉(zhuǎn)換，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為簡單易解的問題來解決。

運用等價轉(zhuǎn)換進行解題的關(guān)鍵一點就是盡可能將復(fù)雜問題簡單化，通過對題目進行分析觀察與思考，學(xué)生要能夠采用最合適的轉(zhuǎn)化思想，利用最短的時間解決問題，從而實現(xiàn)解題效率的最優(yōu)化。我們都知道高中生的時間是很緊迫的，但正是由于學(xué)生的學(xué)習(xí)時間有限，精力有限，學(xué)生更要在做題時勤動腦思考，以達到舉一反三，而不必通過大量的練習(xí)題來提高成績。教師在課堂教學(xué)中要不斷滲透數(shù)學(xué)解題的技巧與方法，從而使學(xué)生掌握解題的思路，并在練習(xí)與總結(jié)中實現(xiàn)解題的簡捷性與準確性，有效地提高數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)能力。

四、重視轉(zhuǎn)換的等價性，提高解題的正確性

等價轉(zhuǎn)換最重要的一點就是要保證轉(zhuǎn)換前后所表示的意義是一樣的，即轉(zhuǎn)換前后的式子互為重要條件。很多學(xué)生在進行轉(zhuǎn)換時，由于對數(shù)學(xué)知識點的掌握不透徹，經(jīng)常會造成轉(zhuǎn)換后的結(jié)論與原式不相等，從而造成解題的錯誤。下面我們來看一道例題。

很多學(xué)生在做這道題時都會這樣做，但實際上這樣解題是錯誤的。

【分析】事實上，由已知可得0≤x≤1，0≤y≤1，而上題假設(shè)將原函數(shù)的定義域擴大了，且條件中沒有x2+y2=1，就導(dǎo)致了錯解，正確的解法是重新?lián)Q元，再求x+y。

小結(jié)：該題的錯解告訴我們，在進行轉(zhuǎn)換時，一定要進行等價轉(zhuǎn)換，如果將原題中自變量的取值擴大或縮小，都會造成解題錯誤。因此，等價轉(zhuǎn)換的最基本也是最重要的一點，就是在進行轉(zhuǎn)換時，一定要保證轉(zhuǎn)換條件的等價性。

等價轉(zhuǎn)換的前提條件就是等價，在進行轉(zhuǎn)換時只有保證了轉(zhuǎn)換的等價，才能保證做題的準確性，否則很容易因為開始轉(zhuǎn)換的失誤而使得解題結(jié)果錯誤。因此，學(xué)生在做題時，教師要進行指導(dǎo)，強調(diào)學(xué)生對轉(zhuǎn)換的等價性引起注意，避免出現(xiàn)類似的錯誤，進而有效地提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績，提高對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情與興趣。

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，等價轉(zhuǎn)換不僅僅是一種解題方法，還是一種重要的解題思想。利用等價轉(zhuǎn)換對題目進行轉(zhuǎn)化，可以有效地簡化運算過程，而且能夠幫助學(xué)生分析解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。在解高中數(shù)學(xué)題的過程中，學(xué)生通過靈活運用多種不同形式的等價轉(zhuǎn)換，能夠?qū)?fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)問題進行有效簡化計算，收到良好的學(xué)習(xí)效果，進而使學(xué)生不再畏懼數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。所以教師在進行課堂教學(xué)時，要綜合運用等價轉(zhuǎn)換的各種解題思想與技巧，將數(shù)學(xué)知識進行有機結(jié)合，使學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識熟練掌握，并能夠融會貫通，將其綜合運用，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與思維能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的有效提升。

［1］張奠宙，鄭振出.“四基”數(shù)學(xué)模塊教學(xué)的構(gòu)件：兼談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011（5）.

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·編輯 孫玲娟