伍新　文桂林　何莉萍　徐慧東　魏克湘

摘要：首先建立了落砂機系統(tǒng)周期運動的Poincaré映射，考慮到在設(shè)計過程中經(jīng)典的Neimark_Sacker分岔臨界準(zhǔn)則需要直接計算特征值帶來的局限性，利用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準(zhǔn)則，獲得了系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacker分岔的兩參數(shù)區(qū)域圖，所獲得的參數(shù)區(qū)域圖有助于主動設(shè)計系統(tǒng)的擬周期碰撞運動。然后應(yīng)用中心流形正則形方法進一步分析了擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性。最后數(shù)值仿真表明在選定的系統(tǒng)參數(shù)處能產(chǎn)生穩(wěn)定的擬周期碰撞運動。

關(guān)鍵詞：落砂機；沖擊振動；Neimark-Sacker分岔；擬周期碰撞運動；穩(wěn)定性

中圖分類號：0322；TB123 文獻標(biāo)識碼：A

碰撞振動在實際工程領(lǐng)域中普遍存在，由于碰撞和沖擊過程中固有的不連續(xù)性造成的強非線性，使得系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)十分復(fù)雜多變，產(chǎn)生豐富的非線性現(xiàn)象，如分岔和混沌現(xiàn)象等。

振動落砂機是一種利用碰撞振動原理對砂箱進行落砂的機械設(shè)備。這種周期碰撞的機械設(shè)備工作頻率單一，導(dǎo)致生產(chǎn)效率低、能耗高。而擬周期碰撞是典型的非線性振動，與簡單的周期碰撞相比，擬周期碰撞具有多頻性，以及振動加振蕩之復(fù)式激振品質(zhì)，可提高系統(tǒng)的功能和效率，同時又沒有混沌運動的不可預(yù)測性和初始條件敏感性，該特性在實際工程領(lǐng)域具有應(yīng)用潛力，能有效解決上述存在的一些缺陷。

近來，國內(nèi)外一些學(xué)者對振動落砂機系統(tǒng)非線性特性開展了理論和數(shù)值模擬分析。羅冠煒等通過理論分析和數(shù)值仿真揭示了振動落砂機周期運動經(jīng)概周期分岔和倍周期分岔通向混沌的演化過程。丁旺才等使用中心流形范式方法研究了振動落砂機系統(tǒng)在強共振下的兩參數(shù)開折的局部動力學(xué)行為并通過數(shù)值仿真進一步揭示了系統(tǒng)共振點附近的Hopf分岔不變環(huán)面和次諧分岔4-4周期運動。

隨著分岔理論和非線性動力學(xué)設(shè)計方法的發(fā)展，人們開始關(guān)注如何主動利用分岔特性來提高系統(tǒng)的功能與效率，通過主動選擇系統(tǒng)的參數(shù)來設(shè)計出具有所期望特性的分岔解。然而上述文獻中對振動落砂機系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象的研究大部分是基于特征值的特性來描述的傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則。對于一個四維多參數(shù)的落砂機碰撞振動系統(tǒng)，如果按照傳統(tǒng)的Hopf分岔臨界準(zhǔn)則，逐點試算特征值是否滿足分岔的存在條件，這對于通過設(shè)計來主動實現(xiàn)分岔解具有一定的局限性。針對傳統(tǒng)分岔準(zhǔn)則的不足，文桂林等提出了新的離散系統(tǒng)Hopf分岔準(zhǔn)則，建立的Hopf分岔準(zhǔn)則是由一些系統(tǒng)參數(shù)構(gòu)成的代數(shù)等式和不等式組成的顯式分岔臨界準(zhǔn)則，并不依賴于特征值的計算，這更適合分岔參數(shù)機理分析和設(shè)計。

本文以振動落砂機系統(tǒng)為研究對象，針對傳統(tǒng)的映射Hopf分岔臨界準(zhǔn)則在主動設(shè)計方面存在的局限性，基于Neimark-Sacker分岔（二次Hopf分岔）理論，使用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準(zhǔn)則來設(shè)計系統(tǒng)的參數(shù)，使其產(chǎn)生擬周期碰撞運動。然后，應(yīng)用中心流形一正則形方法來分析擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性。最后，通過選取適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)，數(shù)值實現(xiàn)了系統(tǒng)穩(wěn)定的擬周期碰撞運動。

1 力學(xué)模型及其運動方程

對于振動落砂機系統(tǒng)的設(shè)計，僅考慮垂直方向振動，將振動落砂機系統(tǒng)簡化為圖1所示的兩自由度的質(zhì)量彈簧阻尼器系統(tǒng)。其中，質(zhì)量塊M，m分別表示質(zhì)量為M的振動基座和質(zhì)量為m的砂箱（包括型砂和鑄件），振動基座和基礎(chǔ)之間用剛度為K的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的阻尼器連接，振動基座受到簡諧力Fsin（ωt+δ）的作用。圖中X，Y分別表示基座和砂箱的位移。砂箱和基座不發(fā)生碰撞時，砂箱只受重力作用，當(dāng)基座和砂箱位移相同即X=y，并且相對速度不為零時，它們會發(fā)生垂直方向的正碰。為了方便計算，振動落砂機系統(tǒng)采用文獻中的無量綱運動微分方程來描述：

無量綱方程中的“·”表示對無量綱θ求導(dǎo)數(shù)，R表示碰撞恢復(fù)系數(shù)。

2 振動落砂機系統(tǒng)周期運動的Poincaré映射

由無量綱方程（1）和（2）可知，在系統(tǒng)未發(fā)生碰撞時，基座和砂箱會遵循方程（1）做連續(xù)運動。當(dāng)發(fā)生碰撞時，基座和砂箱的速度會遵循沖擊方程（2）發(fā)生突變，得到下一次做連續(xù)運動的初始值，因此系統(tǒng)會進行碰撞、連續(xù)運動、再碰撞的循環(huán)運動。為了使系統(tǒng)產(chǎn)生Neimark-Sacker分岔，求得一個周期沖擊運動。其無碰撞部分的解析表達式如下：

3 振動落砂機系統(tǒng)的擬周期碰撞運動

3.1 振動落砂機系統(tǒng)Neimark-Sacker分岔的顯式臨界條件

為了設(shè)計出振動落砂機系統(tǒng)擬周期碰撞運動，主要任務(wù)就是確定適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)（11）發(fā)生Neimark-Sacker分岔。如果采用傳統(tǒng)的分岔臨界準(zhǔn)則，需要在參數(shù)空間內(nèi)通過逐點取值來計算和驗證系統(tǒng)的特征值是否滿足Neimark-Sacker分岔的臨界準(zhǔn)則，這種數(shù)值搜尋的方法具有一定的盲目性和不確定性，非常耗時。另外，雖然可以采用極點配置方法找到滿足特征值分布條件的系統(tǒng)參數(shù)點，但該方法也是先確定特征值后再確定參數(shù)，確定的參數(shù)對于系統(tǒng)仍存在機理不明確問題。特別是對于橫截條件，由于需要求特征值對分岔參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，極點配置方法無法解決。因此為了克服傳統(tǒng)分岔臨界準(zhǔn)則的局限性，本文采用不直接依賴于特征值計算的映射Neimark-Sacker分岔的顯式臨界條件來獲得系統(tǒng)參數(shù)。

設(shè)映射（11）的一個不動點為X^*=（x^*，x^*，y^*，τ^*）^T，在不動點處映射（11）的線性化矩陣的特征多項式為：

這里選取μ=（ρ，β），a_i=a_i（ρ，β）是與分岔參數(shù)ρ和β有關(guān)的實數(shù)，i=1，…，4。針對建立的振動落砂機系統(tǒng)周期運動的Poincaré映射（11），有如下的引理。其中條件（Ⅰ）保證有一對復(fù)共軛特征值位于單位圓上；條件（Ⅱ）保證其它的特征值位于單位圓內(nèi)；條件（Ⅲ）保證映射不動點是合理存在的；條件（Ⅳ）保證在參數(shù)擾動下，位于單位圓上的特征值穿越單位圓的速度不為零；條件（Ⅴ）保證Neimark-Sacker分岔是非共振的。

3.2 振動落砂機系統(tǒng)Neimark-Sacker分岔的存在性

選取落砂機系統(tǒng)的參數(shù)ζ=0.2，R=0.85，z=2.8，以ρ和β為分岔參數(shù)（即μ=（ρ，β））。在（ρ，β）張成的一個二維的參數(shù)空間內(nèi)，根據(jù)引理1中的顯式條件，利用Maple軟件得到如圖2所示的兩參數(shù)分岔圖。

圖2中白色區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內(nèi)的點都滿足引理1的條件（Ⅱ）-（Ⅲ）中的不等式，但在灰色區(qū)域Ⅲ和Ⅳ中至少有一個條件（Ⅱ）和（Ⅲ）中的不等式不成立。由曲線EA，AB，BC，CD和DE圍成的白色區(qū)域工除了滿足條件（Ⅱ）-（Ⅲ）還滿足△>0，因此白色區(qū)域工為系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定參數(shù)區(qū)域。曲線DE是由臨界條件（Ⅰ）中的△=0得到，曲線DE上由條件（Ⅴ）得到的點R₃和R₄分別為系統(tǒng)出現(xiàn)3階和4階強共振點。點劃線l和m由橫截條件（Ⅳ）不等式左邊的表達式取等號得到的，這樣兩曲線l和m和曲線DE的交點T₁和T₂不滿足Neimark-Sacker分岔的橫截條件（Ⅳ）。由此在選取系統(tǒng)參數(shù)臨界點時應(yīng)該避開這些強共振點和非橫截點。在由曲線DE，EF，F(xiàn)G和GD圍成的白色區(qū)域Ⅱ內(nèi)，在曲線DE的附近是出現(xiàn)系統(tǒng)擬周期碰撞運動的潛在區(qū)域。為了分析分岔解的穩(wěn)定性，在分岔圖的白色區(qū)域內(nèi)的Neimark-Sacker分岔臨界曲線DE上任取一點μ₀=（ρ₀，β₀）=（0.6，0.95441）作為臨界分岔值。

3.3 振動落砂機系統(tǒng)擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性

振動落砂機系統(tǒng)出現(xiàn)的擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性，也即Neimark-Sacker分岔解（不變?nèi)Γ┑姆€(wěn)定性取決于映射（11）的非線性項。采用中心流形范式方法或者頻域方法都可以分析Neimark-Sacker分岔的穩(wěn)定性。本文使用投影法來分析分岔的穩(wěn)定性。

取坐標(biāo)變換（13）式中的X^*為映射（11）的不動點，μ₀為臨界分岔參數(shù)值。

映射（11）經(jīng)過坐標(biāo)變換（13）變換成

則通過變量變換后的新映射（14）的不動點和分岔點都轉(zhuǎn)化為了零點。這樣映射（11）發(fā)生Neimark-Sacker分岔后產(chǎn)生的擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性可由引理2來確定。

引理2 如果在臨界分岔值μ=μ₀處，映射（14）的雅克比矩陣在分岔點v=0處有一對復(fù)共軛特征值λ₁（v）和λ₂（v）滿足|λ₁（0）|=|λ₂（0）|=1和橫截條件λⁿ₁（0）≠1，N=3，4，并且d|λ₁（N）|/dv|_v=0≠0，而其它的特征值|λ_j（0）|<1，j=3，4，那么在v=0，當(dāng)α（0）<0（或α（0）>0）時，從X^*（po）分岔出穩(wěn)定的（不穩(wěn)定的）Hopf不變?nèi)?。其中，α?）參見下列表達式：

根據(jù)（15）和（16），在μ=μ₀計算得到

α（0）=-0.089<0。

因此，根據(jù)引理2可判斷系統(tǒng)會產(chǎn)生一個穩(wěn)定的Neimark-Sacker分岔解，即系統(tǒng)穩(wěn)定的擬周期碰撞運動。

3.4 數(shù)值實驗

為了驗證上述理論分析和研究振動落砂機系統(tǒng)在分岔點附近的動力學(xué)行為，其它三個參數(shù)不變，臨界參數(shù)100不變，變化分岔參數(shù)β，在落砂機的分岔臨界點附近設(shè)置了6組參數(shù)擾動值，并做了相應(yīng)的數(shù)值仿真，文中的數(shù)值仿真都采用4000次碰撞。在Poincaré映射分岔圖的白色區(qū)域Ⅰ內(nèi)的分岔臨界曲線DE附近取一組分岔參數(shù)μ=μ₀+△μ=（ρ₀，β₀-0.02），其中△μ是臨界參數(shù)擾動量，設(shè)置映射初始值X=X^*+△X，其中△X=（0，0，0，0.001）^T為不動點擾動量，在該參數(shù)點處系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運動，即Poincaré映射上一個不動點，如圖3（a）所示。在Poincaré映射分岔圖的白色區(qū)域Ⅱ內(nèi)并且充分接近曲線DE的參數(shù)區(qū)域內(nèi)取分岔參數(shù)μ=（ρ₀，β₀+00004），在該參數(shù)點處系統(tǒng)處于穩(wěn)定的擬周期碰撞運動，即Poincaré映射上一個不變?nèi)?，如圖3（b）所示。繼續(xù)變化分岔參數(shù)值，當(dāng)取分岔參數(shù)μ=（ρ₀，β₀+0.0456）時，擬周期運動失穩(wěn)，產(chǎn)生鎖相運動，如圖3（c）所示。當(dāng)取參數(shù)μ=（ρ₀，β₀+0.046）時系統(tǒng)退出鎖相運動，又產(chǎn)生擬周期吸引不變?nèi)?，如圖3（d）所示。當(dāng)取控制參數(shù)μ=（ρ₀，β₀+001）時系統(tǒng)產(chǎn)生擬周期吸引不變?nèi)Γ蛔內(nèi)Ψ蹈?，如圖3（e）所示。當(dāng)繼續(xù)擾動參數(shù)值至μ=（ρ₀，β₀+0.22）時系統(tǒng)經(jīng)鎖相轉(zhuǎn)遷為混沌運動，如圖3（f）所示。通過以上仿真分析，振動落砂機系統(tǒng)展示出了豐富的動力學(xué)行為，在Hopf分岔臨界點附近作參數(shù)擾動，當(dāng)參數(shù)擾動量足夠小的時候由Hopf分岔所產(chǎn)生的不變?nèi)υ谛螤钌项愃朴谝粋€橢圓。隨著參數(shù)擾動量的增大，不變?nèi)Σ粩嘣龃?，其形狀也變得越來越不?guī)則。仿真顯示只有當(dāng)系統(tǒng)的擾動參數(shù)很大時才發(fā)生混沌，說明系統(tǒng)的擬周期碰撞運動具有強的魯棒性和較大的穩(wěn)定域。因此，在設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)時，在白色區(qū)域Ⅱ鄰域內(nèi)靠近分岔臨界曲線DE處取系統(tǒng)參數(shù)可以產(chǎn)生穩(wěn)定的擬周期碰撞運動。

4 結(jié)論

1）基于主動利用Neimark-Sacker分岔解特性的思想，通過選定合適的系統(tǒng)參數(shù)，設(shè)計出了穩(wěn)定的擬周期碰撞的振動落砂機系統(tǒng)。

2）利用顯式的Neimark-Sacker分岔臨界準(zhǔn)則獲得了落砂機系統(tǒng)產(chǎn)生擬周期碰撞運動的兩參數(shù)區(qū)域圖，此參數(shù)區(qū)域具有較大的分岔可行域范圍，可保障所產(chǎn)生的擬周期碰撞運動具有較大的穩(wěn)定域和較強的魯棒性。

3）數(shù)值分析實現(xiàn)了落砂機系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)定的擬周期碰撞運動并調(diào)查了附近鎖相和混沌等動力學(xué)行為。