李文達(dá) 杜敬濤 楊鐵軍 劉志剛

摘要： 建立了彈性約束邊界下旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)行波特性分析模型，通過(guò)在邊界引入四種約束彈簧，任意邊界條件可以通過(guò)設(shè)置剛度系數(shù)而統(tǒng)一得到?；赟anders薄殼理論對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼自由振動(dòng)的振動(dòng)能量表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，三個(gè)方向的振動(dòng)位移場(chǎng)通過(guò)一種改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)進(jìn)行展開(kāi)，帶入能量表達(dá)式并利用RayleighRitz法進(jìn)行變換推導(dǎo)，得到旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼自由振動(dòng)的系統(tǒng)特征方程。利用MATLAB編程計(jì)算，得到行波振動(dòng)固有頻率，通過(guò)與現(xiàn)有文獻(xiàn)中其他方法比較，驗(yàn)證了本文方法的正確性，隨后采用不同幾何參數(shù)、不同邊界條件、不同約束彈簧剛度的算例對(duì)振動(dòng)特性的影響進(jìn)行分析， 揭示了轉(zhuǎn)速、長(zhǎng)徑比、厚徑比等幾何條件以及邊界約束彈簧剛度對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼自由振動(dòng)行波特性的影響規(guī)律。關(guān)鍵詞： 旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼； 自由振動(dòng)； 行波特性； 邊界約束； 固有頻率

中圖分類號(hào)： O327 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2016）03-0452-13

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.011

引言

圓柱殼作為一種基本的結(jié)構(gòu)單元，廣泛應(yīng)用于各個(gè)工程領(lǐng)域，如航空航天、動(dòng)力工程及船舶與海洋工程等，圓柱殼的振動(dòng)特性及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，然而，現(xiàn)有的研究主要針對(duì)非旋轉(zhuǎn)情況，對(duì)于旋轉(zhuǎn)圓柱殼結(jié)構(gòu)的研究尚不充分。

關(guān)于旋轉(zhuǎn)圓柱殼振動(dòng)特性的研究最早可追溯到1890年，Bryan[1]首次對(duì)旋轉(zhuǎn)圓柱殼的固有特性進(jìn)行了研究，并提出行波振動(dòng)現(xiàn)象。這一發(fā)現(xiàn)引起了研究者的極大興趣，在此基礎(chǔ)上，后續(xù)學(xué)者通過(guò)研究了解到圓柱殼體變形速度方向與殼體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度方向會(huì)導(dǎo)致科氏力（Coriolis Force）。隨后，Taranto和Lessen[2]研究了科氏力對(duì)旋轉(zhuǎn)圓柱殼振動(dòng)特性的影響，得出了旋轉(zhuǎn)圓柱殼體振動(dòng)分析中必須考慮科氏力影響的結(jié)論。 Srinivasan和Lauterbach[3]研究了無(wú)限長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的固有特性， 討論了科氏力和離心力對(duì)前后行波波速的影響規(guī)律。Zohar和 Aboudi[4]，Wang和Chen[5]則針對(duì)有限長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)圓柱殼進(jìn)行了相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)研究。近幾年，劉彥琦等人[67]基于Love殼體理論研究了不同邊界和幾何參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼振動(dòng)特性的影響，然而并未對(duì)前、后行波特性進(jìn)行分析。韓清凱等[8]對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的高節(jié)徑振動(dòng)特性以及篦齒結(jié)構(gòu)的影響進(jìn)行了分析。項(xiàng)松等[9]則基于Love理論給出了旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼的固有頻率計(jì)算方法。項(xiàng)爽[10]對(duì)旋轉(zhuǎn)功能梯度材料圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。

目前，國(guó)內(nèi)外已有大量關(guān)于旋轉(zhuǎn)圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的研究文獻(xiàn)，然而對(duì)具有除簡(jiǎn)支簡(jiǎn)支邊界以外其他復(fù)雜邊界條件的旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的研究還比較少見(jiàn)。對(duì)于不同邊界條件下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼，可以采用不同的分析方法對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行分析。Saito和Endo[11]應(yīng)用三角函數(shù)和Galerkin法求得了兩端固支條件下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼振動(dòng)固有頻率；Penzes和 Kraus[12]利用復(fù)指數(shù)函數(shù)研究了具有不同邊界條件的旋轉(zhuǎn)圓柱殼的固有特性；Lam和 Loy[1314]對(duì)比了分別采用Donnell，F(xiàn)lügge，Love，Sanders四種殼體理論的兩端簡(jiǎn)支邊界條件下旋轉(zhuǎn)圓柱殼的前、后行波特性，并將廣義微分求積法（Generalized Differential Quadrature Method）引入到旋轉(zhuǎn)圓柱殼的振動(dòng)分析中來(lái)，在考慮離心力、科氏力和初始張力的情況下分析了轉(zhuǎn)速、厚徑比等因素對(duì)兩端簡(jiǎn)支（SS）、兩端固支（CC）、一端固支一端簡(jiǎn)支（CS）、一端固支一端自由（CF）四種邊界條件下的圓柱殼固有頻率的影響。Li等[15]綜合分析了旋轉(zhuǎn)薄壁、厚壁圓柱殼、圓錐殼的振動(dòng)固有特性。

第3期李文達(dá)，等： 邊界條件對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)行波特性的影響分析振 動(dòng) 工 程 學(xué) 報(bào)第29卷除上述經(jīng)典的解析方法外，傳遞矩陣法和有限元法在殼體動(dòng)力學(xué)分析中也大量應(yīng)用。洪杰等[1617]通過(guò)傳遞矩陣法離散求解了轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁殼體的行波振動(dòng)頻率，并采用瞬態(tài)激振方法對(duì)殼體進(jìn)行了振動(dòng)測(cè)試，驗(yàn)證了理論分析結(jié)果。曹航和朱梓根[18]通過(guò)擴(kuò)展商用有限元軟件的分析功能，實(shí)現(xiàn)了對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)殼體行波振動(dòng)的分析。Chen和Zhao[19]等人采用有限元法對(duì)高速旋轉(zhuǎn)圓柱殼的固有特性進(jìn)行了研究。Padovan[20]利用有限元法研究了旋轉(zhuǎn)圓柱殼的行波振動(dòng)特性。Guo，Zheng和Chu[21]利用有限元法分析了旋轉(zhuǎn)圓柱殼的振動(dòng)特性， 比較了大撓度變形、邊界條件和旋轉(zhuǎn)速度對(duì)旋轉(zhuǎn)圓柱殼的固有頻率和模態(tài)的影響。

本文首次采用一種改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法和RayleighRitz法對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)特性及邊界約束影響進(jìn)行分析研究，計(jì)算得到不同幾何參數(shù)、不同邊界條件、不同約束彈簧剛度情況下行波振動(dòng)固有頻率，并就上述因素對(duì)振動(dòng)特性的影響進(jìn)行了分析。

3結(jié)論

本文采用一種改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)和RayleighRitz法相結(jié)合，對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼行波特性進(jìn)行了分析，研究了邊界約束彈簧對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波頻率的影響，得到如下結(jié)論：

（1）本文采用一種改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)三個(gè)方向上的位移函數(shù)進(jìn)行展開(kāi)，基于Sanders薄殼理論的能量原理，結(jié)合RayleighRitz方法，建立了旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)行波特性分析模型，數(shù)值結(jié)果表明本文模型有效可行，能夠快速收斂，并具有良好的精確性。

（2）旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的行波無(wú)量綱頻率參數(shù)ωf′和ωb′隨著環(huán)向波數(shù)n的增大呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì)；隨著轉(zhuǎn)速Ω′的增大而升高；隨著厚徑比H/R的增大而升高；隨著長(zhǎng)徑比L/R的增大先下降，當(dāng)長(zhǎng)徑比足夠大后，行波無(wú)量綱頻率趨于穩(wěn)定值。

（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼一端固定，另一端只存在一種彈簧約束時(shí)，隨著軸向約束彈簧k1′、環(huán)向約束彈簧k2′、徑向約束彈簧k3′無(wú)量綱剛度的增大，前、后行波頻率ωf和ωb均在剛度為10-2～102范圍內(nèi)大幅度上升，后趨于穩(wěn)定，但橫向旋轉(zhuǎn)彈簧k4′對(duì)行波頻率影響不大。

（4）對(duì)于旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的前、后行波頻率參數(shù)ωf′和ωb′，環(huán)向約束彈簧剛度k2′比徑向約束彈簧剛度k3′對(duì)其影響更大，軸向約束彈簧剛度k1′比橫向旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度k4′對(duì)其影響更大，即軸向和環(huán)向約束彈簧比徑向約束彈簧和橫向旋轉(zhuǎn)彈簧對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的影響更大。

（5） 在每一種邊界約束變量設(shè)置下，當(dāng)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的無(wú)量綱轉(zhuǎn)速為某一固定值時(shí)，前、后行波無(wú)量綱頻率參數(shù)ωf′和ωb′變化趨勢(shì)相同且隨轉(zhuǎn)速的增大變化不大，這說(shuō)明轉(zhuǎn)速的改變對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波頻率隨邊界約束彈簧剛度的變化作用不大。

參考文獻(xiàn)：

[1]Bryan G H. On the beats in the vibration of a revolving cylinder on bell [J]. Proceeding of the Cambridge Philosophical Society， 1890， 7：101—111.

[2]Di Taranto R A， Lessen M. Coriolis acceleration effect on the vibration of a rotating thinwalled circular cylinder [J]. ASME Journal of Applied Mechanics， 1964， 31：700—701.

[3]Srinivasan A V， Lauterbach G F. Traveling waves in rotating cylindrical shells [J]. Journal of Engineering for Industry， 1971， 93：1229—1232.

[4]Zohar A， Aboudi J. The free vibrations of a thin circular finite rotating cylinder [J]. International Journal of Mechanical Sciences， 1973， 15：269—278.

[5]Wang S S， Chen Y. Effects of rotation on vibrations of circular cylindrical shells [J]. Journal of the Acoustical Aociety of America， 1974， 55： 1340—1342.

[6]劉彥琦，褚福磊. 幾何參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼振動(dòng)特性的影響[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2012， 13：22—25.

Liu Yanqi， Chu Fulei. The effects of geometric parameters on the vibration characteristics of thin rotating cylindrical shells [J]. Journal of Vibration and Shock， 2012， 13：22—25.

[7]劉彥琦，秦朝燁，褚福磊. 不同邊界條件下旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2012， 01：5—9.

Liu Yanqi， Qin Zhaoye， Chu Fulei. The vibration characteristics of thin rotating cylindrical shells under various boundary conditions [J]. Journal of Tsinghua University （Natural Science）， 2012， 01：5—9.

[8]韓清凱，王宇，李學(xué)軍. 旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的高節(jié)徑振動(dòng)特性以及篦齒結(jié)構(gòu)的影響[J]. 中國(guó)科學(xué)：物理學(xué) 力學(xué) 天文學(xué)， 2013， 04：436-458.

Han Qingkai， Wang Yu， Li Xuejun. High nodal diameter vibration characteristics of rotating thin cylindrical shell and the influence of labyrinth structure [J]. Chinese Science： Physics， Mechanics and Astronomy， 2013， 04：436—458.

[9]項(xiàng)松，李廣超，張魏，等. 旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼的固有頻率計(jì)算[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2012， 03：332—341.

Xiang Song， Li Guangchao， Zhang Wei， et al. Calculation of natural frequency of rotating functionally graded cylindrical shell [J]. Applied Mathematics and Mechanics， 2012， 03： 332—341.

[10]項(xiàng)爽. 旋轉(zhuǎn)功能梯度材料圓柱殼的振動(dòng)特性研究[D]. 鄭州：河南科技大學(xué)， 2013.

Xiang Shuang. Study on vibration characteristics of rotating cylindrical shell with functionally graded materials [D]. Zhengzhou： University of Science and Technology of He′nan， 2013.

[11]Saito T， Endo M. Vibration of finite length， rotating cylindrical shells [J]. Journal of Sound and Vibration， 1986， 107：17—28.

[12]Penzes L E， Kraus H. Free vibrations of prestressed cylindrical shells having arbitrary homogeneous boundary conditions [J]. AIAA， 1972， 10： 1309—1313.

[13] Lam K Y， Loy C T. Analysis of rotating laminated cylindrical shells by different thin shell theories [J]. Journal of Sound and Vibration， 1995， 186（1）： 23—35.

[14] Lam K Y， Loy C T. Influence of boundary conditions for a thin laminated rotating cylindrical shell [J]. Comp. Struct.， 1998， 41： 215—228.

[15]Li H， Lam K Y， Ng T Y. Rotating Shell Dynamics [M]. Oxford： Elsevier， 2005.

[16]洪杰， 郭寶亭， 朱梓根. 高速轉(zhuǎn)動(dòng)殼體行波振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究[J]. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)， 1998， 13（4）：390—458.

Hong Jie， Guo Baoting， Zhu Zigen. Experimental study on traveling wave vibration of high speed rotating shell [J]. Journal of Aerospace Power， 1998， 13（4）：390—458.

[17]洪杰， 郭寶亭， 朱梓根. 高速旋轉(zhuǎn)薄壁殼體的行波振動(dòng)理論與實(shí)驗(yàn)研究[J]. 航空發(fā)動(dòng)機(jī)， 1999， （1）： 40—44.

Hong Jie， Guo Baoting， Zhu Zigen. Traveling wave vibration theory and experimental research of high speed rotating thin shell [J]. Aeroengine， 1999， （1）：40—44.

[18]曹航，朱梓根. 轉(zhuǎn)動(dòng)殼體行波振動(dòng)的有限元分析方法[J]. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)， 2002， 17（2）： 222—225.

Cao Hang， Zhu Zigen.The finite element analysis method of traveling wave vibration of rotating shells [J]. Journal of Aerospace Power， 2002， 17（2）： 222—225.

[19]Chen Y， Zhao H B， Shen Z P， et al. Vibrations of high speed rotating shells with calculations for cylindrical shells [J]. Journal of Sound and Vibration， 1993， 160：137—160.

[20]Padovan J. Traveling waves vibrations and buckling of rotating anisotropic shells of revolution by finite elements [J]. International Journal of Solids and Structures， 1975， 11： 1367—1380.

[21]Guo D， Zheng Z C， Chu F L. Vibration analysis of spinning cylindrical shells by finite element method [J]. International Journal of Solids and Structures， 2002， 39：725—739.

[22]Soedel W. Vibrations of shells and plates [J]. Marcell Dekker， 1992：1—361.

[23]曹志遠(yuǎn). 板殼振動(dòng)理論[M]. 北京： 中國(guó)鐵道出版社，1989：263—462.

Cao Zhiyuan. The Shell Vibration Theory [M]. Beijing： Chinese Railway Press， 1989：263—462.

[24]Liew K M， Ng T Y， Zhao X， et al. Harmonic reproducing kernel particle method for free vibration analysis of rotating cylindrical shells [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2002， 191：4141—4157.

[25]孫述鵬. 轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013.

Sun Shupeng. Study on the dynamic characteristics of rotating thin cylindrical shell [D]. Harbin： Harbin Institute of Technology， 2013.

[26]Li W L. Free vibrations of beams with general boundary conditions [J]. Sound Vib.， 2000，237（4）， 709—725.

[27]Li W L. Dynamic analysis of beams with arbitrary elastic supports at both ends [J]. Sound Vib.， 2001， 246（4）， 751—756.

[28] Li W L. Vibration analysis of rectangular plates with general elastic boundary supports [J]. Sound Vib.， 2004， 273， 619—635.

[29]Loveday P W， Rogers C A. Free vibration of elastically supported thin cylinders including gyroscopic effects[J]. Journal of Sound and Vibration， 1998， 217（3）： 547—562.

[30]Li W L. Vibrations of circular cylindrical shells with general elastic boundary restraints[J]. Journal of Vibration and Acoustics， 2013， （135）2，024501.