吳增生（浙江省仙居縣教研室）劉　燕（黑龍江省伊春市特殊教育中心）劉智昊（北京第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)院附屬中學(xué)）

幾何直觀及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的合理應(yīng)用

吳增生（浙江省仙居縣教研室）
劉燕（黑龍江省伊春市特殊教育中心）
劉智昊（北京第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)院附屬中學(xué)）

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十個(gè)核心

之一.幾何直觀既是一種簡(jiǎn)明有效的數(shù)學(xué)表征，是抽象活動(dòng)的中介，還是重要的數(shù)學(xué)思考方式.幾何直觀主要反映在用圖形描述和理解問題，用圖形分析和思考問題.在應(yīng)用幾何直觀時(shí)應(yīng)注意的要點(diǎn)有：要堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合；要注意配合想象和推理；要引導(dǎo)學(xué)生有序思考；要在合適的時(shí)機(jī)使用和使用合適的幾何直觀方式.

幾何直觀；數(shù)學(xué)教學(xué)；合理應(yīng)用

一、對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)

1.幾何直觀是一種簡(jiǎn)明有效的數(shù)學(xué)表征

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，幾何圖形反映了數(shù)學(xué)對(duì)象空間結(jié)構(gòu)及其關(guān)系，是聯(lián)系具體對(duì)象與其抽象的數(shù)量和空間結(jié)構(gòu)關(guān)系的橋梁，具有一般性、直觀性和簡(jiǎn)約性.用幾何圖形表征數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)和關(guān)系，可以直觀、簡(jiǎn)約又不失一般地在大腦枕頂聯(lián)合區(qū)和枕顳聯(lián)合區(qū)的視覺功加工區(qū)域中形成所研究對(duì)象及其關(guān)系的信息，再逐級(jí)別傳遞到其他腦區(qū)便于進(jìn)行進(jìn)一步的加工.視覺加工是同時(shí)性高效率的大腦信息加工方式.人類獲取的外界信息中，絕大部分是靠視覺通道獲得的，視覺加工具有優(yōu)勢(shì)地位，用圖形表示對(duì)象的特征、結(jié)構(gòu)和關(guān)系，符合人腦信息加工的視覺加工優(yōu)勢(shì)規(guī)律.

2.幾何直觀是數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的中介

抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，無(wú)論是數(shù)學(xué)內(nèi)容還是數(shù)學(xué)方法都是抽象的，但是，抽象過程是以數(shù)學(xué)直觀為基礎(chǔ)的，抽象過程必須以數(shù)學(xué)直觀為中介.數(shù)學(xué)直觀具有多樣性，包括實(shí)物的表面直觀、幾何直觀、數(shù)量直觀、模型直觀、概念符號(hào)直觀、程序和方法直觀等.其中幾何直觀是最基本、最簡(jiǎn)明形象的數(shù)學(xué)直觀.數(shù)學(xué)直觀具有層次性，有實(shí)物表面直觀（如實(shí)物與照片），幾何與數(shù)量直觀，概念和符號(hào)直觀，系統(tǒng)和模型直觀，程序和方法直觀等.例如，含絕對(duì)值的不等式在數(shù)軸上的幾何表示是理解、分析鄰域概念的幾何直觀模型，鄰域概念可以作為理解拓?fù)鋵W(xué)中開集概念的直觀模型.

3.幾何直觀是重要的數(shù)學(xué)思考方式

用幾何圖形表示數(shù)學(xué)對(duì)象后，圖形就成為表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的語(yǔ)言之一，把這種圖形語(yǔ)言與普通文字語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言結(jié)合在一起，形成數(shù)學(xué)思維的特有語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)，這種語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)是進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的基本工具.

利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，用點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系探索事物之間的聯(lián)系，用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)系，這是邏輯思維的基礎(chǔ).數(shù)形結(jié)合是建立在幾何直觀基礎(chǔ)上的重要數(shù)學(xué)思考方法，通過用圖形直觀地表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，用數(shù)量關(guān)系精細(xì)地刻畫空間圖形的特征，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的溝通，這是數(shù)學(xué)思維的靈活性的表現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)思維的有力手段.

二、教學(xué)中應(yīng)用幾何直觀的方法

1.引導(dǎo)學(xué)生借助圖形描述和理解問題

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生畫出適當(dāng)?shù)膱D形表示事物的空間結(jié)構(gòu)、關(guān)系，觀察與想象其變化過程，會(huì)免去很多復(fù)雜的語(yǔ)言表達(dá)，能讓學(xué)生快速、深刻地理解相關(guān)的知識(shí)或問題.例如，在有理數(shù)大小比較法則的教學(xué)中，首先要提出引入負(fù)數(shù)后數(shù)的大小怎樣比較的問題.然后呈現(xiàn)氣溫（單位：°C）正、負(fù)的不同數(shù)值，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)體會(huì)數(shù)量大小，把正、負(fù)數(shù)標(biāo)記到數(shù)軸上，讓學(xué)生結(jié)合小學(xué)中數(shù)的大小比較的經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)合理規(guī)定數(shù)軸上有理數(shù)大小比較的法則，即右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大.在此基礎(chǔ)上，著重研究?jī)蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小的情況，發(fā)現(xiàn)在負(fù)半軸，右邊的負(fù)數(shù)代表的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比左邊的負(fù)數(shù)代表的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小，結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義就知道右邊的負(fù)數(shù)的絕對(duì)值比左邊的負(fù)數(shù)的絕對(duì)值小，于是，自然得到了兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小這一結(jié)論.這樣，學(xué)生對(duì)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小的法則的理解直觀、簡(jiǎn)約而深刻，而不是把有理數(shù)大小比較的數(shù)軸法則和具體法則看成兩條不同法則加以記憶.

再如，在問題“某條鐵路上有20個(gè)不同的站點(diǎn)，每個(gè)站點(diǎn)都可能有人上車或下車，一列火車在這一鐵路上往返運(yùn)行.問：應(yīng)該為這一列車提供多少種不同的火車票？”中，如果用如圖1所示的線段圖表示鐵路，這一實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為，線段上有A1，A2，A3，…，A20共20個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），求圖中所有線段條數(shù)的2倍.這樣，把計(jì)算車票種類的問題轉(zhuǎn)化為直觀、簡(jiǎn)單的數(shù)線段條數(shù)的問題.

圖1

運(yùn)用圖象描述函數(shù)關(guān)系，能使學(xué)生形象、簡(jiǎn)明地理解變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律，以及函數(shù)、方程和不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系.

2.引導(dǎo)學(xué)生借助圖形分析和思考問題

（1）借助圖形建構(gòu)直觀模型，依托直觀模型分析和思考問題.

例如，平行線的定義是采用否定式定義：同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.這一定義中只涉及兩條直線之間的關(guān)系（如圖2），而要想到公理“同位角相等，兩直線平行”的前提是發(fā)現(xiàn)用定義做出判斷的困難，從而想到引入第三條直線，建立兩直線之間平行與角之間的關(guān)系的空間結(jié)構(gòu)模型——三線八角模型（如圖3）.而怎樣引導(dǎo)學(xué)生想到引入第三條直線，構(gòu)建反映平行線空間結(jié)構(gòu)本質(zhì)的三線八角模型，則成為難點(diǎn).

如果從運(yùn)動(dòng)變化的角度看，同一平面中的相交線和平行線反映了直線繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中與另一直線的關(guān)系.借助信息技術(shù)構(gòu)造動(dòng)畫（如圖4）或視頻，可以導(dǎo)向第三條直線（截線）的產(chǎn)生（其實(shí)就是動(dòng)直線AB的初始位置EF），并進(jìn)一步幫助學(xué)生形成“同位角相等，兩直線平行”的直覺.在學(xué)生借助幾何直觀和想象得到“同位角相等，兩直線平行”這一猜想的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生回顧小學(xué)中學(xué)習(xí)過的平推法畫平行線，通過操作發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是通過保持同位角相等來得到平行線的.這樣，使學(xué)生真正經(jīng)歷以下應(yīng)用幾何直觀的思考過程，即從定義出發(fā)思考問題.構(gòu)建幾何圖形進(jìn)行直觀想象，在想象的基礎(chǔ)上猜想，在猜想的基礎(chǔ)上驗(yàn)證.這種基于幾何直觀的探究式教學(xué)，在發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力和數(shù)學(xué)思維能力上，都比直接告知學(xué)生命題，再用平推法檢驗(yàn)這種灌輸式學(xué)習(xí)更有效.

圖4

根據(jù)命題畫出圖形，借助圖形直觀，寫出已知、求證、證明，借助圖形把命題具體化，在此基礎(chǔ)上尋找和構(gòu)造直觀模型，分析證明思路，書寫證明過程，這是在幾何教學(xué)中借助直觀圖形進(jìn)行分析和思考的最經(jīng)典的內(nèi)容.

（2）建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，用數(shù)形結(jié)合思想分析和思考問題.

建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，可以促進(jìn)數(shù)形結(jié)合地解決問題思路的形成.例如，對(duì)于問題“關(guān)于x的方程-x2+2x=a-3的兩根分別為m，n，其中a是常數(shù)，當(dāng)-1＜m＜n＜3時(shí)，求a的取值范圍”，如果用求根公式求出兩根，得m=1-，n=1+，再根據(jù)m，n的取值范圍求a的取值范圍，則需要解根式不等式，這顯然超出了初中數(shù)學(xué)所學(xué)的知識(shí).但是，如果能把問題轉(zhuǎn)化為“關(guān)于x的方程-x2+2x+3=a的兩根分別為m，n，其中a是常數(shù)，當(dāng)-1＜m＜n＜3時(shí)，求a的取值范圍”，并用圖象加以描述，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，-1＜m＜n＜3，求a的取值范圍”，則可以構(gòu)造出如圖5所示的圖象，簡(jiǎn)單明了地得到答案0＜a＜4.

圖5

用數(shù)形結(jié)合思想分析和思考問題中最經(jīng)典的內(nèi)容是函數(shù)性質(zhì)的研究.在初中函數(shù)的直觀研究過程中，畫出圖象是獲得性質(zhì)的核心途徑.根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象，觀察圖象特征，如曲線從左到右是上升還是下降，是直線還是曲線，是否具有對(duì)稱性——這是以形表數(shù)的過程.接著，還需要把這種曲線的直觀特征解釋為函數(shù)的變化趨勢(shì)，這需要借助坐標(biāo)這一中介，解析成自變量增大時(shí)，函數(shù)值是增大還是減小，這種變化過程是否是線性的，是否具有對(duì)稱性，等等.這一過程是以數(shù)表形的過程.

三、應(yīng)用幾何直觀時(shí)應(yīng)該注意的幾個(gè)問題

幾何直觀雖然是形象地表征數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的重要工具，但也有其局限性.首先，圖形直觀是粗略地而非精細(xì)地反映數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)、特征和關(guān)系；其次，畫出的圖形往往是有限的（如直線是畫不出來的，只能畫出其示意圖）；再次，直觀的圖形結(jié)構(gòu)既包含與問題本質(zhì)結(jié)構(gòu)相關(guān)的要素，又包括與問題結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)的要素，也就是說，會(huì)出現(xiàn)視覺干擾現(xiàn)象；最后，數(shù)學(xué)直觀不僅僅指幾何直觀，任何已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)都可以成為理解和探索新知識(shí)的直觀工具，并不是所有數(shù)學(xué)認(rèn)知加工都要運(yùn)用幾何直觀.而且，人類在進(jìn)行視覺加工的基礎(chǔ)上還需要進(jìn)行進(jìn)一步的概念語(yǔ)義加工，才能建立起完整的認(rèn)知某一對(duì)象的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

1.要堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)此有精辟的論述，數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.在運(yùn)用圖形直觀進(jìn)行描述、分析和思考問題時(shí)，既需要借助圖形描述數(shù)量關(guān)系，又需要用數(shù)量關(guān)系描述圖形的特征；既發(fā)揮圖形的直觀力量，又發(fā)揮數(shù)量的定量精細(xì)分析功能，使數(shù)形結(jié)合成為數(shù)學(xué)思維的有力工具.

2.要注重配合想象與推理

幾何直觀中，圖形是描述和分析問題的直觀工具，使用這一直觀工具時(shí)，往往需要結(jié)合想象.例如，在“同位角相等，兩直線平行”基本事實(shí)的教學(xué)中，在學(xué)生觀察圖4（1）的直線旋轉(zhuǎn)過程中，需要通過想象才能得到“當(dāng)同位角相等時(shí)，兩直線恰好沒有公共點(diǎn)”的猜想；在用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象時(shí)，在畫出若干個(gè)點(diǎn)后，要讓學(xué)生想象還有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，因此需要用平滑的曲線連接所畫出的點(diǎn).特別是在畫二次函數(shù)y=ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象中，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)兩種典型錯(cuò)誤：一是用線段連接相鄰的點(diǎn)（如圖6中的折線圖）；二是圖象畫得不對(duì)稱.這時(shí)，教師最好不要直接告知學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生通過增加點(diǎn)，再通過想象來進(jìn)行自我糾正，或者運(yùn)用幾何畫板軟件的制表和按照表格畫點(diǎn)功能展示點(diǎn)不斷加密，讓學(xué)生通過觀察和想象來進(jìn)行自我糾正（如圖6中的散點(diǎn)）.數(shù)學(xué)需要借助直觀思考，但直觀是工具，思考是核心，讓學(xué)生通過幾何直觀發(fā)展空間想象能力，從直觀向抽象飛躍，這是具有高思維價(jià)值的數(shù)學(xué)教育目標(biāo).

圖6

在借助幾何直觀來描述和分析問題的過程中，還需要推理的支持.例如，構(gòu)造圖象解決問題“關(guān)于x的方程-x2+2x=a-3的兩根分別為m，n，其中a是常數(shù)，當(dāng)-1＜m＜n＜3時(shí)，求a的取值范圍”的過程中，圖象的構(gòu)造是在一系列的推理的基礎(chǔ)上進(jìn)行的：先把方程轉(zhuǎn)化為-x2+2x+3=a，再根據(jù)函數(shù)方程的關(guān)系把方程的根轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=-x2+2x+3和函數(shù)y= a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，3，在這些推理和計(jì)算的基礎(chǔ)上才能順利構(gòu)造出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象，并通過想象直線y=a平移的范圍才得到結(jié)論的.

3.要引導(dǎo)學(xué)生有序思考

要引導(dǎo)學(xué)生有序思考，首先，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的注意選擇；其次，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直觀圖形進(jìn)行從整體到部分再到整體，從定性到定量，動(dòng)靜結(jié)合地觀察和思考.例如，在直線與圓的位置關(guān)系的教學(xué)中，第一步，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在想象的基礎(chǔ)上以直線是否穿過圓為標(biāo)準(zhǔn)來分類，畫出三種代表性圖形；第二步，讓學(xué)生觀察不同位置關(guān)系下的直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第三步，細(xì)節(jié)感知，把直線看成點(diǎn)集，選擇到圓心距離最短的直線上的點(diǎn)（過圓心作直線l垂線的垂足）為代表，看這個(gè)點(diǎn)是在圓內(nèi)、圓上還是在圓外；第四步，用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法判定代表點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并轉(zhuǎn)化成用圓心與直線的距離與半徑比較方法判定直線與圓的位置關(guān)系（如圖7），這一過程就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的注意選擇，從整體到部分再到整體，從定性到定量地研究直線與圓位置關(guān)系的過程.

圖7

4.要適當(dāng)運(yùn)用

適當(dāng)運(yùn)用幾何直觀包含兩層意思：一是在合適的時(shí)候積極運(yùn)用但不濫用；二是恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用幾何直觀的方式.

（1）什么時(shí)候需要運(yùn)用幾何直觀？

判斷的標(biāo)準(zhǔn)有三條：是否有利于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成；是否反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)；是否符合學(xué)生學(xué)習(xí)的心理規(guī)律.

例如，合并同類項(xiàng)的本質(zhì)是研究?jī)蓚€(gè)單項(xiàng)式在什么情況下可以合并化簡(jiǎn).因?yàn)橛米帜副硎緮?shù)后得到的單項(xiàng)式都表示一個(gè)數(shù)，如2x2y，-3x2y，xy2，理論上可以進(jìn)行加減，其和2x2y-3x2y+xy2仍然是一個(gè)數(shù)，但是，其表現(xiàn)的形式是否可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)？這本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的求簡(jiǎn)思維，也是大腦追求用最簡(jiǎn)約的方式應(yīng)對(duì)外界刺激的節(jié)能原理的體現(xiàn).因此，合并同類項(xiàng)本質(zhì)上是整式加減運(yùn)算的簡(jiǎn)化表示的需要，而核心的目標(biāo)是明確在什么情況下的兩個(gè)單項(xiàng)式可以合并化簡(jiǎn)和怎樣合并及合并的依據(jù).合并同類項(xiàng)并不是為了面積合并而存在的，采用面積合并的方法進(jìn)行幾何直觀表達(dá)無(wú)助于學(xué)生辨別什么是同類項(xiàng)以及同類項(xiàng)應(yīng)該怎樣合并.因此，采用如圖8所示的面積和圖9所示的體積表征來學(xué)習(xí)合并同類項(xiàng)并不合適.

圖8

圖9

再如，學(xué)生乘法學(xué)習(xí)的大腦機(jī)制與加法學(xué)習(xí)不同，即加法更多激活視覺空間加工的枕頂葉，乘法加工更多地激活語(yǔ)言加工的顳葉和左前額葉腦區(qū)（如圖10），加法學(xué)習(xí)更多地進(jìn)行視覺加工，是可以看數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的合成，借助圖形直觀來學(xué)習(xí)的，且效果較好，乘法學(xué)習(xí)則更多地表現(xiàn)出語(yǔ)義加工，因此，用幾何直觀來組織學(xué)習(xí)效果就不好.

圖10

因此，初中有理數(shù)乘法學(xué)習(xí)不宜采用數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的視覺學(xué)習(xí)方式，而是要基于數(shù)系擴(kuò)充的思想，抓住保持運(yùn)算律（特別是分配律）這一數(shù)系擴(kuò)充的核心要求，讓學(xué)生找規(guī)律來進(jìn)行學(xué)習(xí)，體會(huì)負(fù)負(fù)得正符號(hào)法則的合理性.

（2）怎樣恰當(dāng)運(yùn)用幾何直觀的方式？

這要考慮采用怎樣的圖形來描述和研究問題.研究表明，基于空間結(jié)構(gòu)和關(guān)系的圖式表征能促進(jìn)數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)問題的解決，而基于物體表面生動(dòng)具體的圖象表征則往往使人局限于細(xì)節(jié)和表象，阻礙數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)問題的解決.

因此，幾何直觀不是要構(gòu)建對(duì)象的表面具體圖象，而是要構(gòu)建反應(yīng)研究對(duì)象數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)本質(zhì)的圖式.例如，在直線與圓的位置關(guān)系的教學(xué)中，教師喜歡創(chuàng)建日出情境的動(dòng)畫或視頻，這是一個(gè)反映這一情境的具體圖象，教學(xué)中要讓學(xué)生構(gòu)建的不是這一圖象，而是直線與圓位置關(guān)系的空間結(jié)構(gòu)，因此，教師需要特別地把學(xué)生的注意引導(dǎo)到反映空間結(jié)構(gòu)的圖式建構(gòu)和分析上，而不能被具體情境圖象的細(xì)節(jié)所局限.拼圖算面積，對(duì)于分配律的理解來說，是基于一個(gè)數(shù)與若干個(gè)數(shù)和的乘積運(yùn)算的兩種計(jì)算方法結(jié)果的等價(jià)性，反映了非負(fù)數(shù)運(yùn)算的分配律這一本質(zhì)數(shù)量關(guān)系.因此，是一個(gè)空間結(jié)構(gòu)圖式，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)分配律的理解.但是，合并同類項(xiàng)是以分配律為依據(jù)的更抽象和更復(fù)雜層次的符號(hào)操作，這種操作的核心關(guān)系是可以合并的同類項(xiàng)之間的式子結(jié)構(gòu)關(guān)系.拼圖算面積不能反映同類項(xiàng)式子的結(jié)構(gòu)特征，也不能反映合并同類項(xiàng)中的數(shù)式通性，只能表征分配律（這些學(xué)生已經(jīng)掌握，無(wú)需簡(jiǎn)單重復(fù)）.因此，對(duì)于合并同類項(xiàng)來說，這種圖示是個(gè)別單項(xiàng)式的度量意義的表面具體的圖象表示而非同類項(xiàng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系圖式表示，因此不但不能促進(jìn)學(xué)生對(duì)合并同類項(xiàng)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，還會(huì)阻礙基于代數(shù)大視野的數(shù)學(xué)思考.

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］史寧中.數(shù)學(xué)的抽象［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2008（5）：169-181.

［3］吳增生.有理數(shù)乘法法則形成過程教學(xué)的再思考：基于“3B”教育理念下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐研究［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2012（1/2）：26-29.

［4］徐速.數(shù)學(xué)問題解決中視覺空間表征研究的綜述［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（2）：35-38.

吳增生（1962—），男，中學(xué)高級(jí)教師，浙江省特級(jí)教師，教育部國(guó)培專家，浙江省基礎(chǔ)教育課程改革專家組成員，人民教育出版社教材社外作者，教材培訓(xùn)專家，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究.

2015—12—13