(武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 湖北 武漢 430072)

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B-S期權(quán)模型在可轉(zhuǎn)債定價(jià)中的應(yīng)用
——考慮違約風(fēng)險(xiǎn)與附加條款的引入

陳垚翰

(武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院湖北武漢430072)

可轉(zhuǎn)換債券是指發(fā)行人依照法定程序發(fā)行，賦予其持有人在一定時(shí)間內(nèi)依據(jù)相關(guān)約定條件將其轉(zhuǎn)換成一定數(shù)量股票的公司債券。20世紀(jì)70年代中期以后，Black.F.和M.Scholes以及Merton等人對(duì)期權(quán)定價(jià)的研究工作極大推動(dòng)了可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)研究，可以說(shuō)可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)的現(xiàn)代研究是在將可轉(zhuǎn)換債券中的轉(zhuǎn)股或有權(quán)益視為某種期權(quán)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。本文將基于B-S期權(quán)模型以及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)工具和思想方法對(duì)可轉(zhuǎn)債的定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行研究，在考慮公司價(jià)值度量問(wèn)題的基礎(chǔ)上考慮發(fā)行公司的違約風(fēng)險(xiǎn)，基于歐式期權(quán)給出可轉(zhuǎn)債定價(jià)公式。并進(jìn)一步考慮該公式在可轉(zhuǎn)債定價(jià)中的應(yīng)用和推廣——在可轉(zhuǎn)換債券中引入贖回與回售條款，直接基于期權(quán)定價(jià)中的B-S微分方程，通過(guò)求解帶有初邊值條件的B-S微分方程給出可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)公式。

可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)；期權(quán)模型；B-S方程；附加條款

一、引言

可轉(zhuǎn)換債券是兼有股票和債券性質(zhì)的結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品，賦予債券持有人在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)以特定的價(jià)格轉(zhuǎn)換成股票的權(quán)利。作為固定收益類(lèi)證券，它具有確定的債券期限和利息率，使得投資者可以獲得固定的利息收入；同時(shí)，轉(zhuǎn)股或有權(quán)益的存在使得可轉(zhuǎn)債的持有人可以按照約定的條件將可轉(zhuǎn)換債券轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的股票，充分分享發(fā)行人業(yè)績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)和股價(jià)增長(zhǎng)的潛力。另一方面，作為資本市場(chǎng)一種主要的融資工具，可轉(zhuǎn)債對(duì)發(fā)行人而言具有明顯的低成本優(yōu)勢(shì)，并且由于它具有融資規(guī)模大、操作靈活、對(duì)發(fā)行公司業(yè)績(jī)壓力較輕等特點(diǎn)，同時(shí)可以對(duì)相關(guān)股票的發(fā)行提供相應(yīng)的穩(wěn)定機(jī)制，因此正逐漸受到許多公司的青睞，成為我國(guó)資本市場(chǎng)不可或缺的重要組成部分。

作為一種復(fù)雜的信用衍生產(chǎn)品，可轉(zhuǎn)債定價(jià)的復(fù)雜性表現(xiàn)在除了債券之外，轉(zhuǎn)股或有權(quán)益以及相應(yīng)的條款使得它還包含著一系列的期權(quán)，要對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)，就必須在合理的假設(shè)基礎(chǔ)上結(jié)合具體的市場(chǎng)實(shí)際情形，適當(dāng)?shù)夭鸱制跈?quán)，選擇合適的期權(quán)定價(jià)模型和方法。尤其對(duì)于中國(guó)的可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)，由于起步晚同時(shí)存在著較為嚴(yán)格的監(jiān)管機(jī)制，如何找到適應(yīng)于這種現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)情形的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型對(duì)學(xué)界研究的要求顯得尤為迫切，因此這也是本文將要討論的重點(diǎn)。

傳統(tǒng)上，Ingersoll、Nyborg、Brennan、Schwartz等人在Merton的結(jié)構(gòu)化模型的基礎(chǔ)上發(fā)展的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型，在分析討論問(wèn)題時(shí)往往是以公司價(jià)值作為標(biāo)的資產(chǎn)，將可轉(zhuǎn)換債券看成是基于公司價(jià)值的衍生證券。但是這種處理已經(jīng)為一些學(xué)者指出，在實(shí)際操作中難以對(duì)公司的價(jià)值直接進(jìn)行度量。本文也將基于股票價(jià)格對(duì)可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)進(jìn)行研究，但是將對(duì)這種處理的合理性進(jìn)行相應(yīng)的討論，并且將發(fā)行公司的違約風(fēng)險(xiǎn)作為期權(quán)進(jìn)行處理，基于歐式期權(quán)定價(jià)模型給出一個(gè)可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)公式。

在實(shí)際可轉(zhuǎn)債交易中往往存在相應(yīng)的條款，作為一種商業(yè)契約，這些條款是發(fā)行人向投資者的具有法律效力的約定，其中可贖回與可回售是可轉(zhuǎn)債交易中最基本也是普遍存在的條款。這實(shí)際上是賦予了發(fā)行公司和投資者相應(yīng)的期權(quán)，并且這種內(nèi)嵌期權(quán)往往與債券不可分割，增加了對(duì)可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)的難度。本文將在一定的假設(shè)條件下，基于期權(quán)定價(jià)中的對(duì)沖思想構(gòu)造投資組合，從B-S方程入手，通過(guò)求解帶有邊界和初值條件的B-S方程給出可轉(zhuǎn)債的定價(jià)公式。最后在理論分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合我國(guó)的可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)進(jìn)行實(shí)證分析，通過(guò)比較可轉(zhuǎn)債理論價(jià)值與實(shí)際價(jià)值之間的差異，分析存在差異的原因，為相應(yīng)的可轉(zhuǎn)債定價(jià)提供理論參考。

本文的整體研究思路是基于期權(quán)模型對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)，具體來(lái)說(shuō)在思路層面上是從兩個(gè)方面著手的：一方面將可轉(zhuǎn)換債券中的或有權(quán)益看成相應(yīng)的期權(quán)，借助已有的期權(quán)定價(jià)公式對(duì)可轉(zhuǎn)換債券中的或有權(quán)益進(jìn)行定價(jià)，進(jìn)而對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)；另一方面，針對(duì)附有附加條款的可轉(zhuǎn)換債券，本文將放松一些基本假定，直接從期權(quán)定價(jià)模型推導(dǎo)B-S方程的方法入手，將可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值視為以相關(guān)股票價(jià)格為自變量的收益函數(shù)，通過(guò)建立和求解相應(yīng)的PDE對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)。

二、文獻(xiàn)綜述

B-S期權(quán)模型自上個(gè)世紀(jì)70年代由Black.F.和M.Scholes等人提出后，直接利用該模型的結(jié)論或者利用B-S模型無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的分析方法進(jìn)行的研究對(duì)金融領(lǐng)域其他方向研究的發(fā)展起到了巨大的推動(dòng)作用。Merton(1974)在此基礎(chǔ)上又進(jìn)一步討論了公司債券的定價(jià)問(wèn)題，這些都為后續(xù)基于B-S模型對(duì)公司債券、可轉(zhuǎn)換債券以及其他衍生產(chǎn)品的定價(jià)的研究打下了基礎(chǔ)。上個(gè)世紀(jì)九十年代，KMV公司基于Merton的資產(chǎn)價(jià)值理論，將債權(quán)看作債權(quán)人向借款公司股東出售的對(duì)公司價(jià)值的看跌期權(quán)，并假設(shè)信用風(fēng)險(xiǎn)由債務(wù)人資產(chǎn)價(jià)值驅(qū)動(dòng)，在此基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)的KMV(EDF)模型已經(jīng)成為信用風(fēng)險(xiǎn)度量領(lǐng)域的經(jīng)典模型。同時(shí)，實(shí)物期權(quán)概念的引入使得金融期權(quán)的相應(yīng)理論(比如B-S期權(quán)模型)在投資決策、公司的籌融資策略、財(cái)務(wù)分析和并購(gòu)等方面得到了廣泛的應(yīng)用。在[3]的研究中，對(duì)于公司的投資決策所產(chǎn)生的投資擴(kuò)張價(jià)值的估計(jì)，將未來(lái)的投資機(jī)會(huì)視為一種買(mǎi)權(quán)，以B-S期權(quán)模型的方法計(jì)算買(mǎi)權(quán)的價(jià)值，再將買(mǎi)權(quán)的價(jià)值加總作為投資的擴(kuò)張價(jià)值。對(duì)于公司的并購(gòu)，[3]的處理方法是將公司的無(wú)形資產(chǎn)看作是一種買(mǎi)權(quán)，公司有形資產(chǎn)的價(jià)值是其約定價(jià)格，相應(yīng)的公司未來(lái)現(xiàn)金流的總現(xiàn)值則是其標(biāo)的物的當(dāng)前價(jià)值，將公司的并購(gòu)看作是一個(gè)可以取得未來(lái)現(xiàn)金流的買(mǎi)權(quán)，通過(guò)計(jì)算該買(mǎi)權(quán)的價(jià)值來(lái)估計(jì)公司并購(gòu)的價(jià)值。此外，周鵬(2007)在基于B-S方程的基礎(chǔ)上，通過(guò)求解一個(gè)倒像半無(wú)界的線性?huà)佄镄推⒎址匠虒?duì)標(biāo)準(zhǔn)的信用違約互換進(jìn)行了定價(jià)。梁進(jìn)和孔亮亮考察了券商集合理財(cái)產(chǎn)品中以風(fēng)險(xiǎn)投資組合為對(duì)象的非限定性集合資產(chǎn)管理計(jì)劃，基于B-S期權(quán)模型的研究框架，分別考慮了固定封閉期含隱形保本條款情形下和有封閉期的特殊條款的情形下該理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)的封閉解。

概括來(lái)說(shuō)，利用期權(quán)模型研究相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的核心思想是將某種或有選擇權(quán)視為一種期權(quán)，再利用期權(quán)定價(jià)的方法和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的思想對(duì)或有期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，進(jìn)而研究相關(guān)的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。

早期的可轉(zhuǎn)債定價(jià)研究基本上是指在20世紀(jì)70年代中期以前對(duì)可轉(zhuǎn)換債券基本概念以及相應(yīng)的價(jià)格確定與調(diào)整方面的研究。最早對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行理論上定價(jià)的嘗試可以追溯到20世紀(jì)60年代，這一時(shí)期的研究思路大致上是將可轉(zhuǎn)換債券作為純債券的最大值或者未來(lái)某一時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)股后的權(quán)益價(jià)值進(jìn)行貼現(xiàn)作為可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值(Poensgen 1965;Baumol et al.1966;Weil et al.1968;Walter and Que1973;Jennings 1974)。但是，這些研究大都囿于理論方法與研究工具的限制。無(wú)法準(zhǔn)確地刻畫(huà)可轉(zhuǎn)換債券債性與股性的雙重屬性以及相應(yīng)的價(jià)值。并且一些基本的難點(diǎn)(比如可轉(zhuǎn)換債券中存在的或有權(quán)益的定價(jià))并沒(méi)有得到解決。

20世紀(jì)70年代中期以后，Black.F.和M.Scholes以及Merton等人的工作對(duì)期權(quán)定價(jià)理論的發(fā)展起到了革命性的作用(Black.F.和M.Scholes，1973)。在此基礎(chǔ)上，Ingersoll和Brennan等人基于或有權(quán)益的視角，以公司價(jià)值作為標(biāo)的資產(chǎn)并且假設(shè)其服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)，在Merton提出的結(jié)構(gòu)化模型的基礎(chǔ)上對(duì)可轉(zhuǎn)債的定價(jià)進(jìn)行了相應(yīng)的研究。(Ingersoll J.1977a和Ingersoll J.1977b以及Brennan和Schwatz，1977)。自此以后，關(guān)于可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)研究在一段時(shí)間內(nèi)基本上是在這一框架結(jié)構(gòu)下進(jìn)行的，然而，公司價(jià)值在現(xiàn)實(shí)中往往難以直接度量，因此直接基于公司價(jià)值的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型往往缺少實(shí)用價(jià)值。為了解決這一問(wèn)題，MaConnell和Schwartz(1986)等人提出了一個(gè)以相關(guān)股票價(jià)格為標(biāo)的隨機(jī)變量的關(guān)于零息債券的單因素可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型。

然而作為一種混合金融工具，可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)難點(diǎn)是多方面的。首先，可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值依賴(lài)多個(gè)變量，包括相關(guān)股票的價(jià)格(這種價(jià)格機(jī)制是動(dòng)態(tài)的)，利率以及發(fā)行人的信用風(fēng)險(xiǎn)以及這些變量之間的相互作用。其次，可轉(zhuǎn)換債券附有多種內(nèi)嵌期權(quán)，這些內(nèi)嵌期權(quán)與債券本身緊密相連，并且往往不是嚴(yán)格意義上的到期行權(quán)，在某一時(shí)間內(nèi)表現(xiàn)出很強(qiáng)的路徑依賴(lài)性(Path Independent)。這些特性都增加了可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)的難度，也促進(jìn)了可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)的深入研究。在Ingersoll等人的工作基礎(chǔ)上，Lewis(1991)在考慮了更復(fù)雜的資本結(jié)構(gòu)的假設(shè)條件下，給出了一個(gè)可轉(zhuǎn)債的定價(jià)公式。Takeakikariya和Hiroshitsuda(2000)基于連續(xù)時(shí)間的Markov模型利用傳統(tǒng)的B-S公式提出了新的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)模型，Song-Ping Zhu和Jing Zhang(2010)通過(guò)對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行新的期權(quán)拆分提出了有溢價(jià)形式的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)公式。Jun-Feng Qiu和Yong-Li Zhang(2013)基于隨機(jī)分析在考略了轉(zhuǎn)股價(jià)格可調(diào)整后對(duì)可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)給出了閉形式的解。

盡管對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)閉形式的解的研究進(jìn)展很快，但是這總要在較為理想的假設(shè)條件下進(jìn)行相應(yīng)的推導(dǎo)，因此總會(huì)與實(shí)際情形有所出入，在這樣的背景下，利用數(shù)值與仿真的方法對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)正逐漸引起學(xué)界的關(guān)注。其中數(shù)值的方法仍然是以求解PDE為基礎(chǔ)的，只不過(guò)對(duì)于一些難以解析求解的PDE采用有限元和有限差分等方法進(jìn)行數(shù)值求解。這種方法由于簡(jiǎn)化了許多假設(shè)條件使得建立的PDE往往比較復(fù)雜，因此從某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)值方法也是唯一的選擇。Bardhan et al.(1993)、Tsiveriotis和Fernandes(1998)將可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值拆分為股票價(jià)值和純債券價(jià)值部分，并分別用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)股票價(jià)值和純債券價(jià)值進(jìn)行貼現(xiàn)，通過(guò)建立相應(yīng)的PDE對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)。Ammann et al.(2003)在考慮了多種買(mǎi)權(quán)觸發(fā)條件的情形拓展并延伸了這種方法，Hung和Wang(2002)[15]又在此基礎(chǔ)上基于樹(shù)模型，提出了同時(shí)考慮隨機(jī)利率和違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型。

本文將首先考慮零息債券同時(shí)引入可贖回與可回售條款，在理論上給出級(jí)數(shù)形式解的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)值求解一個(gè)算例說(shuō)明對(duì)可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值特性。在此基礎(chǔ)上針對(duì)中國(guó)當(dāng)前可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)鮮有回售交易的實(shí)際情況，只考慮贖回情形的可轉(zhuǎn)債定價(jià)，給出一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)潔并且能夠解析求解并能編程實(shí)現(xiàn)的定價(jià)公式。

三、基于歐式期權(quán)B-S公式的可轉(zhuǎn)債解析定價(jià)

(一)公司價(jià)值的度量

基于期權(quán)模型對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)必須選擇合適的標(biāo)的資產(chǎn)，傳統(tǒng)上Ingersoll、Nyborg、Brennan、Schwartz等人的工作是在Merton的結(jié)構(gòu)化模型的基礎(chǔ)上直接以公司價(jià)值作為標(biāo)的資產(chǎn)，將可轉(zhuǎn)換債券看成是基于公司價(jià)值的衍生證券，然而這就涉及到如何度量公司價(jià)值的問(wèn)題?，F(xiàn)實(shí)中，發(fā)行公司的股票價(jià)格數(shù)據(jù)是容易獲得的，一個(gè)很自然的想法(并且現(xiàn)有的許多研究也是這樣進(jìn)行的)是將可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)股或有權(quán)益部分視為基于公司股票價(jià)格的衍生工具，這樣便可以對(duì)可轉(zhuǎn)換債券的或有權(quán)益部分進(jìn)行定價(jià)，但這樣處理就必須對(duì)相應(yīng)的合理性做一些討論。

事實(shí)上，如果假設(shè)發(fā)行公司的資本結(jié)構(gòu)僅有權(quán)益與債務(wù)構(gòu)成，并且所有的債務(wù)均具有可轉(zhuǎn)換性，那么將可轉(zhuǎn)換債券的權(quán)益部分視為基于公司價(jià)值的衍生證券與將可轉(zhuǎn)換債券的權(quán)益部分視為基于公司股票價(jià)格的衍生證券的處理方式是一致的。在該假設(shè)的基礎(chǔ)上，設(shè)t時(shí)刻發(fā)行公司的股票價(jià)值和股票的價(jià)格分別為At和St，債券面值為M，發(fā)行數(shù)量為n，市場(chǎng)已經(jīng)流通的股份為m，則有

mSt+nM=At

(2.1)

進(jìn)一步假設(shè)St服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)

dSt=uStdt+σStdWt

(2.2)

其中μ，σ為常數(shù)，Wt為標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng)?？紤]到

dAt=d(At-nM)=mdSt=mSt(μdt+σdWt)

(2.3)

所以公司價(jià)值的波動(dòng)性實(shí)際來(lái)源于股票價(jià)格的波動(dòng)性，如果如果進(jìn)一步做簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理

(2.4)

由(3.6)可以認(rèn)為公司價(jià)值可以近似的視為幾何Brown運(yùn)動(dòng)，不同的是多了nM的平移量。從某種意義上來(lái)說(shuō)，這從標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)性的角度說(shuō)明了以股票價(jià)格代替公司價(jià)值的合理性，而以上兩種處理方式的一致性可以從以下轉(zhuǎn)股或有權(quán)益執(zhí)行邊界的角度加以說(shuō)明。

假設(shè)可轉(zhuǎn)換債券的到期日T，到期方可轉(zhuǎn)股，股票的價(jià)格在T時(shí)刻的價(jià)格為ST，相應(yīng)的轉(zhuǎn)股價(jià)格為Pb，考慮到轉(zhuǎn)股股份增加造成的攤薄效應(yīng)，轉(zhuǎn)股后的股票價(jià)格應(yīng)該發(fā)生變化，記為Sa，則有

(2.5)

當(dāng)債券到期時(shí)，持有人累計(jì)應(yīng)得利息支付以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率在T時(shí)刻的現(xiàn)值為KT，若以公司價(jià)值為標(biāo)的資產(chǎn)，公司不對(duì)所持債務(wù)違約的必要條件為公司價(jià)值大于T時(shí)刻所持債務(wù)的現(xiàn)值，即

(2.6)

相應(yīng)的，可轉(zhuǎn)換債券持有人執(zhí)行或有權(quán)益的邊界條件為

(2.7)

(3.8)與(3.9)說(shuō)明從期權(quán)執(zhí)行邊界的角度，在一定的假設(shè)條件下，以股票作為標(biāo)的資產(chǎn)與以公司價(jià)值作為標(biāo)的資產(chǎn)是一致的。

然而需要說(shuō)明的是，上述所有推導(dǎo)的一個(gè)基本假設(shè)前提是除了權(quán)益與可轉(zhuǎn)換債務(wù)，發(fā)行公司其他形式的資本所占比例很小，這需要結(jié)合具體的可轉(zhuǎn)債，分析相應(yīng)的發(fā)行公司的資本結(jié)構(gòu)是否適合該模型的假設(shè)，這一點(diǎn)將在實(shí)證分析部分進(jìn)一步說(shuō)明。

(二)可轉(zhuǎn)換債券的基本價(jià)值構(gòu)成與權(quán)益屬性

作為一種特殊公司債券，是發(fā)行人與投資者之間的一種契約，可以近似拆分為債券部分與股票部分。首先，可轉(zhuǎn)債體現(xiàn)為債性，發(fā)行人必須每年固定地付給投資人利息。以及到期還本付息；其次，可轉(zhuǎn)債體現(xiàn)為股性，持有人有權(quán)按事先契約規(guī)定的轉(zhuǎn)股價(jià)格對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換比例，把相應(yīng)的可轉(zhuǎn)換債券轉(zhuǎn)換成一定數(shù)量的股票，相應(yīng)的轉(zhuǎn)換價(jià)值就是直接轉(zhuǎn)換成股票的價(jià)值：

轉(zhuǎn)換價(jià)值=股票時(shí)價(jià)×轉(zhuǎn)換比例

顯然可轉(zhuǎn)換債券作為債券的價(jià)值可以以一無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)其到期收益貼現(xiàn)得到；而相應(yīng)的轉(zhuǎn)換價(jià)值則依賴(lài)于轉(zhuǎn)股時(shí)的股票價(jià)格，并且理性的投資者只會(huì)在到期日股票價(jià)格大于執(zhí)行邊界條件時(shí)才會(huì)轉(zhuǎn)股，因此可以將投資者的轉(zhuǎn)股或有權(quán)益視為投資者持有的對(duì)可轉(zhuǎn)換債券相關(guān)股票價(jià)格的看漲期權(quán)，從而以歐式期權(quán)定價(jià)公式對(duì)可轉(zhuǎn)債的或有權(quán)益價(jià)值定價(jià)。由(2.7)可知執(zhí)行可轉(zhuǎn)債的或有權(quán)益的邊界條件為ST>Pb，相應(yīng)的收益函數(shù)為

(2.8)

由收益函數(shù)閉形式解的一般形式可知，可轉(zhuǎn)換債券轉(zhuǎn)股或有權(quán)益的價(jià)值為

(2.9)

其中c(Pb,T;St)為執(zhí)行價(jià)格為Pb，期限為為T(mén)的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。

作為債券就存在相應(yīng)的違約風(fēng)險(xiǎn)，該如何刻畫(huà)發(fā)行公司的違約風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)值？由(2.6)發(fā)行公司不違約的必要條件可知，一旦公司違約，債券持有人的損失為

max(nKT-mST)

(2.10)

若債券持有人平均分?jǐn)倱p失，則對(duì)于單位證券，相應(yīng)的損失為

(2.11)

因此發(fā)行公司債券的違約風(fēng)險(xiǎn)可以近似的用發(fā)行公司持有的基于公司股票價(jià)格的看跌期權(quán)來(lái)刻畫(huà)，同樣由收益函數(shù)函數(shù)閉形式解的一般形式可知，發(fā)行公司違約風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)值為

(2.12)

其中，

至此，可以將以上的分析總結(jié)為：在一種較為理想的條件下，如果做出以下假設(shè)。

(1)可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值由純債價(jià)值與轉(zhuǎn)化價(jià)值構(gòu)成。

(2)純債價(jià)值可以以一無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)其到期收益貼現(xiàn)。

(3)可轉(zhuǎn)債持有人到期轉(zhuǎn)股，轉(zhuǎn)換價(jià)值可以看成可轉(zhuǎn)債持有人持有的基于公司股票價(jià)格的看漲期權(quán)。

(4)純債價(jià)值中考慮公司違約風(fēng)險(xiǎn)，違約風(fēng)險(xiǎn)可以看成公司基于公司股票價(jià)格對(duì)可轉(zhuǎn)債持有人的看跌期權(quán)。對(duì)可轉(zhuǎn)債持有人而言，可轉(zhuǎn)換債券的債性?xún)r(jià)值為純債價(jià)值減去發(fā)行公司的違約風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。

那么可以得到可轉(zhuǎn)換債券價(jià)格的一個(gè)理論表達(dá)式：

為了結(jié)合這個(gè)定價(jià)公式對(duì)可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值屬性進(jìn)行相應(yīng)的分析，本文以以下算例進(jìn)行簡(jiǎn)要的說(shuō)明：

假設(shè)發(fā)行可轉(zhuǎn)債的份數(shù)為n=72000000，流通的股份數(shù)為m=870000000，轉(zhuǎn)股價(jià)格為Pb=4.2，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率依次取為0.026、0.027、0.028(按連續(xù)復(fù)利計(jì)算)，債券的面值為100，剩余期限為3年，股票的價(jià)格在4-4.5之間，股價(jià)波動(dòng)率為σ=0.1。通過(guò)MATLAB可以分別繪制出相應(yīng)的可轉(zhuǎn)債價(jià)格與股票價(jià)格的關(guān)系：

圖2-1 可轉(zhuǎn)債價(jià)格與股票價(jià)格的關(guān)系

由上圖可知，可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格隨股票價(jià)格的增加而增加，并且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越高，相應(yīng)的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格越高，這與直觀上的認(rèn)識(shí)是相符合的。

四、引入附加條款的可轉(zhuǎn)債B-S期權(quán)模型定價(jià)

(一)同時(shí)引入可贖回與可回購(gòu)條款的可轉(zhuǎn)債定價(jià)

將發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值記為V，V是關(guān)于股票價(jià)格St和時(shí)間t的函數(shù)，記為V(S,t)。假設(shè)公司的股票價(jià)格滿(mǎn)足幾何Brown運(yùn)動(dòng)，即滿(mǎn)足(3.4)式，由Ito公式有

(3.1)

比較(2.2)式和(3.1)式可知兩式均有相同的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)源項(xiàng)dWt，如果假定資本市場(chǎng)無(wú)摩擦，存在連續(xù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，期限結(jié)構(gòu)水平，并且不存在相應(yīng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，則可以通過(guò)對(duì)沖的方法消去風(fēng)險(xiǎn)，具體操作為：

(3.2)

(3.3)

將(4.1)帶入(4.3)中有

(3.4)

如果沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，則在相應(yīng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率下應(yīng)有

dΠ=rΠdt

(3.5)

整理有對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)的B-S方程：

(3.6)

為了基于(3.6)式推導(dǎo)出可轉(zhuǎn)債的定價(jià)公式，需要進(jìn)一步做出如下相應(yīng)的假設(shè)：

(1)為了分析問(wèn)題方便，假設(shè)公司發(fā)行的可轉(zhuǎn)換債券為零息債券，相應(yīng)的面值為M。

(2)可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)股價(jià)格為K2，轉(zhuǎn)股價(jià)格不變。

(3)對(duì)于回售條款，假定當(dāng)股票價(jià)格向下觸及K1時(shí)，投資者會(huì)向發(fā)行公司要求以面值M回售，即此時(shí)投資者的收益為V=M。

基于以上五點(diǎn)假設(shè)，相應(yīng)的條款觸發(fā)條件和投資者的收益可以視為可轉(zhuǎn)債定價(jià)B-S方程的初邊值條件，可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值V可以通過(guò)如下系統(tǒng)加以描述：

(3.7)

通過(guò)求解該系統(tǒng)可以得到可轉(zhuǎn)債的理論價(jià)值(具體的推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄)：

數(shù)學(xué)上可以證明，上述級(jí)數(shù)形式的解是收斂的，但是難以通過(guò)該式直接計(jì)算可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值，并且零息債券的假設(shè)與市場(chǎng)的實(shí)際情形還有出入。雖然對(duì)該模型直接進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)的意義不大，但是可以通過(guò)數(shù)值求解PDE(3.7),并同第三章的討論，以一個(gè)算例對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的性質(zhì)做相應(yīng)的討論。

基于有限差分法的古典顯示格式可以數(shù)值求解方程(3.7)。算例的相關(guān)參數(shù)和說(shuō)明如下：

回售條款的觸發(fā)價(jià)格為K2=2，贖回條款的觸發(fā)價(jià)格為K3=3.5，轉(zhuǎn)股價(jià)格K2依次取2.2、2.4、2.6、2.8和3，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為0.03(按連續(xù)復(fù)利計(jì)算)，波動(dòng)率σ=0.1，債券面值為100，債券的期限為2年。當(dāng)轉(zhuǎn)股價(jià)格為2.8時(shí)，方程(3.7)的解如下圖所示：

圖3-1 方程(3.7)數(shù)值算例圖示解

比較以上數(shù)值算例圖示解的兩個(gè)子圖可以發(fā)現(xiàn)，可轉(zhuǎn)換債券在各時(shí)點(diǎn)的價(jià)值屬性與其在到期日的價(jià)值屬性在趨勢(shì)上是相同的，可轉(zhuǎn)換債券在存續(xù)期內(nèi)的價(jià)值變化是一個(gè)隨時(shí)間向其到期日價(jià)值屬性逼近的過(guò)程。

相應(yīng)的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格與股價(jià)和轉(zhuǎn)股價(jià)格的關(guān)系可以由下圖進(jìn)行說(shuō)明：

圖3-2 不同轉(zhuǎn)股價(jià)格下可轉(zhuǎn)債價(jià)格與股票價(jià)格的關(guān)系

由上圖可知，整體上來(lái)看，可轉(zhuǎn)債的價(jià)格隨股票價(jià)格的增加而增加，并且同樣的初始股票價(jià)格下，轉(zhuǎn)股價(jià)格越低，可轉(zhuǎn)債的價(jià)格越高。雖然在股票價(jià)格處于較低的水平時(shí)，可轉(zhuǎn)債的價(jià)格較之于面值會(huì)有所回落，但這種情形存在的區(qū)間很小，并且會(huì)隨著轉(zhuǎn)股價(jià)格的降低而逐漸消失。

(二)只引入可贖回條款的可轉(zhuǎn)債定價(jià)

第一部分的討論中雖然同時(shí)引入了贖回與回售條款，但是相應(yīng)的關(guān)于可轉(zhuǎn)換債券是零息債券的假定并不符合中國(guó)可轉(zhuǎn)換債券市場(chǎng)的現(xiàn)實(shí)，并且最終給出的級(jí)數(shù)形式的解不僅形式上不夠簡(jiǎn)潔，而且需要通過(guò)數(shù)值計(jì)算實(shí)現(xiàn)，不能根據(jù)市場(chǎng)上可轉(zhuǎn)換債券相關(guān)股票的任意價(jià)格進(jìn)行定價(jià)，精度上難以保證。然而在數(shù)學(xué)上，對(duì)于形如(4.7)式的有限區(qū)間上的拋物方程的混合問(wèn)題，其形式上一般只有級(jí)數(shù)解，若要得到解析閉形式的解只允許有一個(gè)邊界限制條件。

事實(shí)上，通過(guò)分析比較國(guó)內(nèi)市場(chǎng)上流通的可轉(zhuǎn)債可以發(fā)現(xiàn)，絕大部分可轉(zhuǎn)債在存續(xù)期內(nèi)都沒(méi)有回售交易，并且我國(guó)對(duì)于發(fā)行公司發(fā)行可轉(zhuǎn)債有著比較嚴(yán)格的審核和監(jiān)管機(jī)制，能夠發(fā)行可轉(zhuǎn)債的公司的股票價(jià)格向下觸及投資者要求的回售條件的可能性較小?；谝陨蟽牲c(diǎn)原因，在我國(guó)的市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)條件下可以不考慮引入回售條款，從而簡(jiǎn)化第一部分的模型，得到只考慮可贖回條款的可轉(zhuǎn)債定價(jià)公式。

由數(shù)學(xué)物理方程相應(yīng)的理論，類(lèi)似于第一部分的替換，可將該系統(tǒng)等價(jià)轉(zhuǎn)換為以下系統(tǒng)：

其中，

W=W1+W2+W3

N(u)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量累計(jì)概率分布函數(shù)。

α，β同4.1節(jié)的討論，參數(shù)z1，z2，z3，z4；d1，d2，d3，d4，d5，d6分別為：

五、結(jié)語(yǔ)

可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)研究在金融學(xué)、金融工程以及應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究都是一個(gè)十分具有意義的研究課題，不同的學(xué)者從不同的專(zhuān)業(yè)背景出發(fā)在可轉(zhuǎn)債定價(jià)的研究中提出了許多經(jīng)典的模型。其中，得益于金融工程等學(xué)科的發(fā)展，可轉(zhuǎn)債定價(jià)的現(xiàn)代研究是在期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)上，借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行分析的框架下進(jìn)行的，因此本文的整體研究思想是基于B-S期權(quán)模型的分析方法和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的思想對(duì)可轉(zhuǎn)債的定價(jià)進(jìn)行研究的，具體來(lái)說(shuō)，本文的主要結(jié)論可以概括為以下幾個(gè)方面：

第一，基于B-S歐式期權(quán)模型，將可轉(zhuǎn)換債券中債券持有人的轉(zhuǎn)股或有權(quán)益在一定的假設(shè)條件下視為歐式期權(quán)；考慮發(fā)行公司的違約風(fēng)險(xiǎn)，以發(fā)行公司持有的對(duì)相關(guān)股票價(jià)格的看跌期權(quán)來(lái)刻畫(huà)違約風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)值，基于B-S定價(jià)模型得出可轉(zhuǎn)債的定價(jià)公式為：

第二，在可轉(zhuǎn)債的定價(jià)研究中引入贖回與回售條款，給出了可轉(zhuǎn)債理論價(jià)值的解析公式，并基于數(shù)值算例討論了可轉(zhuǎn)債價(jià)值的特性和變化過(guò)程；在此基礎(chǔ)上，結(jié)合中國(guó)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的現(xiàn)實(shí)放松假定，即只考慮可轉(zhuǎn)債中的贖回條款，通過(guò)求解帶有初邊值條件的B-S方程對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)。

本文的整體研究是在期權(quán)定價(jià)模型的B-S方法下進(jìn)行的，這種處理一方面為本文許多結(jié)論的推導(dǎo)帶來(lái)了方便，另一方面卻也導(dǎo)致了相應(yīng)的結(jié)果與現(xiàn)實(shí)情形的差異。雖然可以通過(guò)一些假設(shè)將影響可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的相應(yīng)條款納入模型中，但是可以通過(guò)前面的討論看到，這樣會(huì)增加模型數(shù)學(xué)求解的難度和結(jié)果的復(fù)雜性，雖然可以借助計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，但也很難做到與現(xiàn)實(shí)完全的一致性。因此在考慮更復(fù)雜，或者說(shuō)更加接近現(xiàn)實(shí)的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型時(shí)，仿真模擬較之于解析求解，在保證仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)的條件下，其與現(xiàn)實(shí)的接近程度會(huì)更好。后續(xù)的研究可以相應(yīng)的調(diào)整贖回條款的觸發(fā)條件，進(jìn)一步探討這種贖回觸發(fā)條件的調(diào)整對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響，得到更為深刻的結(jié)論。

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陳垚翰(1992-)，男，漢族，安徽合肥人，經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士，武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,研究方向：西方經(jīng)濟(jì)學(xué)。