浙江省象山中學　(315700)

張宗余

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問道例題變式探究教學的“貴、實、重”
——使高三例題教學成為好數(shù)學教學的實踐與思考

浙江省象山中學(315700)

張宗余

章建躍教授提出“使高考復習成為好數(shù)學教學”，好數(shù)學教學的根本標準是“數(shù)學育人”，即在學生的終身發(fā)展上產(chǎn)生最大的長期利益，具體體現(xiàn)在使學生學會思考，進而學會學習.而在高三復習教學過程中，例題教學一直占據(jù)重要的地位，其中例題變式探究教學是我們在教學過程中常使用的教學形式.它是在教師的指導下，以例題為載體，以學生自主學習和合作討論為前提，以變式為主要學習手段，為學生提供自由表述、質(zhì)疑、探討問題的機會，強調(diào)多向互動，教學相長的一種教與學的操作體系，教學中教師有意識地對數(shù)學例題作多層面、多角度的變式與探究,引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，將教學活動營造為開放、寬松、愉悅、和諧的師生探究與合作交流的過程，逐步培養(yǎng)學生靈活多變的創(chuàng)新思維品質(zhì)，完善學生的認知結(jié)構(gòu)，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索創(chuàng)新的能力.本文圍繞著成為“使高三例題教學成為好數(shù)學教學”的主題，以一節(jié)離心率取值范圍問題專題復習為例，談談本人的實踐和思考.

1、“一題多解”，“貴”在知識的梳理和方法的滲透

圖1

設計意圖問題是課堂活動的載體，是教學成功的開始，例題教學主要是圍繞某數(shù)學問題(例題)而展開的，波利亞說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”，因此選好例題對復習課教學尤為重要.選用的例題應取材于最普通、最常見的習題,學生都能接受,不宜過難.本節(jié)課堂的引例，即是教材例題的改編,也是高考原題，內(nèi)涵豐富,可將橢圓的定義和性質(zhì)聯(lián)系在一起，很具有代表性和典型性.

教學環(huán)節(jié)1.1T：本題涉及哪些基本概念?

S：定義、幾何特征量、焦半徑、焦點三角形等；

T：得出結(jié)論需要哪些條件?

S：需要找到a、b、c的不等關系.

設計意圖這是例題教學過程中起始的一步，解題教學的首要目的就是鞏固概念，教師通過2個提問，對基本概念和基本知識進行一次有效的梳理，凸顯以例題練習為主線，內(nèi)容復習為輔的教學形式.而當前普遍的做法是，老師替學生讀題，讀完就問：“本題屬于什么題型?”接著就問：“某某同學,你說該怎么解?”這樣的處理缺乏對邏輯推理的重視，沒有從概念和定理出發(fā)思考和解決問題.教師所要做的與學生一起分析題意，交流解題思路，教師在適當時機給點睛之筆.

教學環(huán)節(jié)1.2T：我們請幾位學生板演，其他學生動手解答?

T：還有不同的方法嗎？你是怎么想到的？你認為解這類題目的一般步驟是什么?

S：幾何方法、代數(shù)方法，變量分離法等(略).

設計意圖我們深知數(shù)學教學既要 “結(jié)果”更要 “過程”，“講解題，不講怎樣解題”、”講解法，不講如何想到解法”，最后總結(jié)為“解法n+技巧n ”的技巧灌輸式教學，只會給學生加重學習負擔，禁錮學生的思維.讓學生自己動手操作、自主實踐、獨立思考，而不是教師包辦板演、學生模仿，學生參與課堂教學心理體驗，與知識形成過程的再現(xiàn)，數(shù)學思想方法的運用對培養(yǎng)學生的探究能力是極其有利的，這是成為好的數(shù)學教學核心.同時，解題教學的最終目的是讓學生學會思考，通過解法的展示與評價，讓學生總結(jié)各種方法的優(yōu)劣，并對數(shù)學知識與方法的運用既“知其然”又“知其所以然”，以學會合理地選擇，快速地、有效地解題，也是我們在例題教學中需要認真研究的問題.

對“一題多解”的再認識：波利亞指出：“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”在尋找問題的求解過程中，一般包括對問題情境的認識，思想方法的探求，解題行動的實施和解題后的反思等環(huán)節(jié).解決了一個問題后，不要急于進入下一題，要引導學生反思所運用的解題策略，探索新的解題思路，培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性.

數(shù)學習題浩如煙海，要提高高三復習中例題教學的有效性，教師決不能就題論題，要用“活”例習題資源，注重知識的橫向聯(lián)系，及例題具有的延伸性，進一步一題多變，挖掘其潛在的內(nèi)容，引導學生向更廣的范圍、更深層次去聯(lián)想、縱橫引申，促進知識融會貫通，促進解題能力和思維能力不斷提高，形成解題方法和策略. 對于典型問題，教師既要講究通性通法，又要引導學生從不同角度觀察、思考、聯(lián)想，從多角度尋求解決問題的途徑，即一題多解，這樣有利于學生掌握知識方法，領悟數(shù)學思想的實質(zhì)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性，從而最大限度地發(fā)揮例題教學的有效性.同時在教學行為上，教師通過適時追問，為學生搭設思維跳板，幫助其開拓思路，活躍思維，使一題多解的數(shù)學教學過程不僅洋溢著火熱的數(shù)學思考，更散發(fā)著厚重的數(shù)學規(guī)律，展現(xiàn)著豐富的數(shù)學思想方法，使學生的數(shù)學解題能力在探索中形成與提高，數(shù)學思維向縱深發(fā)展.

2、“一題多變”，“實”在方法的比較與思想的提煉

T：我們將角從90°變成60°，上述方法還可行么？

S1：幾何法和變量分離還是可行的.

設計意圖一個符合學生思維發(fā)展的“過程”是學生積極思維的助推器.學習興趣的誘發(fā)器.如果教師一味讓學生做題而不重視知識發(fā)生、形成、運用的過程，學生就會陷入題海，疲于應付，復習效率低而事倍功半.反之，教師若能重視在課堂上設計一個又一個形式各異的問題，再現(xiàn)知識發(fā)生、形成與運用的過程，復習的效率自然會有事半功倍之效.因此，通過對題目中條件的改變，使問題更一般化，讓學生對引例中的多種解法重新審視，找出其中本質(zhì)的、核心的方法.我們不難發(fā)現(xiàn)變量分離思想是其中比較有效的方法，風采依舊、魅力不減.

教學環(huán)節(jié)T：變式1將90°角變成60°角，這是我們改編題目的一種方法，我們還可以從哪些角度去變式？

S1：F1,F2太特殊了，可以改變點的位置，來改編題目.(下面是學生的編題，由學生自己解決)

解：設P(acosθ，bsinθ)，由OP⊥PA得

變式3橢圓中心在原點，焦點在x軸上，過橢圓左焦點的直線交橢圓于P,Q兩點，且OP⊥OQ,求橢圓離心率的范圍.

設計意圖數(shù)學復習教學要為學生主動學習與體驗過程創(chuàng)造更多的機會和條件，教師告訴學生變式的方法和技巧，引導學生進行編題，既充分調(diào)動學生學習的積極性，又讓學生在自編自導中，互相提供豐富的學習資源，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，尤其是提出問題的能力.只有讓學生時刻把“舉一反三”、“觸類旁通”放在心上，反復實踐，在學會獨立思考和獲得對數(shù)學知識的理解中，學會學習和思考，增長經(jīng)驗和智慧，并形成正確的價值觀.使他們獲得終身發(fā)展的能力，也掌握考場制勝的法寶.

對“一題多變”的再思考：變式教學就是一種行之有效的方式. 在復習過程中，教師要充分發(fā)揮題目的“遷移”作用，引導學生從“最近發(fā)展區(qū)”對例題進行深入挖掘，加工改造，探索知識的內(nèi)在聯(lián)系，使學生理解和掌握例題闡述的概念、原理、規(guī)律和解題方法，進而培養(yǎng)學生獨立分析和解決問題的智慧，真正掌握解題的“金鑰匙”.

數(shù)學知識的傳授離不開解題，但題不在多，而在于如何將題目的作用發(fā)揮到極致.在數(shù)學教學中，若能根據(jù)知識的特點，結(jié)合學生的具體實際進行變式教學，能有效地培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力，使學生從整體上把握知識的內(nèi)在規(guī)律；能夠培養(yǎng)學生由此及彼的遷移能力，收到“解一題，帶一片”的效果，幫助學生擺脫“題?！敝?，又促進了學生知識能力的高效正遷移，大大提高復習的有效性.

3、“一法多探”，“重”在方法的提升與靈活運用

設計意圖讓問題貫穿在整個教學過程中，帶著問題學習，帶著問題思考.數(shù)學復習課的設計，教師既要重視分析思維的過程，而解題讓學生自己完成，又要通過一些推廣性的問題進行變式思維訓練，讓學生在課堂上研究，延長學生自覺參與課堂教學的心理活動過程.通過變式訓練，不斷提高變量分離法的運用能力.讓學生形成解題的思路，就是不顧一切的尋找條件等式，變量分離變化為有關不等式，從而解得e的取值范圍.這里設計了兩個例題，是對變量分離思想方法的靈活運用.例1變量不等式明顯，易于操作；例2變量不等式不明朗，則需要我們挖掘條件的隱含，正確分析和恰當處理.

對“一法多探”的再回顧：多年前，孫維剛老師提出“一題多解、多解歸一、多題歸一”，在訓練學生思維能力的同時，讓學生能夠站在系統(tǒng)的高度看問題，進而升華到從哲學的角度認知世界，從而形成強大的學習能力.在例題變式探究教學過程中，“一法多探”是在“一題多解”、“一題多變”基礎上的一次提升，更是對核心問題和核心方法的一次提煉.從教育功能上說，是學生自我探究、合作交流成果的體現(xiàn)，能極大的滿足學生的求知欲，讓學生充分感受到探索的樂趣和成功的喜悅，實現(xiàn)對情感、態(tài)度與價值觀的體驗.這樣通過變式探究教學不但要培養(yǎng)學生的問題意識,發(fā)展學生的創(chuàng)新思維能力,更是通過變式和自我探究引導學生學會學習和掌握科學方法,為終身學習和工作奠定基礎.

“讓學生帶著問題輕松步入課堂,在愉快且又適度緊張中學習(探究);又要讓學生帶著新的、更高層次的問題走出課堂,在自由自在中研究(學習)、發(fā)展.”這是例題變式探究教學理想化追求，也是實現(xiàn)使高三例題教學成為好數(shù)學教學的關鍵所在.我們的教師則是教學內(nèi)容、過程、活動的組織者、參與者和積極的評價者;是學生學習的引導者、幫助者.其任務是調(diào)動學生的積極性,促使他們自己去獲取知識、發(fā)展能力,做到自己能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題；教師要為學生的學習設置探究的情境，建立探究的氛圍,促進探究的開展,把握探究的深度,評價探究的成敗.

[1]章建躍.怎樣使高考復習成為好數(shù)學教學[J].中小學數(shù)學(高中版),2011,9.

[2]鄒大鳴.離心率范圍的求解途徑[J].中學數(shù)學,2003,5.